2018年高考数学一轮复习第8章立体几何测试题(浙江版带答案)
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资料简介
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第八章 立体几何 测试题 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选择中,只有一个是符合题目要求的。)‎ ‎1.【2018届河南省漯河市高级中学高三上学期第二次模拟】已知是两条不同直线,是平面,则下列命题是真命题的是( )‎ A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 ‎【答案】B ‎2.【2018届北京市朝阳区高三上学期期中】已知表示两条不同的直线, 表示平面,下列说法正确的是 A. 若, ,则 B. 若, ,则 C. 若, ,则 D. 若, ,则 ‎【答案】D ‎【解析】对于A, , ,则可能相交,可能异面,也可能平行,命题错误;‎ 对于B, , ,则, 或与斜交,命题错误;‎ 对于C, , ,则,或,命题错误;‎ 对于D,若, ,则,显然正确》‎ 故选:D.‎ ‎3.【2018届河南省洛阳市高三上学期尖子生第一次联考】已知球 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 与棱长为4的正四面体的各棱相切,则球的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎4.【2018届北京西城161高三上期中】在如图所示的空间直角坐标系中,一个四面体的顶点坐标分别是, , , ,给出编号①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( ).‎ ‎ ‎ A. ①和② B. ③和① C. ④和③ D. ④和②‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 在空间直角坐标系中,根据所给的条件标出已知的四个点,结合三视图的画图规则,可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②.选D.‎ ‎5.【2017届广东省广州高三下学期第一次模拟】如图,网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图,且该几何体的体积为,则该几何体的俯视图可以是( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎6.【2018届广西桂林市第十八中学高三上学期第三次月考】多面体的三视图如图所示,则该多面体的外接球的表面积为( )‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图所示,由三棱锥的三视图得:该三棱锥的底面是腰长为6的等腰直角三角形,设该三棱锥的外接球的半径为球心为则 ‎ 故则该三棱锥的外接球的表面积为 ‎ 选D.‎ ‎7.【2018届云南省昆明一中高三第二次月考】正三棱锥中,若三条侧棱两两垂直,且,则正三棱锥的高为( )‎ A. B. ‎2 C. D. 3‎ ‎【答案】C 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解析】‎ ‎8.【2018届云南省昆明市高新技术开发区月考】已知直三棱柱的6个顶点都在表面积为的球的球面上,若, ,则该三棱柱的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎9.【2017届东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学高三下第四次模拟】已知正四棱锥中, 分别是的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 建立如图所示空间直角坐标系,可知.则,则.故本题答案选.‎ ‎10.【2017年福建省数学基地校】已知是球的直径上一点, ,平面, 为垂足, 截球所得截面的面积为,则球的体积为( )‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(A)   (B)   (C)    (D) ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图,‎ ‎11.【2018届四川省乐山外国语学校高三上练习三】三棱锥中, 互相垂直, , 是线段上一动点,若直线与平面所成角的正切的最大值是,则三棱锥的外接球的表面积是(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 三棱锥扩充为长方体,则长方体的对角线长为,‎ ‎∴三棱锥的外接球的半径为,‎ ‎∴三棱锥的外接球的表面积为.‎ 选B.‎ ‎12.【2018届浙江省源清中学高三9月月考】如图,矩形,矩形,正方形两两垂直,且,若线段上存在点使得,则边长度的最小值为( )‎ A. 4 B. C. D. ‎ ‎【答案】D 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解析】‎ ‎.‎ 显然且.‎ 所以.‎ 因为,所以.‎ 所以当, 取得最小值12.‎ 所以的最小值为.‎ 故选D.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在题中的横线上。)‎ ‎13.【2018届云南省昆明市高新技术开发区月考】已知棱长为4的正方体,球与该正方体的各个面相切,则以平面截此球所得的截面为底面,以为顶点的圆锥体积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】平面与平面平行且把正方体的体对角线三等分,因此球心到平面 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的距离为,由于球的半径为2,所以截面圆的半径,圆锥体积为.‎ ‎14.【2018届安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校高三上第一次联考】已知三棱锥, 为边三角形, 为直角三角形, ,平面平面.若,则三棱锥外接球的表面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎15.【2017届广东省揭阳市届高三上学期期末】鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、 前后完全对称.从外表上看,六根等长的正四棱柱体分成三组,经榫卯起来,如图3,若正四棱柱体的高为,底面正方形的边长为,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积的最小值为__________.(容器壁的厚度忽略不计) ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球。设其半径为R, ,所以该球形容器的表面积的最小值为.‎ ‎16.