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第03章 导数
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选择中,只有一个是符合题目要求的.)
1.已知函数,则( ),
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】因为,所以,故选A.
2.【2017浙江模拟】已知直线是曲线的切线,则实数( )
A. B. C. D.
【答案】C.
3.已知函数的导函数为,且满足,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
∵,∴.令,得,解得,-1.故选B.
4.【2017四川资阳一诊】已知是定义在区间上的函数,其导函数为,且不等式恒成立,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
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【解析】
试题分析:设函数,则,所以函数在为减函数,所以,即,所以,故选B.
5.已知在上非负可导,且满足,对于任意正数,若,则必有( )
A. B.
C. D.,
【答案】D
【解析】
6.若曲线与曲线存在公共切线,则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
设公共切线与曲线切于点,与曲线切于点,则,将代入,可得,又由得,∴,且,记,,求导得,可得在上递增,在上递减,∴,∴.
7.曲线在点处的切线平行于直线,则点的坐标为( )
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A. B. C.和 D.
【答案】C.
【解析】
,令,或,∴或,经检验,点,均不在直线上,故选C.
8.已知函数,连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是,则函数在处取得最值的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
9.已知直线是曲线:与曲线:的一条公切线,若直线与曲线的切点为,则点的横坐标满足( ),
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
记直线与曲线的切点为因为,则直线的方程为,又直线的方程为,从而且,消去得,即,设,则,令解得,则函数在
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上递增,又,无零点,得在上单调递减,可得,所以,故选D.
10.【2017山西孝义二模】已知函数,若存在,使得,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
11.设函数是奇函数的导函数,,当时,,则使得成立的的取值范围是( ),
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】
设,则的导数为,
∵当x>0时总有成立,
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即当x>0时,恒小于0,
∴当x>0时,函数为减函数,
∵为奇函数,∴,∴,
当时,,当时,,
而,即在上,与同号,
所以当时,,当时,,
又由为奇函数,在上,时,,当时,.
综上,的解集为.故选A.
12.若点P是函数图象上任意一点,且在点P处切线的倾斜角为,则的最小值是( ) ,
A. B. C. D.
【答案】B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.)
13.若曲线在点处的切线与直线平行,则__________.
【答案】
【解析】
∵,,∴,∴,故答案为.
14.若函数有零点,则k的取值范围为_______.
【答案】
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【解析】因为通过画图可知当时一定有一个交点,若直线与有交点,对函数求导代入这个函数可以求得再将代入直线,可求,所以当时也有交点.
15.【2017山西大学附中二模】已知是函数两个相邻的两个极值点,且在处的导数,则___________.
【答案】
16.已知函数的导数为,且函数的图像关于直线对称,.下列命题正确的有 (将所有正确命题的序号都填上).
①
②
③函数的单调增区间是,单调减区间是;
④函数的极大值是,极小值是;
⑤函数的零点有3个.
【答案】①③④⑤
【解析】由已知,即
所以,即.
又,即得,①正确,②不正确.
由上上知,,
令即解得或,
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由得函数的单调增区间是;
由知单调减区间是,③正确;
进一步可知,函数的极大值,极小值是,④正确;
通过画函数图象的草图,可知⑤正确.
综上知,答案为①③④⑤.
二、 解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.【2017浙江五校】已知函数.
(1)若,求函数在处的切线方程;(2)若函数有两个极值点,且,证明: .
【答案】(1);(2)见解析.
试题解析:(1)当时, , , ,所以在处的切线方程为,化简得。………………6分
(2)函数定义域为, 则是方程的两个根,所以,又,所以。,所以。令
,
则,又所以,则在内为增函数,所以,所以………15分
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18.【2017浙江模拟】设函数,.证明:(1);(2).
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.
【解析】
试题分析:(1)构造函数,对求导,利用导数证明即可得证;(2)求导,判断出函数的单调性,求出函数的极值与最值后即可得证.
试题解析:(1)记,则,
,∴在区间上单调递增,又∵,∴,从而;(2),记,由,,知存在,使得,∵在上是增函数,∴在区间19.已知函数在时取得极值.
(1)求a的值;
(2)若有唯一零点,求的值.
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【答案】(1);(2).
【解析】
(1)依题意,得,所以.
经检验,满足题意.
(2)由(1)知,则.
所以.
令,因为,所以.
方程有两个异号的实根,设为,因为x>0,所以应舍去.
所以即
所以.
令,则.
所以在上单调递减.
注意到,所以.所以.
20.【2017 “超级全能生”浙江3月联考】设函数,其中,函数有两个极值点,且.
(1)求实数的取值范围;
(2)设函数,当时,求证: .
【答案】(1);(2)见解析.
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【解析】,
试题分析:(1)由题意得导函数有两个不同的零点,由韦达定理得实数与关系,消去得关于函数关系式,由取值范围,结合导数研究函数单调性,进而求出实数的取值范围;(2)先化简所证不等式,再利用放缩证明,利用韦达定理再次转化不等式为,最后根据的取值范围可证.
试题解析:(1),
由题可知: 为的两个根,且,得或.
而
则,即,即,
综上, .
(2)证明:由, ,知,
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,
由(1)可知,所以,
所以.
21.【2017安徽淮北二模】已知函数.
(I)讨论函数的单调性,并证明当时, ;
(Ⅱ)证明:当时,函数有最小值,设最小值为,求函数的值域.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)先求函数导数,确定导函数在定义区间上恒非负,故得函数单调区间;根试题解析:(1)由得
故在上单调递增,
当时,由上知,
即,即,得证.
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(2)对求导,得, .
记, .
由(Ⅰ)知,函数区间内单调递增,
又, ,所以存在唯一正实数,使得.
于是,当时, , ,函数在区间内单调递减;
当时, , ,函数在区间内单调递增.
所以在内有最小值,
由题设即.
又因为.所以.
22.【2017四川泸州四诊】设函数(为自然对数的底数),, .
(1)若是的极值点,且直线分别与函数和的图象交于
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,求两点间的最短距离;
(2)若时,函数的图象恒在的图象上方,求实数的取值范围.
【答案】(1)1(2)
【解析】
(Ⅰ)因为,所以,因为是的极值点,所以, .
又当时,若, ,所以在上为增函数,所以,所以是的极小值点,所以符合题意,所以.令,即,因为,当时, , ,所以,所以在上递增,所以,∴时, 的最小值为,所以.
当时,因为在单调递增,所以总存在,使在区间上,导致在区间上单调递减,而,所以当时, ,这与对恒成立矛盾,所以不符合题意,故符合条件的的取值范围是.
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