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浙江省绍兴XX学校2018届九年级上册期末模拟数学试卷
一.单选题（共10题；共30分）
1.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则图中相似三角形的对数有（ ）
A. 0对 B. 1对 C. 2对 D. 3对
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c﹣3=0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个异号实数根
C. 有两个相等的实数
D. 无实数根
3.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1 ， x2 ， 其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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4.已知△ABC中，∠C=90°，AC=， BC=5，以c为圆心，BC为半径作圆交BA的延长线于D，则AD的长为（ ）
A. B. C. D.
5.75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是（ ）
A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9cm
6.下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. y=(x-3)x B. y=（x+2）（x﹣2）﹣x2 C. y=-x D. y=
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，则cot∠BCD的值为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，l1∥l2∥l3 ， 根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中正确的是（ ）
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A. B. C. D.
9.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（ ）
A. 40 海里 B. 40 海里 C. 80海里 D. 40 海里
10.如图，有一块锐角三角形材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长为（ ）
A. 40mm B. 45mm C. 48mm D. 60mm
二.填空题（共8题；共24分）
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11.如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，其中合格的是图________（填“甲”、“乙”或“丙”），你的根据是________．
12.已知抛物线的顶点为（1，﹣1），且过点（2，1），求这个函数的表达式为________．
13.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高157cm，下半身长为94cm，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为________cm．（精确到1cm）
14.反比例函数的图象在________ 象限．
15.一副量角器与一块含30°锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点C落在量角器的直径MN上，顶点A，B恰好都落在量角器的圆弧上，且AB∥MN．若AB=8cm，则量角器的直径MN=________ cm．
16.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P是AD边上一点，联结PB、PC，且AB2=AP•PD，则图中有________对相似三角形．
17.抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c的值为________ ．
18.设矩形窗户的周长为6m，则窗户面积S（m2）与窗户宽x（m）之间的函数关系式是 ________ ，自变量x的取值范围是________ ．
三.解答题（共6题；共36分）
19.在升旗结束后，小铭想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好至C处且与地面成60°角，小铭从绳子末端C处拿起绳子后退至E点，求旗杆AB的高度和小铭后退的距离．（单位：米，参考数据：≈1.41，≈1.73，结果保留一位小数）
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20.已知函数y=x2﹣mx+m﹣2．求证：不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同交点．
21.如图，△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，求tanC的值．
22.如图，三沙市一艘海监船某天在黄岩岛P附近海域由南向北巡航，某一时刻航行到A处，测得该岛在北偏东30°方向，海监船以20海里/时的速度继续航行，2小时后到达B处，测得该岛在北偏东75°方向，求此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长．（参考数据：≈1.414，结果精确到0.1）
23.如图，阳光下，小亮的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段BC所示，线段DE表示旗杆的高，线段FG表示一堵高墙．
（1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子；
（2）如果小亮的身高AB=1.5m，他的影子BC=2.4m，旗杆的高DE=15m，旗杆与高墙的距离EG=16m，请求出旗杆的影子落在墙上的长度．
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24.如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°．由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm．温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26， ）．
