2014届理科一轮试题选编35：离散型随机变量的期望与方差.doc

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编35：离散型随机变量的期望与方差 一、解答题 ．（山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题）学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)‎ ‎(1)求在1次游戏中,①摸出3个白球的概率;②获奖的概率;(6分)‎ ‎(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X). ‎ ‎【答案】解:(1)①设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件 ‎ 则 ‎ ‎②设“在1次游戏中获奖”为事件B,则,A2,A3互斥, ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ (2)法Ⅰ解:由题意可知X的所有可能取值为0,1,2 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ X的数学期望 ‎ 法Ⅱ:,于是可依次得出,,; ‎ ．（山东省泰安市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）(本小题满分12分)‎ 某次考试中,从甲、乙两个班级各随机抽取10名学生的成绩进行统计分析,两班成绩的茎叶图如图所示,成绩不小于60分为及格.‎ ‎(I)从甲、乙两班的10名学生中各抽取一人,已知有人及格,求乙班学生不及格的概率;‎ ‎(II)从甲班10人中取1人,乙班10人中取2人,三人中及格人数记为,求的分布列及期望.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ．（山东省枣庄市2013届高三4月（二模）模拟考试数学(理)试题）甲、乙、丙三位同学一起参加某高校组织的自主招生考试,考试分笔试和面试两部分,笔试和面试均合格者将成为该校的预录取生(可在高考中加分录取),两次考试过程相互独立.根据甲、乙、丙三位同学的平时成绩分析,甲、乙、丙三位同学能通过笔试的概率分别是0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是0.5,0.6,0.75.‎ ‎(1)求甲、乙、丙三位同学中至少有两位同学通过笔试的概率;‎ ‎(2)设经过两次考试后,能被该高校预录取的人数为,求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）生产A,B两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为正品,小于82为次品,现随机抽取这两种元件各100件进行检测,检测结果统计如下:‎ 测试指标 元件A ‎8‎ ‎12‎ ‎40‎ ‎32‎ ‎8‎ 元件B ‎7‎ ‎18‎ ‎40‎ ‎29‎ ‎6‎ ‎ (1)试分别估计元件A,元件B为正品的概率;‎ ‎(2)生产一件元件A,若是正品可盈利80元,若是次品则亏损10元;生产一件元件B,若是正品可盈利100元,若是次品则亏损20元,在(Ⅰ)的前提下.‎ ‎(i)求生产5件元件B所获得的利润不少于280元的概率; ‎ ‎(ii)记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润,求随机变量X的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ．（山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 ）(本小题满分l2分)中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母,“辽宁”号以4台蒸汽轮机为动力,为保证航母的动力安全性,科学家对蒸汽轮机进行了170余项技术改进,增加了某项新技术,该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测.假如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为、、.指标甲、乙、丙合格分别记为4分、2分、4分;若某项指标不合格,则该项指标记0分,各项指标检测结果互不影响.‎ ‎(I)求该项技术量化得分不低于8分的概率;‎ ‎(II)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件、、, ‎ 则事件“得分不低于8分”表示为+. 与为互斥事件,且、、为彼此独立+=()+() =()()()+()()(= ‎ ‎(Ⅱ)该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数的取值为0,1,2,3. ‎ ‎=()==, ‎ ‎=(++)=++=, ‎ ‎=(++)=++=, ‎ ‎=()==, ‎ 随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ =+++= ‎ ．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））一次考试共有12道选择题,每道选择题都有4个选项,其中有且只有一个是正确的.评分标准规定:“每题只选一个选项,答对得5分,不答或答错得零分”.