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浙江省宁波市XX中学2018届九年级上册期末模拟数学试卷
一.单选题（共10题；共30分）
1.如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. π﹣2 B. π﹣4 C. 4π﹣2 D. 4π﹣4
2.已知AB是⊙O的直径，弧AC的度数是30°．如果⊙O的直径为4，那么AC2等于（ ）
A. 2- B. 4-6 C. 8-4 D. 2
3.如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ）
A. 175πcm2 B. 350πcm2 C. πcm2 D. 150πcm2
4.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图所示，当V=10m3时，气体的密度是（ ）
A. 5kg/m3 B. 2kg/m3 C. 100kg/m3 D. 1kg/m3
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5.已知扇形AOB的半径为6㎝，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
6.如果两个相似三角形的相似比是1：， 那么这两个相似三角形的面积比是（ ）
A. 2：1 B. 1： C. 1：2 D. 1：4
7.sin30°的值是（ ）
A. B. C. 1 D.
8.在△ABC中，∠C=90°，sinA=， 则tanA的值为（ ）
A. B. C. D.
9.在下列现象中：①时针转动，②电风扇叶片的转动，③转呼啦圈，④传送带上的电视机，其中是旋转的有（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④
10.如图所示的抛物线对称轴是直线x=1，与x轴有两个交点，与y轴交点坐标是（0，3），把它向下平移2个单位后，得到新的抛物线解析式是 y=ax2+bx+c，以下四个结论：
①b2﹣4ac＜0，②abc＜0，③4a+2b+c=1，④a﹣b+c＞10中，判断正确的有（ ）
A. ②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ①④
二.填空题（共8题；共24分）
11.如图，在⊙O中，直径AB∥弦CD，若∠COD=120°，则∠BOD= ________．
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12.挂钟分针的长10cm，经过45分钟，它的针尖转过的弧长是________ cm.
13.如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为________ cm．
14.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个；若这种商品的零售价在一定范围内每降价2元，其日销售量就增加4个，为了获得最大利润，则售价为________元，最大利润为________元．
15.请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：________ ．
16.若 （b+d≠0），则 =________
17.如果 ， 那么=________
18.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）自变量x与函数y的对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
m﹣4
m﹣2
m﹣
m
m﹣
m﹣4
m﹣2
m﹣4
若1＜m＜1，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1 ， x2的取值范围是________ ．
三.解答题（共6题；共36分）
19.如图，某超市利用一个带斜坡的平台装卸货物，其纵断面ACFE如图所示． AE为台面，AC垂直于地面，AB表示平台前方的斜坡．斜坡的坡角∠ABC为45°，坡长AB为2m．为保障安全，又便于装卸货物，决定减小斜坡AB的坡角，AD 是改造后的斜坡（点D在直线BC上），坡角∠ADC为31°．求斜坡AD底端D与平台AC的距离CD．（结果精确到0.01m）[参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601， ≈1.414]．
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20.如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？
21.如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长是多少？
22.如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍．
23.“蘑菇石”是我国著名的自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1890m．如图，DE∥BC，BD=1800m，∠DBC=80°，求斜坡AE的长度．（结果精确到0.1m，可参考数据sin29°≈0.4848，sin80°≈0.9848，cos29°≈0.8746，cos80°≈0.1736）
24.如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）
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四.综合题（共10分）
25.如图，用20m的篱笆围成一个矩形的花圃．设连墙的一边为x（m），矩形的面积为y（m2）．
（1）写出y关于x的函数解析式；
（2）当x=3时，矩形的面积为多少？
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浙江省宁波市XX中学2018届九年级上册期末模拟数学试卷
参考答案与试题解析
一.单选题
1.【答案】A
【考点】扇形面积的计算
【解析】【解答】S阴影部分=S扇形OAB﹣S△OAB=-=π﹣2，故选：A
【分析】由∠AOB为90°，得到△OAB为等腰直角三角形，于是OA=OB，而S阴影部分=S扇形OAB﹣S△OAB ． 然后根据扇形和直角三角形的面积公式计算即可．
2.【答案】C