四.综合题（共10分）
25.在平面直角坐标系中，反比例函数y= （x＞0）的图象上有一点A（a，3），过点A作AB⊥x轴于点B，将点B沿x轴正方向平移2个单位长度得到点C，过点C作y轴的平行线交反比例函数于点D，CD= ，直线AD与x轴交于点M，与y轴交于点N．
（1）用含a的式子表示点D的横坐标为：________；
（2）求a的值和直线AD的函数表达式；
（3）请判断线段AN与MD的数量关系，并说明理由；
（4）若一次函数y1=k1x+b1经过点（10，9），与双曲线y= （x＞0）交于点P，且该一次函数y1的值随x的增大而增大，请确定P点横坐标n的取值范围（不必写出过程）
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参考答案与试题解析
一.单选题
1.【答案】D
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠CAD=∠BAC，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∵∠DBC=∠CBA，
∴Rt△ABC∽Rt△CBD，
∴Rt△CBD∽Rt△ACD．
故选D．
【分析】由三角形高的定义得到∠ADC=∠BDC=90°，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断Rt△ACD∽Rt△ABC和Rt△ABC∽Rt△CBD，所以Rt△CBD∽Rt△ACD．
2.【答案】A
【考点】抛物线与x轴的交点
【解析】【解答】解：令y=ax2+bx+c﹣3，则其图象相当于二次函数y=ax2+bx+c的图象向下平移三个单位得到，
∵y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点，
∴y=ax2+bx+c﹣3与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c﹣3=0有两个不相等的实数根．
故选A．
【分析】令y=ax2+bx+c﹣3，则其图象相当于二次函数y=ax2
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+bx+c的图象向下平移三个单位得到，结合已知图象可得出答案．
3.【答案】D
【考点】二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点
【解析】【解答】由抛物线的开口向下知a＜0，
与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，
对称轴为x= ＜1，
∵a＜0，
∴2a+b＜0，
而抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，
当x=2时，y=4a+2b+c＜0，
当x=1时，a+b+c=2．
∵ ＞2，
∴4ac﹣b2＜8a，
∴b2+8a＞4ac，
∵①a+b+c=2，则2a+2b+2c=4，
②4a+2b+c＜0，
③a﹣b+c＜0．
由①，③得到2a+2c＜2，
由①，②得到2a﹣c＜﹣4，4a﹣2c＜﹣8，
上面两个相加得到6a＜﹣6，
∴a＜﹣1．
故答案为：D．
【分析】首先依据抛物线的开口方向判断a的符号，然后再根据抛物线与y轴的交点判断c的符号，接下来，依据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行进行判断即可.
4.【答案】C
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：延长AC与圆相交于E、F，
则AF=5﹣，
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AE=5+，
又AB=6，由相交弦定理AD•AB=AE•AF得
AD=，
=，
=．
故选C．
【分析】如图，延长AC与圆相交于E、F，根据已知条件得AF=5+， AE=5﹣， 然后利用相交弦定理即可求出AD的长度．
5.【答案】A
【考点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，
由L=，
∴2.5π=，
解得：r=6，
故选：A．
【分析】根据弧长公式L=， 将n=75，L=2.5π，代入即可求得半径长．
6.【答案】A
【考点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、函数式整理为y=x2﹣x，是二次函数，正确；
B、函数式整理为y=﹣4，不是二次函数，错误；
C、是正比例函数，错误；
D、是反比例函数，错误．
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故选A．
【分析】整理一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．
7.【答案】C
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDB=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，
∴cot∠A= ，
∴cot∠BCD=．
故选C．
【分析】根据在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，可以得到∠A和∠BCD的关系，由∠A的三角函数值可以得到∠BCD的三角函数值，从而可以解答本题．
8.【答案】D
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3 ，
∴， A错误；
， B错误；
， C错误；
， D正确．
故选：D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．
9.【答案】A
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【考点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：过点P作PC⊥AB于点C，
由题意可得出：∠A=30°，∠B=45°，AP=80海里，
故CP= AP=40（海里），
则PB= =40 （海里）．
故选：A．
【分析】过点P作垂直于AB的辅助线PC，利三角函数解三角形，即可得出答案．
10.【答案】C
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设正方形的边长为xmm，
则AK=AD﹣x=80﹣x，
∵EFGH是正方形，
∴EH∥FG，
∴△AEH∽△ABC，
∴ = ，
即 = ，
解得x=48mm，
故答案为：C．
【分析】根据正方形的性质，EFGH是正方形，得到对边平行，得出△AEH∽△ABC，得到比例，求出正方形的边长.