某考生已确定有8道题的答案是正确的,其余题中:有两道题都可判断两个选项是错误的,有一道题可以判断一个选项是错误的,还有一道题因不理解题意只好乱猜.请求出该考生:‎ ‎(1) 得60分的概率;(2) 所得分数ξ的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】解:(1) 设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对的为事件A,“有一道题可判断一个选项是错误”选对的为事件B,“有一道题不理解题意”选对的为事件C, ‎ ‎∴P(A)= ,P(B)=,P(C)=,∴得60分的概率为p= ‎ ‎(2) ξ可能的取值为40,45,50,55,60 ‎ P(ξ=40)=; ‎ P(ξ=45)= ‎ P(ξ=50)= ‎ ‎; ‎ P(ξ=55)= ‎ ‎ ‎ P(ξ=60)=‎ ξ ‎40‎ ‎45‎ ‎50‎ ‎55‎ ‎60‎ P(ξ)‎ ‎ ‎ ‎(3) Eξ=40×+(45+50)×+55×+60×= ‎ ．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）实验中学的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试,在本次考核中只有合格和优秀两个等次,若考核为合格,则授予10分降分资格;考核优秀,授予20分降分资格.假设甲乙丙考核为优秀的概率分别为、、,他们考核所得的等次相互独立.‎ ‎(Ⅰ)求在这次考核中,甲乙丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率.‎ ‎(Ⅱ)记在这次考核中甲乙丙三名同学所得降分之和为随机变量,求随机变量的分布列和数学期望 ‎. ‎ ‎【答案】解:(Ⅰ) 记“甲考核为优秀”为事件A,“乙考核为优秀”为事件B,“丙考核为优秀”为事件C,“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.则事件A、B、C是相互独立事件,事件与事件E是对立事件,于是 ‎ ‎(Ⅱ)的所有可能取值为., ‎ ‎, ‎ ‎, ‎ ‎ ‎ 所以的分布列为 ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ P ‎ ‎ ．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）某公司组织员工活动,有这样一个游戏项目:甲箱里装有3个白球,2个黑球,乙箱里装有1个白球,2个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出一个白球记3分,一个黑球记1分,规定得分不低于8分则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱).‎ ‎(I)求在1次游戏中,(1)得6分的概率;(2)获奖的概率;‎ ‎(Ⅱ)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】解:(1)依题意“在一次游戏中得6分”的事件包括两种情况; ‎ ‎①甲箱中摸出1个白球1个黑球,乙箱中摸出2个黑球,其概率: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的数学期望 ‎ ．（山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）春节期间,某商场决定从3种服装、2种家电、3种日用品中,选出3种商品进行促销活动.‎ ‎⑴)试求选出的3种商品中至少有一种是家电的概率;‎ ‎⑵商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销,即在该商品现价的基础上将价格提高100元,规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会:若中一次奖,则获得数额为元的奖金;若中两次奖,则共获得数额为元的奖金;若中3次奖,则共获得数额为元的奖金.假设顾客每次抽奖中获的概率都是,请问:商场将奖金数额m最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利?‎ ‎【答案】解:⑴设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A,从3种服装、2种家电、3种日用品中,选出3种商品,一共有种不同的选法 , ‎ 选出的3种商品中,没有家电的选法有种 ‎ 所以,选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为 ‎ ‎⑵设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量,其所有可能的取值为0,,,.(单元:元) ‎ 表示顾客在三次抽奖都没有获奖,所以 ‎ 同理, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是 ‎ ‎ 2 ‎ 由,解得 ‎ 所以故m最高定为元,才能使促销方案对商场有利 . ‎ ．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）‎ 袋中有8个大小相同的小球,其中1个黑球,3个白球,4个红球.‎ ‎(I)若从袋中一次摸出2个小球,求恰为异色球的概率;‎ ‎(II)若从袋中一次摸出3个小球,且3个球中,黑球与白球的个数都没有超过红球的个数,记此时红球的个数为,求的分布列及数学期望E.