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第八章 立体几何
测试题
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选择中,只有一个是符合题目要求的。)
1.【2018届河南省漯河市高级中学高三上学期第二次模拟】已知是两条不同直线,是平面,则下列命题是真命题的是( )
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则
【答案】B
2.【2018届北京市朝阳区高三上学期期中】已知表示两条不同的直线, 表示平面,下列说法正确的是
A. 若, ,则 B. 若, ,则
C. 若, ,则 D. 若, ,则
【答案】D
【解析】对于A, , ,则可能相交,可能异面,也可能平行,命题错误;
对于B, , ,则, 或与斜交,命题错误;
对于C, , ,则,或,命题错误;
对于D,若, ,则,显然正确》
故选:D.
3.【2018届河南省洛阳市高三上学期尖子生第一次联考】已知球
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与棱长为4的正四面体的各棱相切,则球的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
4.【2018届北京西城161高三上期中】在如图所示的空间直角坐标系中,一个四面体的顶点坐标分别是, , , ,给出编号①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( ).
A. ①和② B. ③和① C. ④和③ D. ④和②
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【答案】D
【解析】
在空间直角坐标系中,根据所给的条件标出已知的四个点,结合三视图的画图规则,可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②.选D.
5.【2017届广东省广州高三下学期第一次模拟】如图,网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图,且该几何体的体积为,则该几何体的俯视图可以是( ).
A. B. C. D.
【答案】C
6.【2018届广西桂林市第十八中学高三上学期第三次月考】多面体的三视图如图所示,则该多面体的外接球的表面积为( )
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示,由三棱锥的三视图得:该三棱锥的底面是腰长为6的等腰直角三角形,设该三棱锥的外接球的半径为球心为则
故则该三棱锥的外接球的表面积为
选D.
7.【2018届云南省昆明一中高三第二次月考】正三棱锥中,若三条侧棱两两垂直,且,则正三棱锥的高为( )
A. B. 2 C. D. 3
【答案】C
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【解析】
8.【2018届云南省昆明市高新技术开发区月考】已知直三棱柱的6个顶点都在表面积为的球的球面上,若, ,则该三棱柱的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
9.【2017届东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学高三下第四次模拟】已知正四棱锥中, 分别是的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
建立如图所示空间直角坐标系,可知.则,则.故本题答案选.
10.【2017年福建省数学基地校】已知是球的直径上一点, ,平面, 为垂足, 截球所得截面的面积为,则球的体积为( )
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(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】如图,
11.【2018届四川省乐山外国语学校高三上练习三】三棱锥中, 互相垂直, , 是线段上一动点,若直线与平面所成角的正切的最大值是,则三棱锥的外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
【答案】B
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三棱锥扩充为长方体,则长方体的对角线长为,
∴三棱锥的外接球的半径为,
∴三棱锥的外接球的表面积为.
选B.
12.【2018届浙江省源清中学高三9月月考】如图,矩形,矩形,正方形两两垂直,且,若线段上存在点使得,则边长度的最小值为( )
A. 4 B. C. D.
【答案】D
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【解析】
.
显然且.
所以.
因为,所以.
所以当, 取得最小值12.
所以的最小值为.
故选D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在题中的横线上。)
13.【2018届云南省昆明市高新技术开发区月考】已知棱长为4的正方体,球与该正方体的各个面相切,则以平面截此球所得的截面为底面,以为顶点的圆锥体积为__________.
【答案】
【解析】平面与平面平行且把正方体的体对角线三等分,因此球心到平面
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的距离为,由于球的半径为2,所以截面圆的半径,圆锥体积为.
14.【2018届安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校高三上第一次联考】已知三棱锥, 为边三角形, 为直角三角形, ,平面平面.若,则三棱锥外接球的表面积为__________.
【答案】
15.【2017届广东省揭阳市届高三上学期期末】鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、 前后完全对称.从外表上看,六根等长的正四棱柱体分成三组,经榫卯起来,如图3,若正四棱柱体的高为,底面正方形的边长为,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积的最小值为__________.(容器壁的厚度忽略不计)
【答案】
【解析】
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表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球。设其半径为R, ,所以该球形容器的表面积的最小值为.
16.【2018届福建省数学基地校】为正方体对角线上的一点,且 ().下面结论:
①;
②若⊥平面,则;
③若△PAC为钝角三角形,则;
④若,则△为锐角三角形.
其中正确的结论为________.(写出所有正确结论的序号)
【答案】①②④
以点为坐标原点, 所在射线分别为轴, 轴, 轴的正半轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则又,所以若为钝角三角形,只能是是钝角,所以解得,所以③错误;
由③可知若,则为锐角三角形,④正确,
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所以正确的结论序号为①②④.