【2018届福建省数学基地校】为正方体对角线上的一点,且 ().下面结论:‎ ‎①;‎ ‎②若⊥平面,则;‎ ‎③若△PAC为钝角三角形,则;‎ ‎④若,则△为锐角三角形.‎ 其中正确的结论为________.(写出所有正确结论的序号)‎ ‎【答案】①②④‎ 以点为坐标原点, 所在射线分别为轴, 轴, 轴的正半轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则又,所以若为钝角三角形,只能是是钝角,所以解得,所以③错误;‎ 由③可知若,则为锐角三角形,④正确,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以正确的结论序号为①②④.‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17.(本小题10分)【2017届云南省红河州高三统一检测】如图1,在直角梯形ABCD中, , 点E为AC中点.将三角形ADC沿AC折起, 使平面ADC平面ABC,得到几何体D-ABC,如图2所示.‎ ‎(I)在CD上找一点,使AD//平面;‎ ‎(II)求点到平面的距离.‎ ‎【答案】(1)的中点(2)‎ ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 在中, 分别为的中点 为的中位线 ‎ 平面, 平面 平面 ‎ ‎(II)平面 平面且,面交面,‎ 平面 ‎ 而, 平面, 即 ‎ ,三棱锥的高, ‎ ‎ 即 ‎.‎ ‎18.(本小题10分)【2018届贵州省黔东南州高三上学期第一次联考】如图,四棱锥中,底面是直角梯形, , 是正三角形, 是的中点.‎ ‎(1)求证: ;‎ ‎(2)判定是否平行于平面,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析:(1)取AD中点M,连接CM、PM,推导出,从而 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 平面,由此能证明. (2)取PA的中点F,连接BF、FE,推导出四边形BCEF为平行四边形,从而CE∥BF,由此能证明CE∥平面PAB.‎ 试题解析:(1)‎ 又,故平面,‎ 又平面,故.‎ ‎(2)平行于平面,‎ 理由如下:取的中点为,连接.‎ 可知,‎ 又,‎ 所以四边形为平行四边形,故.‎ 又平面平面,‎ 所以平面.‎ ‎19.(本小题12分)如图,平面,,,为中点.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求二面角的正弦值;‎ ‎(3)求点到平面的距离.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2) ;(3)‎ ‎∵、分别为、中点,∴且,又且.‎ ‎∴且,∴四边形为平行四边形,则,‎ ‎∵平面,,∴平面.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又∵平面,∴平面平面,‎ ‎∵为中点,且,∴,∴平面,∴平面.‎ ‎⑵取的中点和的中点,‎ 分别以、、所在直线为、、轴建立如图空间直角坐标系,‎ 则,,,,‎ ‎,, 设面的法向量,‎ 则,取,‎ 取面的法向量,‎ 由,‎ 故二面角的大小为.‎ ‎⑶由⑵,面的法向量,,‎ 则点到平面的距离, .‎ ‎20.(本小题12分)【2018届云南省昆明市高新技术开发区月考】如图所示,四棱锥中, 平面, , , , 为线段上一点, , 为线段上一点, .‎ ‎(1)证明: 平面;‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正弦值 ‎【答案】(1)详见解析;(2) .‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 试题解析:‎ ‎(Ⅰ)证明:由已知得,如图,取上靠近的四等分点,连接,‎ 由知, . ‎ 又,故平行且等于,四边形为平行四边形,于是.‎ 因为平面, 平面,所以平面.‎ ‎(Ⅱ)解:如图,取的中点,连接.‎ 由得,从而,且.‎ 以为坐标原点, 的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 由题意知, , , , , ,‎ ‎, , .‎ 设为平面的一个法向量,‎ 则即 可取.于是,‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为. ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎21.(本小题13分)【2018届北京市朝阳区高三上学期期中】如图,在四棱锥中,底面是菱形, 平面, 是棱上的一个动点.‎ ‎(Ⅰ)若为的中点,求证: 平面;‎ ‎(Ⅱ)求证:平面平面;‎ ‎(Ⅲ)若三棱锥的体积是四棱锥体积的,求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ) .‎ 试题解析:‎ ‎(Ⅰ)证明:如图,设交于,连接.‎ 因为底面是菱形,‎ 所以是的中点.‎ 又因为为的中点,‎ 所以.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 因为平面, 平面,‎ 所以平面. ‎ ‎(Ⅱ)证明:因为底面是菱形,‎ 所以.‎ 又因为平面, 平面,‎ 所以.‎ 因为,‎ 所以平面.‎ 因为平面,‎ 所以平面平面.‎ ‎(Ⅲ)设四棱锥的体积为.‎ 因为平面,所以.‎ 又因为底面是菱形,‎ 所以,‎ 所以.‎ 根据题意, ,‎ 所以.‎ 又因为,‎ 所以.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎22.(本小题13分)【2018届广东省东莞外国语学校高三第一次月考】如图,矩形中, , 分别为边上的点,且,将沿折起至位置(如图所示),连结,其中.‎ ‎(Ⅰ) 求证: ; ‎ ‎(Ⅱ) 在线段上是否存在点使得?若存在,求出点的位置;若不存在,请说明理由.‎ ‎(Ⅲ) 求点到的距离.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)‎ ‎(Ⅲ) 由PF⊥平面ABED,知PF为三棱锥P-ABE的高,利用等积法能求出点A到平面PBE的距离.‎ 试题解析:‎ ‎(Ⅰ)连结,由翻折不变性可知, , ,‎ ‎ 在中, ,‎ 所以 ‎ ‎ 在图中,易得,‎ 在中, ,所以 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又, 平面, 平面,所以平面.‎ ‎(Ⅱ) 当为的三等分点(靠近)时, 平面. ‎ 证明如下:‎ ‎ 因为, ,所以 ‎ ‎ 又平面, 平面,所以平面. ‎ ‎ (注:学生不写平面,扣1分)‎ ‎ (Ⅲ) 由(Ⅰ)知平面,所以为三棱锥的高. ‎ ‎ 设点到平面的距离为,由等体积法得,‎ 即,又,,‎ ‎ 所以,即点到平面的距离为.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费

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