‎ ‎【答案】解: (Ⅰ)摸出的2个小球为异色球的种数为 ‎ 从8个球中摸出2个小球的种数为 ‎ 故所求概率为 4 分 ‎ ‎(Ⅱ)符合条件的摸法包括以下三种: ‎ 一种是有1个红球,1个黑球,1个白球, ‎ 共有种 ‎ 一种是有2个红球,1个其它颜色球, ‎ 共有种, ‎ 一种是所摸得的3小球均为红球,共有种不同摸法, ‎ 故符合条件的不同摸法共有种 ‎ 由题意知,随机变量的取值为,,.其分布列为:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（2010年高考（山东理））某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题,规则如下:‎ ‎① 每位参加者记分器的初始分均为10分,答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分,答错任一题减2分;‎ ‎② 每回答一题,记分器显示累计分数,当累计分数小于8分时,答题结束,淘汰出局;当累计分数大于或等于14分时,答题结束,进入下一轮;当答完四题,累计分数仍不足14分时,答题结束,淘汰出局;‎ ‎③ 每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答,直至答题结束.‎ 假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为、、、,且各题回答正确与否相互之间没有影响.‎ ‎(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率;‎ ‎(Ⅱ)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数,求ξ的分布列和数学期望Εξ.‎ ‎【答案】 ‎ ‎=, ‎ 所以的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 数学期望=++4=. ‎ ‎【命题意图】本题考查了相互独立事件同时发生的概率、考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望的知识,考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力. ‎ ．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）(2013日照二模)“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调 查机构为了解路人对“中国式过马路 ”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取30名路 人进行了问卷调查,得到了如下列联表:‎ 男性 女性 合计 反感 ‎10‎ 不反感 ‎8‎ 合计 ‎30‎ 已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路 ”的路人的概率是.‎ ‎(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整(在答题卡上直接填写结果,不需要写求解过程),并据此资料分析反感“中国式过马路 ”与性别是否有关?‎ ‎(Ⅱ)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动,记反感“中国式过马路”的人数为X,求X的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】【解析】(Ⅰ)‎ 男性 女性 合计 反感 ‎10‎ ‎6‎ ‎16‎ 不反感 ‎6‎ ‎8‎ ‎14‎ 合计 ‎16‎ ‎14‎ ‎30‎ ‎ ‎ 由已知数据得:, ‎ 所以,没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关 ‎ ‎(Ⅱ)的可能取值为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 的数学期望为: ‎ ．（山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理））某市文化馆在春节期间举行高中生“蓝天海洋杯”象棋比赛,规则如下:两名选手比赛时,每局胜者得分,负者得分,比赛进行到有一人比对方多分或打满局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时,甲每局获胜的概率皆为,且各局比赛胜负互不影响.‎ ‎(Ⅰ)求比赛进行局结束,且乙比甲多得分的概率;‎ ‎(Ⅱ)设表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】解(Ⅰ)由题意知,乙每局获胜的概率皆为 ‎ 比赛进行局结束,且乙比甲多得分即头两局乙胜一局,3,4局连胜,则 ‎ ‎(Ⅱ)由题意知,的取值为 ‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以随机变量的分布列为 ‎ ‎ 则12 ‎ ．（山东威海市2013年5月高三模拟考试数学（理科））‎ 某单位在“五四青年节”举行“绿色环保杯”象棋比赛,规则如下:两名选手比赛时,先胜局者将赢得这次比赛,比赛结束.假设选手乙每局获胜的概率为,且各局比赛胜负互不影响,已知甲先胜一局.‎ ‎(Ⅰ)求比赛进行局结束且乙胜的概率;‎ ‎(Ⅱ)设表示从第二局开始到比赛结束时已比赛的局数,求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】解(Ⅰ)设乙获胜的概率为,由已知甲每局获胜的概率皆为 ‎ 由题意可知,4局比赛中,最后一局乙嬴,前三局中乙赢了其中任意两局 ‎ ‎∴概率为 ‎ ‎(Ⅱ)由题意知,的取值为 ‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以随机变量的分布列为 ‎ ‎ 则 ‎ ．