二.填空题
11.【答案】乙；90°圆周角所对的弦是直径
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【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：乙． 理由：90°的圆周角所对的弦是直径；
故答案为乙，90°圆周角所对的弦是直径．
【分析】根据90°圆周角所对的弦是直径即可判断．
12.【答案】y=2x2﹣4x+1
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣1， 把点（2，1）代入解析式得：a﹣1=1，
解得a=2，
∴这个函数的表达式为y=2（x﹣1）2﹣1，
即y=2x2﹣4x+1．
故答案为y=2x2﹣4x+1．
【分析】因为抛物线的顶点为（1，﹣1），可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣1，把（2，1）代入解析式可求a，从而确定这个函数的表达式．
13.【答案】8
【考点】黄金分割
【解析】【解答】解：设她应穿xcm高度的高跟鞋，由题意得： =0.618 解得：x≈8（cm）
答案：8
【分析】表示出下半身、全身的高度，再根据下半身：全身=0.618，求出鞋子的高度．
14.【答案】一、三
【考点】反比例函数的性质
【解析】 【解答】利用反比例函数的性质,由k＞0得出函数图象位于一、三象限．
故答案是一、三．
【分析】考查反比例函数的性质．
15.【答案】4
【考点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：作CD⊥AB于点D，取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E．
在直角△ABC中，∠A=30°，则BC=AB=4cm，
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在直角△BCD中，∠B=90°﹣∠A=60°，
∴CD=BC•sinB=4×=2（cm），
∴OE=CD=2，
在△AOE中，AE=AB=4cm，
则OA=（cm），
则MN=2OA=4（cm）．
故答案是：4．
【分析】作CD⊥AB于点D，取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E，首先求得CD的长，即OE的长，在直角△AOE中，利用勾股定理求得半径OA的长，则MN即可求解．
16.【答案】3
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，AB=DC， ∴梯形ABCD为等腰梯形，
∴∠A=∠D，
∵AB2=AP•PD，
∴AB•CD=AP•PD，即 = ，
∴△ABP∽△DPC，
∴∠ABP=∠DPC，
∵AD∥BC，
∴∠DPC=∠PCB，∠APB=∠PBC，
∴∠PCB=∠ABP，
∴△ABP∽△PCB，
∴△DPC∽△DPC．
故答案为3．
【分析】由AD∥BC，AB=DC可判断梯形ABCD为等腰梯形，则∠A=∠D，由AB2
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=AP•PD得AB•CD=AP•PD，于是根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断△ABP∽△DPC，由相似的性质得∠ABP=∠DPC，接着利用AD∥BC得到∠DPC=∠PCB，∠APB=∠PBC，则∠PCB=∠ABP，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到△ABP∽△PCB，所以△DPC∽△DPC．
17.【答案】16
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵a=1，b=﹣8，顶点在x轴上
∴顶点纵坐标为0，即
解得c=16．
【分析】利用顶点公式进行解答即可．
18.【答案】S=﹣x2+3x ；0＜x＜3
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意可得：S=x（3﹣x）=﹣x2+3x．
自变量x的取值范围是：0＜x＜3．
故答案为：S=﹣x2+3x，0＜x＜3．
【分析】直接利用矩形的性质表示出窗户的长，进而得出其面积，进而求出取值范围．
三.解答题
19.【答案】解：设绳子AC的长为x米；
在△ABC中，AB=AC•sin60°，
过D作DF⊥AB于F，如图所示：
∵∠ADF=45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴AF=DF=x•sin45°，
∵AB﹣AF=BF=1.6，
则x•sin60°﹣x•sin45°=1.6，
解得：x=10，
∴AB=10×sin60°≈8.7（m），EC=EB﹣CB=x•cos45°﹣x×cos60°=10×﹣10×≈2.1（m）；
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答：旗杆AB的高度为8.7m，小铭后退的距离为2.1m．
【考点】解直角三角形
【解析】【分析】设绳子AC的长为x米；由三角函数得出AB=AC•sin60°，过D作DF⊥AB于F，则△ADF是等腰直角三角形，得出AF=DF=x•sin45°，由AB﹣AF=BF=1.6得出方程，解方程求出x，得出AB，再由三角函数即可得出小铭后退的距离．
