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2017-2018学年山西省汾西县九年级上期末模拟数学试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.已知抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于（ ）
A. 4 B. 8 C. -4 D. 16
2.我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们规定一个新数i，使其满足i2=﹣1（即x2=﹣1方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对任意正整数n，我们可得到i4n+1=i4n•i=（i4）n•i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1，那么，i+i2+i3+i4+…+i2016+i2017的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. i
3.某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A. 4 m B. 8m C. m D. 4m
4.如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A. a=b B. a=2b C. a=2b D. a=4b
5.化简 结果正确的是（ ）
A. 3+2 B. 3- C. 17+12 D. 17-12
6.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为x=1，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣ ），（ ）是抛物线上两点，则y1＜y2
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其中结论正确的是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①③④
7.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论： ①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；
②4a+2b+c＜0；
③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．
其中正确的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD，CE分别是斜边上的高和中线，若AC=CE=6，则CD的长为（ ）
A. B. 3 C. 6 D. 6
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9.如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB=5，BC=10，DE=4，则EF的长为（ ）
A. 12.5 B. 12 C. 8 D. 4
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是（）
A. 20 B. 10 C. 5 D.
二、填空题（共8题；共24分）
11.方程2x﹣x2=的正实数根有________ 个
12.已知一元二次方程x2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根，则m=________
13.已知抛物线y=x2﹣2x﹣3，若点P（3，0）与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是________．
14.方程 的解是________．
15.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，， BC=3，那么AC=________ ．
16.抛物线y=x2+bx+c与x轴无公共点，则b2与4c的大小关系是________ ．
17.已知a:b=3:2，则(a-b):a=________ ．
18.如图，A为某旅游景区的最佳观景点，游客可从B处乘坐缆车先到达小观景平台DE观景，然后再由E处继续乘坐缆车到达A处，返程时从A处乘坐升降电梯直接到达C处，已知：AC⊥BC于C，DE∥BC，AC=200.4米，BD=100米，∠α=30°，∠β=70°，则AE的长度约为________米．（参考数据：sin70≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.25）．
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三、解答题（共6题；共36分）
19.如果二次根式 与 能够合并，能否由此确定a=1？若能，请说明理由；不能，请举一个反例说明．
20.（2014•盘锦）如图，用一根6米长的笔直钢管弯折成如图所示的路灯杆ABC，AB垂直于地面，线段AB与线段BC所成的角∠ABC=120°，若路灯杆顶端C到地面的距离CD=5.5米，求AB长．
21.平面直角坐标中，对称轴平行于y轴的抛物线经过原点O，其顶点坐标为（3，﹣）；Rt△ABC的直角边BC在x轴上，直角顶点C的坐标为（， 0），且BC=5，AC=3（如图（1））．
（1）求出该抛物线的解析式；
（2）将Rt△ABC沿x轴向右平移，当点A落在（1）中所求抛物线上时Rt△ABC停止移动．D（0，4）为y轴上一点，设点B的横坐标为m，△DAB的面积为s．
①分别求出点B位于原点左侧、右侧（含原点O）时，s与m之间的函数关系式，并写出相应自变量m的取值范围（可在图（1）、图（2）中画出探求）；
②当点B位于原点左侧时，是否存在实数m，使得△DAB为直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
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22.如图1，在综合实践活动中，同学们制作了两块直角三角形硬纸板，一块含有30°角，一块含有45°角，并且有一条直角边是相等的．现将含45°角的直角三角形硬纸板重叠放在含30°角的直角三角形硬纸板上，让它们的直角完全重合．如图2，若相等的直角边AC长为12cm，求另一条直角边没有重叠部分BD的长（结果用根号表示）．
23.根据条件求二次函数的解析式：
（1）抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），且与y轴交点的纵坐标为﹣3
（2）抛物线在x轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，﹣2）．
24.如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，看旗杆顶部M的仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，看旗杆顶部M的仰角为30°．两人相距30米且位于旗杆两侧（点B，N，D在同一条直线上）．求旗杆MN的高度．（参考数据： ， ，结果保留整数）
四、综合题（共10分）
25.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=30cm，BC=25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s．
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（1）几秒后P，Q两点相距25cm？
（2）几秒后△PCQ与△ABC相似？
（3）设△CPQ的面积为S1 ， △ABC的面积为S2 ， 在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S1：S2=2：5？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．