（山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科））以下茎叶图记录了 甲、乙两组个四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示.‎ ‎(Ⅰ)如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数;‎ ‎(Ⅱ)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】解(1)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, ‎ 所以平均数为 ‎ ‎(Ⅱ)当X=9时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是:9,9,11,11;乙组同学的植树棵数是:9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有4×4=16种可能的结果,这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21事件“Y=‎17”‎等价于“甲组选出的同学植树9棵,乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果,因此P(Y=17)= ‎ 同理可得 ‎ 所以随机变量Y的分布列为:‎ Y ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ P EY=17×P(Y=17)+18×P(Y=18)+19×P(Y=19)+20×P(Y=20)+21×P(Y=21)=17×+18×+19×+20×+21×=19 ‎ ．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））甲、乙两人进行乒乓球比赛,已知一局中甲胜乙的概率为0.6,现实行三局两胜制,假设各局比赛结果相互独立-‎ ‎(1)求甲获胜的概率;‎ ‎(2)用x表示甲获胜的局数,求x的分布列和数学期望E(X).‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ．（2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）(本小题满分l2分) ‎ 某次考试中,从甲,乙两个班各抽取10名学生的成绩进行统计分析,两班10名学生成绩的茎叶图如图所示,成绩不小于90分为及格.‎ ‎(I)从每班抽取的学生中各抽取一人,求至少有一人及格的概率;‎ ‎(Ⅱ)从甲班l0人中取两人,乙班l0人中取一人,三人中及格人数记为X,求X的分布列和期望.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）在某社区举办的《2013年迎新春知识有奖问答比赛》中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关过年知识的问题,已知甲回答对这道题的概率是,甲、丙二人都回答错的概率是,乙、丙二人都回答对的概率是 ‎(1)求乙、丙二人各自回答对这道题的概率;‎ ‎(2)设乙、丙二人中回答对该题的人数为X,求X的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（2009高考(山东理)）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q为0.25，在B处的命中率为q，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎2 ‎ ‎ 3 ‎ ‎ 4 ‎ ‎ 5 ‎ ‎ p ‎ ‎0.03 ‎ ‎ P1 ‎ ‎ P2 ‎ P3 ‎ P4 ‎ （1） 求q的值；‎ （2） 求随机变量的数学期望E; ‎ （3） 试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。‎ ‎【答案】解:（1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,, P(B)= q,.‎ 根据分布列知: =0时=0.03,所以，q=0.2.‎ ‎（2）当=2时, P1=‎ ‎=0.75 q( )×2=1.5 q( )=0.24‎ 当=3时, P2 ==0.01,‎ 当=4时, P3==0.48,‎ 当=5时, P4=‎ ‎=0.24‎ 所以随机变量的分布列为 ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎2 ‎ ‎ 3 ‎ ‎ 4 ‎ ‎ 5 ‎ ‎ p ‎ ‎0.03 ‎ ‎0.24 ‎ ‎0.01 ‎ ‎0.48 ‎ ‎0.24 ‎ 随机变量的数学期望 ‎（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为 ‎;‎ 该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.‎ 由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.‎ ．