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接OC．过点C作CD⊥OA于点D．
∵⊙O的直径为4，
∴AB=4，
∴OA=OC=2．
∵弧AC的度数是30°，
∴∠COD=30°，
∴CD=1，
∴OD==，
则AD=2﹣，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
∴AC2=AD•AB=（2﹣）×4=8﹣4．
故选C．
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【分析】如图，连接OC．过点C作CD⊥OA于点D．根据圆心角、弧、弦间的关系知∠COD=30°．在直角△COD中，利用勾股定理、30度角所对的直角边是斜边的一半求得线段OD的长度，易求线段AD的长度．所以在直角△ACB中，利用射影定理来求AC2的值．
3.【答案】B
【考点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵AB=25，BD=15， ∴AD=10，
∴S贴纸=2×（ ﹣ ）
=2×175π
=350πcm2 ，
故选B．
【分析】贴纸部分的面积等于扇形ABC减去小扇形的面积，已知圆心角的度数为120°，扇形的半径为25cm和10cm，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的面积．
4.【答案】D
【考点】反比例函数的应用
【解析】【解答】∵ρ•V=10，
∴ρ=，
∴当V=10m3时，ρ==1kg/m3 ．
故选：D．
【分析】根据题意：密度ρ与体积V成反比例函数，且过点（5，2)，故ρ•V=10；故当V=10m3时，气体的密度是 10 V =1kg/m3 ．
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现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
5.【答案】D
【考点】弧长的计算，圆锥的计算
【解析】【分析】设围成圆锥的底面半径为r,由扇形弧长恰好等于底面周长，有： ，cm,圆锥的侧面积cm2 ， 故选D．
6.【答案】C
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：这两个相似三角形的面积比=12：（）2=1：2．
故选C．
【分析】直接根据似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算即可．
7.【答案】A
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：sin30°= ．
故选A．
【分析】由30°的正弦值为 ，即可求得答案．
8.【答案】C
【考点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：由△ABC中，∠C=90°，sinA=， 得
cosA= ，
tanA= ，
故选：C．
【分析】根据同角三角函数的关系：sin2α+cos2α=1，tanα= ，可得答案．
9.【答案】A
【考点】生活中的旋转现象
【解析】【解答】解：①时针转动，是旋转；故本项符合题意；
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②电风扇叶片的转动，是旋转；故本项符合题意；
③转呼拉圈，不只是旋转；故本项不符合题意；
④传送带上的电视机，不是旋转；故本项不符合题意；
故选：A．
【分析】根据旋转的定义，在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转；对每一项分析、判断即可．
10.【答案】A
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：根据题意平移后的抛物线的对称轴x=﹣ =1，c=3﹣2=1，
由图象可知，平移后的抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故①错误；
∵抛物线开口向上，∴a＞0，b=﹣2a＜0，
∴abc＜0，故②正确；
∵平移后抛物线与y轴的交点为（0，1）对称轴x=1，
∴点（2，1）点（0，1）的对称点，
∴当x=2时，y=1，
∴4a+2b+c=1，故③正确；
由图象可知，当x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，故④正确．
故选A．
【分析】根据平移后的图象即可判定①，根据平移后的对称轴和与y轴的交点坐标，即可判定a和b的关系以及c的值，即可判定②，根据与y轴的交点求得对称点，即可判定③，根据图象即可判定④．
二.填空题
11.【答案】30°
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵OC=OD，
∴∠C=∠D，
∵∠COD=120°，
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∴∠C=∠D=30°，
∵AB∥CD，
∴∠BOD=∠D=30°，
故答案为30．
【分析】先求得∠C=∠D，再根据AB∥CD，可得出∠BOD=∠D，再求值即可．
12.【答案】
【考点】弧长的计算
【解析】【解答】分针经过60分钟，转过360°，经过45分钟转过270°，
则分针的针尖转过的弧长是．
故答案是．
【分析】考查弧长的计算．
13.【答案】18
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC
∴
设屏幕上的小树高是x，则
解得x=18cm．故答案为：18．
【分析】根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答．
14.【答案】90；800
【考点】二次函数的最值
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【解析】【解答】解：设降价x元，利润为y， y=（100﹣70﹣x）（20+2x）
=﹣2x2+40x+600
=﹣2（x﹣10）2+800，
当x=10时，y的最大值为800，
即售价为90元时，最大利润为800元．
故答案为90，800．
【分析】设降价x元，利润为y，利用总利润等于单个的利润乘以销售量得到y=（100﹣70﹣x）（20+2x），利用配方法得到y=﹣2（x﹣10）2+800，然后根据二次函数的最值问题求解．
15.【答案】y=-
【考点】反比例函数的定义