20.【答案】证明：y=x2﹣mx+m﹣2，
∴△=（﹣m）2﹣4（m﹣2）
=m2﹣4m+8
=（m﹣2）2+4，
∵（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，
∴不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同交点．
【考点】抛物线与x轴的交点
【解析】【分析】根据题意得出△=m2﹣4m+8==（m﹣2）2+4＞0，从而得出不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同交点．
21.【答案】解：∵△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AB=2BD，
∴BD=6，
∴CD=BC﹣BD=15﹣6=9，
∴AD=，
∴tanC=．
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即tanC的值是．
【考点】解直角三角形
【解析】【分析】根据在△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，可以求得BD、AD、CD的长，从而可以求得tanC的值．
22.【答案】解：过点B作BD⊥AP于D，
由已知条件得：AB=20×2=40，∠P=75°﹣30°=45°，
在Rt△ABD中，∵AB=40，∠A=30，
∴BD=AB=20，
在Rt△BDP中，∵∠P=45°，
∴PB=BD=≈28.3（海里）．
答：此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长约为28.3海里．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题
【解析】【分析】过点B作BD⊥AP于D，由已知条件得：AB=20×2=40，∠P=75°﹣30°=45°，在Rt△ABD中求出BD=AB=20，在Rt△BDP中求出PB即可．
23.【答案】解：（1）如图：线段MG和GE就表示旗杆在阳光下形成的影子．
（2）过M作MN⊥DE于N，
设旗杆的影子落在墙上的长度为x，由题意得：△DMN∽△ACB，
∴，
又∵AB=1.5m，BC=2.4m，
DN=DE﹣NE=15﹣x
MN=EG=16m，
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∴ ，
解得：x=5，
答：旗杆的影子落在墙上的长度为5米．
【考点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）连接AC，过D点作AC的平行线即可；
（2）过M作MN⊥DE于N，利用相似三角形列出比例式求出旗杆的高度即可．
24.【答案】解：在直角三角形ACO中，sin75°= = ≈0.97，
解得OC≈38.8，
在直角三角形BCO中，tan30°= = ≈ ，
解得BC≈67.3．
答：该台灯照亮水平面的宽度BC大约是67.3cm
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】先在Rt△AOC中，依据锐角三角函数的定义可求得OC的长，然后在Rt△OBC中，依据锐角三角函数的定义可求得BC的长.
四.综合题
25.【答案】（1）a+2
（2）解：∵CD∥y轴，且CD= ，
∴D（a+2， ），
∵A、D都在反比例函数图象上，
∴ ，解得 ，即a的值为2，
∴A（2，3），D（4， ），
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设直线AD的函数表达式为y=kx+b，
把A、D的坐标代入可得 ，解得 ，
∴直线AD的函数表达式为y=﹣ x+ ；
（3）解：结论：AN=MD，
理由：在y=﹣ x+ 中，令y=0可得x=6，令x=0可得y= ，
∴M（6，0），N（0， ），
∵A（2，3），D（4， ），
∴AN= = ，MD= = ，
∴AN=MD；
（4）解：如图，当直线与x垂直时n的值最大，当直线与x轴平行时n的值最小，
当直线垂直x轴时，则可知E点横坐标为10，即此时n的值为10，
当直线平行x轴时，则F点的纵坐标为9，由（1）可得反比例函数解析式为y= ，当y=9时，可解得x= ，即P点的横坐标为 ，即此时n的值为 ，
∵一次函数y1的值随x的增大而增大，
∴直线在直线P1E和直线P2F之间，
∴n的取值范围为 ＜n＜10．
【考点】反比例函数的应用
【解析】【解答】解：（1）∵A（a，3），AB⊥x轴于点B，
∴OB=a，
∵将点B沿x轴正方向平移2个单位长度得到点C，
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∴OC=OB+BC=2+a，即D点的横坐标为a+2，
故答案为：a+2；
【分析】（1）由A的坐标可求得OB，结合平移可求得OC，则可求得D点横坐标；（2）把A、D的坐标代入反比例函数解析式可求得a和m的值，则可求得A、D的坐标，利用待定系数法可求得直线AC的函数表达式；（3）由直线AD的解析式可求得M、N的坐标，利用勾股定理可求得AN和DM的长，可求得AN=DM；（4）结合图象可知当直线与x垂直时n的值最大，当直线与x轴平行时n的值最小，可求得n的取值范围．
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