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2017-2018学年山西省汾西县九年级上期末模拟数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题
1.【答案】D
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：根据题意，得=0，
解得c=16．
故选D．
【分析】顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0．据此作答．
2.【答案】D
【考点】一元二次方程的解
【解析】【解答】解：由题意得，i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4•i=i，i6=i5•i=﹣1，
故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，
∵ =504…1，
∴i+i2+i3+i4+…+i2013+i2017=i，
故选：D．
【分析】i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4•i=i，i6=i5•i=﹣1，从而可得4次一循环，一个循环内的和为0，计算即可．
3.【答案】D
【考点】含30度角的直角三角形
【解析】【解答】解：作CE⊥AB交AB 的延长线于E， ∵∠ABC=150°，
∴∠CBE=30°，
∴CE= BC=4cm，
故选：D．
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【分析】作CE⊥AB交AB 的延长线于E，根据直角三角形的性质计算即可．
4.【答案】B
【考点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为a，
∵小长方形与原长方形相似，
∴
∴a=2b．
故选B．
【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可得解．
5.【答案】A
【考点】分母有理化
【解析】【解答】解：原式= =3+2
故选A．
【分析】原式分子分母乘以有理化因式，计算即可得到结果．
6.【答案】C
【考点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1，
∴b=﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
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∴abc＜0，所以①错误；
∵b=﹣2a，
∴2a+b=0，所以②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，所以③错误；
∵点（﹣ ）到对称轴的距离比点（ ）对称轴的距离远，
∴y1＜y2 ， 所以④正确．
故选C．
【分析】由抛物线开口方向得到a＜0，有对称轴方程得到b=﹣2a＞0，由∵抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对①进行判断；由b=﹣2a可对②进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），则可判断当x=2时，y＞0，于是可对③进行判断；通过比较点（﹣ ）与点（ ）到对称轴的距离可对④进行判断．
7.【答案】B
【考点】二次函数的图象，二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式（组）
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，①正确； ∵x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；
根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误；
使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误，
故选：B．
【分析】①根据抛物线的顶点坐标确定二次三项式ax2+bx+c的最大值；②根据x=2时，y＜0确定4a+2b+c的符号；③根据抛物线的对称性确定一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和；④根据函数图象确定使y≤3成立的x的取值范围．
8.【答案】B
【考点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，CE为斜边上的中线，
∴AE=BE=CE=AC=6
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∴△ACE为等边三角形，
∴∠AEC=60°，
∴∠DCE=30°，
∵CD⊥AE，
∴DE= AE=3，
∴CD= DE=3 ，
故答案为：B．
【分析】由斜边中线定理得出△ACE为等边三角形，再由30度角的三角函数可求出CD.
9.【答案】C
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AD∥BE∥CF， ∴ = ，即 = ，
解得，EF=8，
故选：C．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入已知数据计算即可．
10.【答案】C
【考点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CD的长．
【解答】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，
∴AB=5，
故选C．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点)．
二、填空题
11.【答案】0
【考点】二次函数的图象
【解析】【解答】解：在同一坐标系中，分别作出y1=2x﹣x2与y2=的图象如下：
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由图象可以看出，正实数根有0个．
【分析】分别作出y1=2x﹣x2与y2=的图象，由交点判断正实数根的个数．
12.【答案】2
【考点】根的判别式
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=m2﹣4×1×（m﹣1）=m2﹣4m+4=（m﹣2）2=0，
∴m=2，
故答案为：2．
【分析】首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值即可．
13.【答案】（﹣1，0）
【考点】二次函数的图象，二次函数的性质
【解析】【解答】解：∵x= =﹣ =1．
∴P（3，0）关于对称轴的对称点Q的坐标是（﹣1，0）．
故点Q的坐标是（﹣1，0）．
故答案为（﹣1，0）．
【分析】根据抛物线解析式求出抛物线对称轴为x=1，再根据图象得出点p（﹣2，5）关于对称轴对称点Q的纵坐标不变，两点横坐标到对称轴的距离相等，都为3，得到Q点坐标为（4，5）．
14.【答案】
【考点】解一元二次方程-因式分解法
【解析】【解答】将方程移项得 ，提取公因式x＋2得
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，∴方程的解为 ．
【分析】考查提取公因式法的求解，且以x＋2为整体提取公因式．
15.【答案】9
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】根据三角函数的定义即可求解．
∵cotB=，
∴AC===3BC=9．
故答案是：9．
【分析】锐角三角函数的定义．
16.【答案】b2＜4c
【考点】抛物线与x轴的交点
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴无公共点，
∴方程x2+bx+c=0无解，
∴△＜0，
即b2﹣4c＜0，
∴b2＜4c；
故答案为：b2＜4c．
【分析】根据题意得出方程x2+bx+c=0无解，得出△＜0，即可得出结论．
17.【答案】
【考点】比例的性质
【解析】【解答】根据比例关系即可得到答案.
∵a:b=3:2
∴(a-b):a=(3-2):3=1:3
【分析】考查比例关系.