【解析】【解答】∵图象在第二、四象限，
∴y=-，
故答案为：y=-．
【分析】根据反比例函数的性质可得k＜0，写一个k＜0的反比例函数即可．
此题主要考查了反比例函数y=（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
16.【答案】
【考点】比例的性质
【解析】【解答】解：由等比性质，得 = = ，
故答案为： ．
【分析】根据等比性质，可得答案．
17.【答案】
【考点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
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∴设x=2k，y=5k，
则 ．
故答案为：．
【分析】根据比例设x=2k，y=5k，然后代入比例式进行计算即可得解．
18.【答案】 ﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3
【考点】图象法求一元二次方程的近似根
【解析】解：∵1＜m＜1，
∴﹣1＜m﹣2＜﹣，＜m﹣＜1，
∴函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0．
由表中数据可知：y=0在y=m﹣2与y=m﹣之间，
故对应的x的值在﹣1与0之间，即﹣1＜x1＜0，
y=0在y=m﹣2与y=m﹣之间，故对应的x的值在2与3之间，即2＜x2＜3．
故答案为﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3．
【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0两个根的范围．
三.解答题
19.【答案】解：在Rt△ABC中，
∵∠ABC=53°，AB=2m，
∴AC=AB•sin45°=2 （m）
∴ ，
在Rt△ADC中，∵∠ADC=31°，
∴ ，
∴ ．
答：斜坡AD底端D与平台AC的距离CD约为2.36m
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【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【解析】【分析】首先根据∠ABC=45°，AB=2m，在Rt△ABC中，求出AC的长度，然后根据∠ADC=31°，利用三角函数的知识在Rt△ACD中求出CD的长度．
20.【答案】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），
到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：
﹣1=﹣0.5x2+2，
解得：x=± ，
所以水面宽度增加到2 米，
比原先的宽度当然是增加了（2 ﹣4）米．
【考点】二次函数的应用
【解析】【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
21.【答案】解：∵△ABC与△DEC的面积相等，
∴△CDF与四边形AFEB的面积相等，
∵AB∥DE，
∴△CEF∽△CBA，
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∵EF=9，AB=12，
∴EF：AB=9：12=3：4，
∴△CEF和△CBA的面积比=9：16，
设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积=7k，
∵△CDF与四边形AFEB的面积相等，
∴S△CDF=7k，
∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形，
∴面积比等于底之比，
∴DF：EF=7k：9k，
∴DF=7．
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据题意，易得△CDF与四边形AFEB的面积相等，再根据相似三角形的相似比求得它们的面积关系比，从而求DF的长，此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是会用割补法计算面积．
22.【答案】解：如图所示：△A′B′C′和△A″B″C″．
【考点】位似变换
【解析】【分析】直接利用位似图形的性质分别得出对应点位置，进而得出答案．
23.【答案】解：如图，过点D作DF⊥BC于点F，延长DE交AC于点M，
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由题意可得：EM⊥AC，DF=MC，∠AEM=29°，
在Rt△DFB中，sin80°= ，则DF=BD•sin80°，
AM=AC﹣CM=1890﹣1800•sin80°，
在Rt△AME中，sin29°= ，
故AE= = ≈242.1（m），
答：斜坡AE的长度约为242.1m．
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【解析】【分析】首先过点D作DF⊥BC于点F，延长DE交AC于点M，进而表示出DF、AM的长，再利用AE= ，求出答案．
24.【答案】解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACD中，
∵AC=10，∠A=30°，
∴DC=ACsin30°=5，
AD=ACcos30°=5，
在Rt△BCD中，
∵∠B=45°，
∴BD=CD=5，BC=5，
则用AC+BC-（AD+BD）=10+5-（5+5）=5+5-5（千米）．
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答：汽车从A地到B地比原来少走（5+5-5）千米．
【考点】特殊角的三角函数值，解直角三角形
【解析】【分析】 特殊角的三角函数值的应用，解决实际问题。
四.综合题
25.【答案】（1）解：设连墙的一边为x（m），矩形的面积为y（m2）， 则另一边长为：（20﹣2x）m，
∴y关于x的函数解析式为：y=x（20﹣2x）=﹣2x2+20x
（2）解：当x=3时，矩形的面积为：y=﹣2×32+20×3=42（cm2）
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】（1）根据题意表示出矩形的两边长进而得出矩形面积；（2）利用（1）中所求，直接代入求出即可．
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