（山东省济宁市2013届高三4月联考理科数学）某产品按行业生产标准分成6个等级,等级系数依次为1,2,3,4,5,6,按行业规定产品的等级系数的为一等品,的为二等品,的为三等品.‎ 若某工厂生产的产品均符合行业标准,从该厂生产的产品中随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下;‎ ‎(1)以此30件产品的样本来估计该厂产品的总体情况,试分别求出该厂生产原一等品、二等品和三等品的概率;‎ ‎(2)该厂生产一件产品的利润y(单位:元)与产品的等级系数的关系式为,若从该厂大量产品中任取两件,其利润记为Z,求Z的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）某电视台举办有奖竞答活动,活动规则如下:①每人最多答4个小题;②答题过程中,若答对则继续答题,答错则停止答题;③答对每个小题可得1 ,答错得0分.甲、乙两人参加了此次竞答活动,且相互之间没有影响.已知甲答对每个题的概率为,乙答对每个题的概为.‎ ‎( I )设甲的最后得分为X,求X的分布列和数学期望;‎ ‎(Ⅱ)求甲、乙最后得分之和为20分的概率.‎ ‎【答案】解:(I)的取值可为:0,10,20,30,40 ‎ ‎, ‎ ‎, ‎ ‎, ‎ ‎, ‎ ‎. ‎ 的分布列如下:‎ ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎……………………………………5分 ‎40‎ 数学期望 ‎ ‎(II)设“甲、乙最后得分之和为20分”为事件,“甲恰好得0分且乙恰好得20分”为事件,“恰好得10分且乙恰好得10分”为事件,“甲恰好得20分且乙恰好得0分”为事件,则事件、、互斥,且. ‎ 又, ‎ ‎, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回的随机抽取两张卡片,记第一次抽取卡片的标号为,第二次抽取卡片的标号为.设为坐标原点,点的坐标为记.‎ ‎(Ⅰ)求随机变量的最大值,并求事件“取得最大值”的概率;‎ ‎(Ⅱ)求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（山东省莱芜五中2013届高三4月模拟数学（理）试题）2012年10月莫言获得诺贝尔文学奖后,其家乡山东高密政府准备投资6.7亿元打造旅游带,包括莫言旧居周围的莫言文化体验区,红高粱文化休闲区,爱国主义教育基地等;为此某文化旅游公司向社会公开征集旅游带建设方案,在收到的方案中甲、乙、丙三个方案引起了专家评委的注意,现已知甲、乙、丙三个方案能被选中的概率分别为,且假设各自能否被选中是无关的.‎ ‎(1)求甲、乙、丙三个方案只有两个被选中的概率;‎ ‎(2)记甲、乙、丙三个方案被选中的个数为,试求的期望.‎ ‎【答案】解:记甲、乙、丙三个方案被选中的事件分别为,则. ‎ ‎(1)“只有两个方案被选中”可分为三种情形: ‎ ‎①甲未被选中,乙、丙被选中,概率为 ‎ ‎②乙未被选中,甲、丙被选中,概率为 ‎ ‎③丙未被选中,甲、乙被选中,概率为 ‎ 以上三种情况是互斥的. 因此只有两个方案被选中的概率为: ‎ ‎(2)由题意可知的可能取值为0,1,2,3 ‎ ‎; ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎; ‎ 由(1)知; ‎ ‎ ‎ 故 ‎ ．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（A））M公司从某大学招收毕业生,经过综合测试,录用了14名男生和6名女生,这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位:分),公司规定:成绩在180分以上者到“甲部门”工作;180分以下者到“乙部门”工作.另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”.‎ ‎(I)如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人,再从这8人中选3人,那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少?‎ ‎(II)若从所有“甲部门”人选中随机选3人,用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数,写出X的分布列,并求出X的数学期望.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）若盒中装有同一型号的灯泡共10只,其中有8只合格品,2只次品.‎ ‎(1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次,每次取一只灯泡,求2次取到次品的概率;‎ ‎(2)某工人师傅有该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡,每次从中取一灯泡,若是正品则用它更换已坏灯泡,若是次品则将其报废(不再放回原盒中),求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】(1)解:设一次取次品记为事件A,由古典概型概率公式得:2 分 ‎ 有放回连续取3次,其中2次取得次品记为事件B,由独立重复试验得: ‎ ‎(2)依据知X的可能取值为‎1.2.35‎ ‎ 且6 ‎ ‎7 ‎ ‎8 ‎ 则X的分布列如下表:‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ p ‎ ‎ ‎ ‎ ．