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题10分)【2017届云南省红河州高三统一检测】如图1,在直角梯形ABCD中, , 点E为AC中点.将三角形ADC沿AC折起, 使平面ADC平面ABC,得到几何体D-ABC,如图2所示.
(I)在CD上找一点,使AD//平面;
(II)求点到平面的距离.
【答案】(1)的中点(2)
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在中, 分别为的中点
为的中位线
平面, 平面
平面
(II)平面 平面且,面交面,
平面
而, 平面, 即
,三棱锥的高,
即
.
18.(本小题10分)【2018届贵州省黔东南州高三上学期第一次联考】如图,四棱锥中,底面是直角梯形, , 是正三角形, 是的中点.
(1)求证: ;
(2)判定是否平行于平面,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)取AD中点M,连接CM、PM,推导出,从而
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平面,由此能证明.
(2)取PA的中点F,连接BF、FE,推导出四边形BCEF为平行四边形,从而CE∥BF,由此能证明CE∥平面PAB.
试题解析:(1)
又,故平面,
又平面,故.
(2)平行于平面,
理由如下:取的中点为,连接.
可知,
又,
所以四边形为平行四边形,故.
又平面平面,
所以平面.
19.(本小题12分)如图,平面,,,为中点.
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(1)求证:平面;
(2)求二面角的正弦值;
(3)求点到平面的距离.
【答案】(1)详见解析;(2) ;(3)
∵、分别为、中点,∴且,又且.
∴且,∴四边形为平行四边形,则,
∵平面,,∴平面.
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又∵平面,∴平面平面,
∵为中点,且,∴,∴平面,∴平面.
⑵取的中点和的中点,
分别以、、所在直线为、、轴建立如图空间直角坐标系,
则,,,,
,, 设面的法向量,
则,取,
取面的法向量,
由,
故二面角的大小为.
⑶由⑵,面的法向量,,
则点到平面的距离, .
20.(本小题12分)【2018届云南省昆明市高新技术开发区月考】如图所示,四棱锥中, 平面, , , , 为线段上一点, , 为线段上一点, .
(1)证明: 平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值
【答案】(1)详见解析;(2) .
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试题解析:
(Ⅰ)证明:由已知得,如图,取上靠近的四等分点,连接,
由知, .
又,故平行且等于,四边形为平行四边形,于是.
因为平面, 平面,所以平面.
(Ⅱ)解:如图,取的中点,连接.
由得,从而,且.
以为坐标原点, 的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意知, , , , , ,
, , .
设为平面的一个法向量,
则即
可取.于是,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
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21.(本小题13分)【2018届北京市朝阳区高三上学期期中】如图,在四棱锥中,底面是菱形, 平面, 是棱上的一个动点.
(Ⅰ)若为的中点,求证: 平面;
(Ⅱ)求证:平面平面;
(Ⅲ)若三棱锥的体积是四棱锥体积的,求的值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ) .
试题解析:
(Ⅰ)证明:如图,设交于,连接.
因为底面是菱形,
所以是的中点.
又因为为的中点,
所以.
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因为平面, 平面,
所以平面.
(Ⅱ)证明:因为底面是菱形,
所以.
又因为平面, 平面,
所以.
因为,
所以平面.
因为平面,
所以平面平面.
(Ⅲ)设四棱锥的体积为.
因为平面,所以.
又因为底面是菱形,
所以,
所以.
根据题意, ,
所以.
又因为,
所以.
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22.(本小题13分)【2018届广东省东莞外国语学校高三第一次月考】如图,矩形中, , 分别为边上的点,且,将沿折起至位置(如图所示),连结,其中.
(Ⅰ) 求证: ;
(Ⅱ) 在线段上是否存在点使得?若存在,求出点的位置;若不存在,请说明理由.
(Ⅲ) 求点到的距离.
【答案】(1)见解析;(2)
(Ⅲ) 由PF⊥平面ABED,知PF为三棱锥P-ABE的高,利用等积法能求出点A到平面PBE的距离.
试题解析:
(Ⅰ)连结,由翻折不变性可知, , ,
在中, ,
所以
在图中,易得,
在中, ,所以
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又, 平面, 平面,所以平面.
(Ⅱ) 当为的三等分点(靠近)时, 平面.
证明如下:
因为, ,所以
又平面, 平面,所以平面.
(注:学生不写平面,扣1分)
(Ⅲ) 由(Ⅰ)知平面,所以为三棱锥的高.
设点到平面的距离为,由等体积法得,
即,又,,
所以,即点到平面的距离为.
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