18.【答案】160
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，作DF⊥BC，
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在Rt△BFD中，∵sin∠DBF= ，
∴DF=100× =50米，
∴GC=DF=50米，
∴AG=AC﹣GC=200.4﹣50=150.4米，
在Rt△AGE中，∵sin∠AEG= ，
∴AE= = =160米．
故答案为：160．
【分析】在Rt△BFD中，根据正弦的定义求出DF的长，得到CG的长，进一步得到AG，再在Rt△AGE中，根据正弦的定义求出AE的长，即可得到答案．
三、解答题
19.【答案】解答：二次根式 与 能够合并，不能由此确定a=1．
当 是最简二次根式，∴3a－1=2，∴a=1；
当 不是最简二次根式，∴3a－1=8，∴a=3．
还有其他情况．
故不能确定a=1．
【考点】同类二次根式
【解析】【分析】由于二次根式 与 能够合并，如果 是最简二次根式，由此可以得到 ，由此可以确定a=1，但 不一定是最简二次根式，所以还有其他的情况，由此即可求解．
20.【答案】解：过B作BE⊥DC于E，设AB=x米，
∴CE=5.5﹣x，BC=6﹣x，
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∵∠ABC=120°，
∴∠CBE=30°，
∴sin30°=，
解得：x=5，
答：AB的长度为5米．
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过B作BE⊥DC于E，设AB=x米，则CE=5.5﹣x，BC=6﹣x，根据30°角的正弦值即可求出x，则AB求出．
21.【答案】解：（1）由题意，设所求抛物线为
y=a（x﹣3）2﹣．①
将点（0，0）代入①，得a=．
∴y=x2﹣3x．
（2）①当点B位于原点左侧时，如图（1）：
S=S△OBD+S梯形OCAD﹣S△ABC ，
=•4•（﹣m）+（4+3）（5+m）﹣，
=m+10．
∴S=m+10．（﹣4.5≤m＜0），
当点B位于原点右侧（含原点O）时，如图（2）：
S=S梯形OCAD﹣S△OBD﹣S△ABC ，
=（4+3）（5+m）﹣•4•m﹣，
=m+10．
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∴S=m+10．（0≤m＜﹣2），
②m1=﹣1，m2=﹣4，m3=﹣4.4．
【考点】二次函数的应用
【解析】【分析】（1）根据抛物线顶点坐标为（3，﹣），利用顶点式求出即可；
（2）根据当点B位于原点左侧时以及当点B位于原点右侧（含原点O）时，分别分析即可得出答案．
22.【答案】解：∵Rt△ABC中，AC=12，∠ABC=45°，
∴BC=AC=12，
∵Rt△ACD中，AC=12，∠DAC=60°，
∴tan∠DAC=，
∴CD=AC×tan∠DAC=12×tan60°=12，
∴BD=CD﹣BC=（12﹣12）cm．
答：另一条直角边没有重叠部分BD的长为（12﹣12）cm．
【考点】解直角三角形
【解析】【分析】先根据Rt△ABC中，AC=12，∠ABC=45°，求出BC，再根据tan∠DAC=， 得出CD，最后根据BD=CD﹣BC计算即可．
23.【答案】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1）， ∴设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2﹣1，
∵抛物线与y轴交点的纵坐标为﹣3，
∴﹣3=a（0+1）2﹣1，
解得a=﹣2．
∴抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）2﹣1，
即y=﹣2x2﹣4x﹣3
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（2）解：∵抛物线的顶点坐标是（3，﹣2）， ∴抛物线的对称轴为直线x=3，
∵抛物线在x轴上截得的线段长为4，
∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0），（5，0），
设抛物线的解析式为y=k（x﹣1）（x﹣5），
则﹣2=k（3﹣1）（3﹣5）
解得k= ，
∴抛物线解析式为y= （x﹣1）（x﹣5），
即y= x2﹣3x+
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】应用待定系数法，求出每个二次函数的解析式各是多少即可．
24.【答案】解：过A作AE⊥MN，垂足为E，过C作CF⊥MN，垂足为F
设ME=x，Rt△AME中，∠MAE=45°，
∴AE=ME=x，Rt△MCF中，MF=x+0.2，
CE= = （x+0.2），
∵BD=AE+CF，
∴x+ （x+0.2）=30
∴x≈11.0，即AE=11.0，
∴MN=11.0+1.7=12.7≈13．
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．
四、综合题
25.【答案】（1）解：设x秒后P、Q两点相距25cm，
则CP=2xcm，CQ=（25﹣x）cm，
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由题意得，（2x）2+（25﹣x）2=252 ，
解得，x1=10，x2=0（舍去），
则10秒后P、Q两点相距25cm
（2）解：设y秒后△PCQ与△ABC相似，
当△PCQ∽△ACB时， = ，即 = ，
解得，y= ，
当△PCQ∽△BCA时， = ，即 = ，
解得，y= ，
故 秒或 秒后△PCQ与△ABC相似
（3）解：△CPQ的面积为S1= ×CQ×CP= ×2t×（25﹣t）=﹣t2+25t，
△ABC的面积为S2= ×AC×BC=375，
由题意得，5（﹣t2+25t）=375×2，
解得，t1=10，t2=15，
故运动10秒或15秒时，S1：S2=2：5
【考点】相似三角形的性质，相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）设x秒后P、Q两点相距25cm，用x表示出CP、CQ，根据勾股定理列出方程，解方程即可；（2）分△PCQ∽△ACB和△PCQ∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出关系式，解方程即可；（3）用t分别表示出CP、CQ，根据题意列出方程，解方程即可．
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