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力,某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,预赛为笔试,决赛为技能比赛.先将所有参赛选手参加笔试的成绩(得分均为整数,满分为分)进行统计,制成如下频率分布表.‎ 分数(分数段)‎ 频数(人数)‎ 频率 ‎[60,70)‎ ‎[70,80)‎ ‎[80,90)‎ ‎ [90,100)‎ 合 计 ‎(Ⅰ)求出上表中的的值;‎ ‎(Ⅱ)按规定,预赛成绩不低于分的选手参加决赛,参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序.已知高一·二班有甲、乙两名同学取得决赛资格.‎ ‎①求决赛出场的顺序中,甲不在第一位、乙不在最后一位的概率;‎ ‎②记高一·二班在决赛中进入前三名的人数为,求的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】 ‎ 解:(Ⅰ)由题意知, ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,参加决赛的选手共6人, ‎ ‎①设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件, ‎ 则 ‎ 所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为 ‎ ‎②随机变量的可能取值为 ‎ ‎, ‎ ‎, ‎ ‎, ‎ 随机变量的分布列为:‎ ‎ ‎ 因为 , ‎ 所以随机变量的数学期望为 ‎ ．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）甲、乙两人玩猜数字游戏,规则如下:‎ ‎①连续竞猜3次,每次相互独立;‎ ‎②每次竟猜时,先由甲写出一个数字,记为a,再由乙猜甲写的数字,记为b,已 知,若,则本次竞猜成功;‎ ‎③在3次竞猜中,至少有2次竞猜成功,则两人获奖 ‎(I)求甲乙两人玩此游戏获奖的概率;‎ ‎(Ⅱ)现从6人组成的代表队中选4人参加此游戏,这6人中有且仅有2对双胞胎 记选出的4人中含有双胞胎的对数为X,求X的分布列和期望 ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）‎ 从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中,每摸出2个球为一次试验,直到摸出的球中有红球(不放回),则试验结束.‎ ‎(Ⅰ)求第一次试验恰摸到一个红球和一个白球概率;‎ ‎(Ⅱ)记试验次数为,求的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】解:(I)设“第一次试验恰摸到一个红球和一个白球”为设计A, ‎ 则 ‎ ‎(II); ; ; ; ‎ X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）某校50名学生参加智力答题活动，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：‎ 答对题目个数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 人数 ‎5‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎15‎ 根据上表信息解答以下问题：‎ ‎（Ⅰ）从50名学生中任选两人，求两人答对题目个数之和为4或5的概率；‎ ‎（Ⅱ）从50名学生中任选两人，用X表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望EX.‎ ‎【答案】解(Ⅰ)记“两人答对题目个数之和为4或‎5”‎为事件A,则 ‎ ‎ ‎ ‎ , ‎ 即两人答对题目个数之和为4或5的概率为 ‎ ‎(Ⅱ)依题意可知X的可能取值分别为0,1,2,3. ‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 从而X的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P X的数学期望 ‎ ．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）某学生参加某高校的自主招生考试,须依次参加A、B、C、D、E五项考试,如果前四 项中有两项不合格或第五项不合格,则该考生就被淘汰,考试即结束;考生未被淘汰时,一定继续参加后面的考试.已知每一项测试都是相互独立的,该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为 ‎,参加第五项不合格的概率为 ‎(1)求该生被录取的概率;‎ ‎(2)记该生参加考试的项数为,求的分布列和期望.‎ ‎【答案】解:(1)若该生被录取,则前四项最多有一项不合格,并且第五项必须合格 ‎ 记A={前四项均合格} ‎ B={前四项中仅有一项不合格} ‎ 则P(A)= ‎ P(B)= ‎ 又A、B互斥,故所求概率为 ‎ P=P(A)+P(B)= ‎ ‎(2)该生参加考试的项数可以是2,3,4,5. ‎ ‎, ‎ ‎, ‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）为迎接2013年“两会”(全国人大‎3月5日-‎3月18日、全国政协‎3月3日-‎3月14日)的胜利召开,某机构举办猜奖活动,参与者需先后回答两道选择题,问题A有四个选项,问题B有五个选项,但都只有一个选项是正确的,正确回答问题A可获奖金元,正确回答问题B可获奖金元.