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九年级（上）数学综合练习题（二）
数学
选择题（本题共32分，每小题4分）
1、如果两个相似三角形的相似比是，那么这两个相似三角形的周长比是
A． B． C． D．
2、若将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是
A． B．
C． D．
3、在a2□4a□4的空格□中,任意填上“＋”或“－”,在所有得到的代数式中,能构成完全平方式的概率是
A. B. C. D. 1
4、如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是
A．点A B．点B C．点C D．点D
5、如图，⊙的半径为4，，点，分别是射线，上的动点，且直线．当平移到与⊙相切时，的长度是
A． B． C． D．
6、如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中相似的是
A．
B．
C．
D．
A
B
C
7、两圆的圆心距为3，两圆半径分别是方程的两根，则两圆的位置关系是
A.内切 B. 相交 C.外切 D. 外离
8、如图，的四等分点，动点从圆心
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出发，沿路线作匀速运动．设运动时间为，则下列图象中表示与之间函数关系最恰当的是
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9、边长为的正三角形的外接圆的半径为 ．
10、如图，，且，则 ．
11、关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为 ．
12、已知点的坐标为，为坐标原点，连结，将线段绕点按逆时针方向旋转90°得，则点的坐标为 ．
三、解答题（本题共25分，每小题5分）
13、解方程：
14、如图，在中，，在边上取一点，使，过作交于，．求的长．
15、如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，若PA⊥AB，PO过AC的中点M，求证：PC是⊙O的切线．
16、如图，从一个半径为1m的圆形铁皮中剪出一个圆心角为90
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的扇形，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，求此圆锥的底面圆的半径．
17、如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔米有一棵树，在北岸边每隔米有一根电线杆．小丽站在离南岸边米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆A、B，恰好被南岸的两棵树C、D遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．
四、解答题（本题共10分，每小题5分）
18、关的一元二次方程(2)( 3)= 有两个实数根1、2，
（1）求的取值范围；
（2）若1、2满足等式1212+1=0，求的值．
19、如图，为的直径，是弦，且于点E．连接、、．
（1）求证：=．
（2）若=，=，求的直径．
五、解答题（本题共10分，每小题5分）
20、某校有A、B两个餐厅，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个餐厅用餐．
(1)请用列表或画树形图的方法求甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率；
(2)求甲、乙、丙三名学生中至少有一人在B餐厅用餐的概率．
21、如图，已知二次函数的图象的顶点为．二次函数的图象与轴交于原点及另一点，它的顶点在函数的图象的对称轴上．
（1）求点与点的坐标；
（2）当四边形为菱形时，求函数的关系式．
六、解答题（本题共6分）
22、阅读材料：
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为解方程，我们可以将视为一个整体，设，
则原方程可化为，①
解得，．
当时，，即．
当时，，即．
原方程的解为，，，．
根据以上材料，解答下列问题．
⑴填空：在原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了_____的数学思想．
⑵解方程
七、解答题（本题共21分，每小题7分）
23、如图，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a(a＞0)．
(1) 求∠APB的度数；
(2) 求正方形ABCD的面积．
24、一开口向上的抛物线与x轴交于A，B两点，C（，）为抛物线顶点，且AC⊥BC．
（1）若m是常数，求抛物线的解析式；
（2）设抛物线交y轴正半轴于D点，抛物线的对称轴交轴于点。问是否存在实数m，使得△OD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
25、如图，在梯形ABCD中，，，，，点由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交于Q，连接PE．若设运动时间为（s）（）．解答下列问题：
（1）过作，交于．当为何值时，？
（2）设=（cm2），求与之间的函数关系式，并求为何值时，有最大值，最大值是多少；
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（3）连接，在上述运动过程中，五边形的面积是否发生变化？说明理由．
九年级（上）数学综合练习题（二）
参考答案及评分标准
选择题（本题共32分，每小题4分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
C
B
A
B
B
C
一、 填空题（本题共16分，每小题4分）
9、； 10、； 11、； 12、．
三、解答题（本题共25分，每小题5分）
13、解：移项，得
．………………………………………1分
二次项系数化为1，得
．………………………………………2分
配方
………………………………………3分
由此可得
，………………………………………5分
14、解：在中，，
．………………………………………1分
又，
．
，
．
又，
．………………………………………3分
．………………………………………4分
．………………………………………5分
15、证明：连接OC，………………………………………1分
∵PA⊥AB， ∴∠PA0=900，
∵PO过AC的中点M，OA=OC，∴PO垂直平分AC. ………2分
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∴ ,∴∠PAC=∠PCA . …………………………3分
∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠PAC+∠CAO=∠PA0=900, ………4分
即PC是⊙O的切线．………………………………………5分
16、解：连结，依题意，线段是的直径．……1分
， ………………………………………2分
．……………………………3分
设圆锥的底面圆的半径为，则
.……………………………………4分
．………………………………………5分
答：圆锥的底面圆的半径为m.
