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玉溪一中高2014届高三第一次月考数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合，集合，则等于
（A） （B） （C） （D）
（2）若复数是纯虚数，其中是虚数单位，则实数的值为
（A） （B） （C） （D）
（3）若，则的值等于
（A） （B） （C）（D）
（4）若曲线与曲线在交点处有公切线， 则
（A） （B） （C） （D）
（5）下列命题中，真命题的个数有
①； ②；
③“”是“”的充要条件； ④是奇函数.
正视图侧视图
俯视图
（A）1个 （B）2个（C）3个（D）4个
（6）一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积是
（A）（B）
（C）（D）
（7）设双曲线的左、右焦点分别为是双曲线渐近线上的一点，，原点到直线的距离为，则渐近线的斜率为
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（A）或（B）或（C）1或 （D）或
（8）在中，，，是边的中点，则
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
（9）已知函数若关于的方程有且只有两个不同的实根，则实数的取值范围为
（A） （B）（C） （D）
（10）的展开式中的常数项是
（A）（B）（C）（D）
（11）数列的首项为1，数列为等比数列且，若，则
（A）20（B）512（C）1013（D）1024
（12）设函数满足且当时，，又函数，则函数在上的零点个数为
（A）（B）（C）（D）
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡上.
（13）抛物线与直线所围成的图形的面积为．
（14）从某学习小组10名同学中选出3人参加一项活动，其中甲、乙两人都被选中的概率是．
（15）已知抛物线的焦点为，准线与y轴的交点为为抛物线上的一点，且满足，则的取值范围是．
（16）已知三棱锥的顶点都在球的球面上,且平面,则三棱锥的体积等于．
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三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（12分）在中，角所对的边分别为，已知，
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，求的取值范围.
（18）（12分）某地区因干旱缺水，政府向市民宣传节约用水，并进行广泛动员.三个月后，统计部门在一个小区随机抽取了户家庭，分别调查了他们在政府动员前后三个月的月平均用水量（单位：吨），将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）
动员后
动员前
（Ⅰ）已知该小区共有居民户，在政府进行节水动员前平均每月用水量是吨，请估计该小区在政府动员后比动员前平均每月节约用水多少吨；
（Ⅱ）为了解动员前后市民的节水情况，媒体计划在上述家庭中，从政府动员前月均用水量在范围内的家庭中选出户作为采访对象，其中在内的抽到户，求的分布列和期望.
M
NM
CM
C1M
B1M
A1M
BM
AM
（19）（12分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M是A1B的中点，点N是B1C的中点，连接MN．
（Ⅰ）证明：MN//平面ABC；
（Ⅱ）若AB=1，AC=AA1=，BC=2，
求二面角A—A1C—B的余弦值的大小．
（20）（12分）已知是椭圆的右焦点，圆与轴交于两点，是椭圆与圆的一个交点，且
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.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）过点与圆相切的直线与的另一交点为，且的面积为，求椭圆的方程.
（21）（12分）设（且）．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若，证明：时，成立．
选考题（本小题满分10分）
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
（22）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为（）．
（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线： (为参数)过曲线与轴负半轴的交点，求与直线平行且与曲线相切的直线方程.
（23）选修4-5：不等式选讲
已知
（Ⅰ）解不等式：；
（Ⅱ）对任意，不等式成立，求实数的取值范围.
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玉溪一中高2014届高三第一次月考数学试卷参考答案（理科）
一、选择题：
1、A2、A3、B4、C 5、C6、A
7、D8、A 9、A10、C 11、D 12、C
二．填空题： 13. 14、15、16、12
三．解答题：
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（17）（12分）解：（Ⅰ）由条件结合正弦定理得，
从而，∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（Ⅱ）法一：由已知：，
由余弦定理得：
（当且仅当时等号成立） ∴（，又，
∴，从而的取值范围是.．．．．．．．．．．12分
法二：由正弦定理得：.∴，，
.
∵，∴，
即（当且仅当时，等号成立） 从而的取值范围是．．．12分（18）（12分）解：（Ⅰ）根据直方图估计该小区在政府动员后平均每户居民的月均用水量为 （吨）
于是可估计该小区在政府动员后比动员前平均每月可节约用水
（吨）………………………………………6分
（Ⅱ）由动员前的直方图计算得月平均用水量在范围内的家庭有户，在范围内的有户，因此的可能取值有，
， ，
， ，
所以的分布列为
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∴……………………………12分
M
NM
CM
C1M
B1M
A1M
BM
AM
(19)（12分）（Ⅰ）证明：连接AB1，
∵四边形A1ABB1是矩形，点M是A1B的中点，
∴点M是AB1的中点；∵点N是B1C的中点，
∴MN//AC，∵MN平面ABC，AC平面ABC，
∴MN//平面ABC．…………………6分
M
NM
CM
C1M
B1M
A1M
BM
AM
DM
（Ⅱ）解 ：（方法一）如图，作，交于点D，
由条件可知D是中点，
连接BD，∵AB=1，AC=AA1=，BC=2，
∴AB2＋AC2= BC2，∴AB⊥AC，
∵AA1⊥AB，AA1∩AC=A，∴AB⊥平面
∴AB⊥A1C, ∴A1C⊥平面ABD，∴∴为二面角A—A1C—B的平面角，在， ， ，
在等腰中，为中点，， ∴中，，
中，，
∴二面角A——B的余弦值是…………12分
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M
NM
CM
C1M
B1M
A1M
BM
AM
y
M
x
M
z
M
（方法二） 三棱柱为直三棱柱，
∴，，，
， ∴，∴
如图，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0), B(0,1,0), C(,0,0), A1(0,0,)，
如图，可取为平面的法向量，
设平面的法向量为，
则,，
则由又
，不妨取m=1，则，
可求得， ……………12分
（20）解：（Ⅰ）由题意，，，，
∵， ，得，
由， 得，
即椭圆的离心率………（4分）
（Ⅱ）的离心率，令，，则
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直线，设
由得，
又点到直线的距离，
的面积， 解得
故椭圆………（12分）
(21)（12分）解：（Ⅰ）的定义域为，，
（1）当时，解得或；解得
所以函数在，上单调递增，在上单调递减；
（2）当时，对恒成立，所以函数在上单调递增；
（3）当时，解得或；解得
所以函数在，上单调递增，在上单调递减. ……（6分）
（Ⅱ）证明:不等式等价于
因为，所以，
因此
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令，则
令得：当时，
所以在上单调递减，从而. 即，
在上单调递减，得:，
当时，.. ……（12分）
（22）解：（Ⅰ）曲线的普通方程为：； ……………… 2分
由得，
∴曲线的直角坐标方程为： ……………… 4分
(或：曲线的直角坐标方程为： )
（Ⅱ）曲线：与轴负半轴的交点坐标为，
又直线的参数方程为：，∴，得，
即直线的参数方程为：
得直线的普通方程为：， …………… 6分
设与直线平行且与曲线相切的直线方程为： ……… 7分
∵曲线是圆心为，半径为的圆，
得，解得或 ……………… 9分
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故所求切线方程为：或 …………… 10分
(23) 解：（Ⅰ）不等式为
当时，不等式为，即，此不等式恒成立，故， …………… 2分
当时，不等式为，得，故，
∴原不等式的解集为： …………… 4分
（Ⅱ）不等式为
由于
…………… 7分
作出函数的图象如右，
当时，，
所以对任意，不等式成立，则. …… 10分
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