活动规定:参与者可任意选择回答问题的顺序,如果第一个问题回答错误,则该参与者猜奖活动中止.假设一个参与者在回答问题前,对这两个问题都很陌生,试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大.‎ ‎【答案】【解析】该参与者随机猜对问题A的概率, ‎ 随机猜对问题B的概率. ‎ 回答问题的顺序有两种,分别讨论如下: ‎ ‎①先回答问题A,再回答问题B,参与者获奖金额的可能取值为, ‎ 则, ‎ ‎, ‎ ‎. ‎ 数学期望. ‎ ‎②先回答问题B,再回答问题A,参与者获奖金额的可能取值为, ‎ 则, ‎ ‎, ‎ ‎. ‎ 数学期望. ‎ ‎. ‎ 于是,当时,,即先回答问题A,再回答问题B,参与者获奖金额的期望值较大; ‎ 当时,,无论是先回答问题A,再回答问题B,还是先回答问题B,再回答问题A,参与者获奖金额的期望值相等; ‎ 当时,,即先回答问题B,再回答问题A,参与者获奖金额的期望值较大. ‎ ．（山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）一次考试中,五名学生的数学、物理成绩如下表所示:‎ 学生 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ 数学(x分)‎ ‎89‎ ‎91‎ ‎93‎ ‎95‎ ‎97‎ 物理(y分)‎ ‎87‎ ‎89‎ ‎89‎ ‎92‎ ‎93‎ ‎ (1)根据上表中的数据,求出这些数据的线性回归方程;‎ ‎(2)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动,以X表示选中的同学的物理成绩高于90分的人数,求随机变量X的分布列及数学期望E(X)的值.‎ ‎【答案】解:(1)==, ‎ ‎==, ‎ ‎ ‎ ‎, ‎ ‎,, ‎ 故这些数据的回归方程是: ‎ ‎(2)随机变量的可能取值为,, ‎ ‎;; ‎ ‎ 故的分布列为: ‎ ‎=++= ‎ ．（2012年山东理）(19)现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率为,命中得1分,没有命中得 ‎0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得2分,没有命中得0分.该 射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.‎ ‎(Ⅰ)求该射手恰好命中一次的概率;‎ ‎(Ⅱ)求该射手的总得分的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】(19)解:(Ⅰ)记“该射手恰好命中一次”为事件;“该射手设计甲靶命中”为事件;“该射 手第一次射击乙靶命中”为事件;“该射手第二次射击乙靶命中”为事件.‎ 由题意知,,,‎ 由于,根据事件的独立性与互斥性得 ‎(Ⅱ)根据题意,的所以可能取值为.‎ 根据事件的独立性和互斥性得 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎ 所以.‎ ．（山东省临沂市2013届高三第三次模拟考试 理科数学）某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示月收入在[1000,1500),单位:元).‎ ‎(Ⅰ)估计居民月收入在[1500,2000)的概率;‎ ‎(Ⅱ)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数;‎ ‎(Ⅲ)若将频率视为概率,从本地随机抽取3位居民(看做有放回的抽样),求月收入在[1500,2000)的居民数X的分布和数学期望.‎ 月收入(元)‎ ‎4000‎ ‎3000‎ ‎1000‎ ‎0.0005‎ ‎0.0002‎ 频率/组距 ‎0.0001‎ ‎2000‎ ‎0.0003‎ ‎0‎ ‎【答案】解(Ⅰ)居民月收入在[1500,2000)的概率约为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)由频率分布直方图知,中位数在[2000,2500), ‎ 设中位数为x,则 ‎ ‎ ‎ 解得. ‎ ‎(Ⅲ)居民月收入在[1000,2000)的概率为 ‎ ‎ ‎ 由题意知,X~B(3, 0.3), ‎ 因此 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(10分) ‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.343‎ ‎0.441‎ ‎0.189‎ ‎0.027‎ ‎ 故随机变量X的分布列为 ‎ X的数学期望为3×0.3=0.9. ‎ ．（山东省菏泽市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障时间T(单位:年)有关,若T1,则销售利润为0元;若13,则销售利润为200元.设每台该种电器的无故障使用时间T1,13这三种情况发生的概率分别为,又知为方程25x-15x+a=0的两根,且.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)记表示销售两台这种家用电器的销售利润总和,求的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)由已知得解得::=,=,=. ‎ ‎(Ⅱ)的可能取值为0,100,200,300,400. ‎ P(=0)= = P(=100)= 2= P(=200)= 2+= ‎ P(=300)= 2= P(=400)= = ‎ 随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ p 所求的数学期望为E=0+100+200+300+400=240(元) ‎ 所以随机变量的数学期望为240元. ‎ ．