17、解：设河宽为米．………………………………………1分
，.………………………………2分
．………………………………………………3分
依题意
．解得，（米）………………………4分
答：河的宽度为22.5米．………………………………………5分
四、解答题（本题共10分，每小题5分）
18、解：由(2)( 3)= ，
整理，得 ．………………………………………1分
（1）∵方程有两个实数根，
∴=．………………………………………2分
解之，得 ．………………………………………3分
（2）取m=2，则方程为．……………………4分
解得或．………………………………………5分
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19、（1）证明：是的直径，.
，.………1分
，.………2分
.…………………………3分
(2)解：设的半径为,则.
，.………………………4分
在中，，
．解得，．
的直径为26cm. ………………………………………5分
五、解答题（本题共10分，每小题5分）
20、解：(1)依题意，列出甲、乙、丙三名学生在A、B两个餐厅用餐的所有结果（树形图略），………………………………………3分
甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率为；………………………4分
(2)由题意可知，甲、乙、丙三名学生中至少有一人在B餐厅用餐的概率为……5分
21、解：（1），所以顶点的坐标为．………………………………………1分
因为二次函数的图象经过原点，且它的顶点在二次函数图象的对称轴上，所以点和点关于直线对称，所以点的坐标为．…………2分
（2）因为四边形是菱形，所以点和点关于直线对称，因此，点的坐标为．………………………………………3分
因为二次函数的图象经过点，，
所以解得………………………………………4分
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所以二次函数的关系式为．………………………5分
六、解答题（本题共6分）
22、（1）转化．………………………1分
（2）解：设，则原方程可化为．………………………2分
解得，（不合题意，舍去）．………………………4分
由可得解是：，………………………5分
故方程的解是，………………………6分
七、解答题（本题共21分，每小题7分）
23、解:(1)将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ．
则△ABP≌△CBQ且PB⊥QB．
于是PB=QB=2a，PQ==2a．……1分
在△PQC中，∵PC2=9a2，PQ2＋QC2=9a2．
∴PC2=PQ2＋QC2． ∴∠PQC=90°．……………………2分
∵△PBQ是等腰直角三角形，
∴∠BPQ=∠BQP=45°．………………………3分
故∠APB=∠CQB=90°＋45°=135°．………………………4分
(2)∵∠APQ=∠APB＋∠BPQ=135°＋45°=180°，
∴三点A、P、Q在同一直线上．……………5分
在Rt△AQC中，AC2=AQ2＋QC2=(a＋2a)2＋a2=(10＋4)a2．………………6分
∴正方形ABCD的面积=(5＋2)a2 ……………7分
24、解：（1）设抛物线的解析式为：
1分
∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB为等腰直角三角形，又AB＝4，
∴（m+2，0） 2分
代入，得a＝．∴解析式为：． 3分
（2）由（1）得D（0，m2），设存在实数m，使得△OD为等腰三角形．
∵△OD为直角三角形，∴只能OD＝O． 4分
∴当点在轴正半轴，即m＞0时，m2－2＝．
解得m＝或m＝（舍）．
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当点在轴负半轴，即m＜0时，m2－2＝．
当解得m＝或m＝（舍）；
当点在原点，即m＝0时， B、O、D三点共线（不合题意，舍）
综上所述：存在实数m＝或m＝，使得△OD为等腰三角形． 7分
25、（本小题满分12分）
解：（1）∵．∴∴． 1分
而，
∴，
∴．
∴当，． 2分
（2）∵平行且等于，∴．
∵，∴．
∴．
∴即．
∴． 3分
∵，∴．
∴==
…………………………………………4分
∴当时，有最大值5． 5分
（3）在和中，
6分
∴
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．
∴在运动过程中，五边形的面积不变． 7分
说明：本试卷解答题只给出了一种解法，其他解法参照评分标准相应给分.
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