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）从参加某次高三数学摸底考试的同学中,选取60名同学将其成绩(百分制)(均为整数)分成6组后,得到部分频率分布直方图(如图),观察图形中的信息,回答下列问题.‎ ‎(1)补全这个频率分布直方图,并估计本次考试的平均分;‎ ‎(2)若从60名学生中随机抽取2人,抽到的学生成绩在[40,70)记0分,在[70,100]记1分,用X表示抽取结束后的总记分,求x的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）某企业计划投资A,B两个项目, 根据市场分析,A,B两个项目的利润率分别为随机变量X1和X2,X1和X2的分布列分别为:‎ X1‎ ‎5%‎ ‎10%‎ P ‎0.8‎ ‎0.2‎ X2‎ ‎2%‎ ‎8%‎ ‎12%‎ P ‎0.2‎ ‎0.5‎ ‎0.3‎ ‎ ‎ ‎(1)若在A,B两个项目上各投资1000万元,Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润,求利润的期望和方差;‎ ‎(2)由于资金限制,企业只能将x(0≤x≤1000)万元投资A项目,1000-x万元投资B项目,f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)的最小值,并指出x为何值时,f(x)取到最小值.‎ ‎【答案】解: (1)由题设可知Y1和Y2的分布列为 ‎1‎ ‎50‎ ‎100‎ P ‎0.8‎ ‎0.2‎ Y2‎ ‎20‎ ‎80‎ ‎120‎ P ‎0.2‎ ‎0.5‎ ‎0.3‎ ‎ ‎ E(Y1)=50×0.8+100×0.2=60, ‎ D(Y1)=(50-60)2×0.8+(100-60)2×0.2=400, ‎ E(Y2)=20×0.2+80×0.5+120×0.3=80, ‎ D(Y2)=(20-80)2×0.2+(80-80)2×0.5+(120-80)2×0.3=1200 ‎ ‎(2) ‎ ‎= [x2+3(1000-x)2]= (4x2-6000x+3×106) ‎ 当时,f(x)=300为最小值 ‎ ．（2011年高考（山东理））红队队员甲、乙、丙与蓝队队员、、进行围棋比赛,甲对、乙对、丙对各一盘.已知甲胜、乙胜、丙胜的概率分别为、、.假设各盘比赛结果相互独立.‎ ‎(1)求红队至少两名队员获胜的概率;‎ ‎(2)用表示红队队员获胜的总盘数,求的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】解析:(Ⅰ)记甲对A、乙对B、丙对C各一盘中甲胜A、乙胜B、丙胜C分别为事件,则甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C分别为事件,根据各盘比赛结果相互独立可得 ‎ 故红队至少两名队员获胜的概率为 ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ ‎(Ⅱ)依题意可知, ‎ ‎; ‎ ‎; ‎ ‎; ‎ ‎.故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.35‎ ‎0.4‎ ‎0.15‎ 故. ‎ ．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）某产品按行业生产标准分成6个等级,等级系数依次为1,2,3,4,5,6,按行业规定产品的等级系数的为一等品,的为二等品,的为三等品.‎ 若某工厂生产的产品均符合行业标准,从该厂生产的产品中随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下;‎ ‎(I)以此30件产品的样本来估计该厂产品的总体情况,试分别求出该厂生产原一等品、二等品和三等品的概率;‎ ‎(II)已知该厂生产一件产品的利润y(单位:元)与产品的等级系数的关系式为 ‎,若从该厂大量产品中任取两件,其利润记为Z,求Z的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（2013山东高考数学（理））甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是,假设各局比赛结果相互独立.‎ ‎(Ⅰ)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率;‎ ‎(Ⅱ)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)记“甲队以3:0胜利”为事件,“甲队以3:1胜利”为事件,“甲队以3:2胜利”为事件,由题意,各局比赛结果相互独立, ‎ 故, ‎ ‎, ‎ ‎ ‎ 所以,甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率分别是,,; ‎ ‎(Ⅱ)设“乙队以3:2胜利”为事件,由题意,各局比赛结果相互独立,所以 ‎ ‎ ‎ 由题意,随机变量的所有可能的取值为0,1,2,3,,根据事件的互斥性得 ‎ ‎, ‎ ‎, ‎ ‎, ‎ ‎ ‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以 ‎