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余江一中高三第二次模拟考试 数学（理）
命题人：艾海华
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．设集合则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的图像与x恰有两个公共点，则c＝ （ ）
A：-2或2 B： -9或3 C： -1或1 D： -3或1
3．若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数时有极大值，且为奇函数，则的一组可能值依次为( )
（A） （B） （C） （D）
5．对于R上可导的任意函数，若满足，则必有 （ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数是定义在R上的不恒为0的偶函数，且对任意都有，则（ ）
A； 0 B： C： 1 D：
7．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8．定义在R上的函数满足，当时，，当时，则 （ ）
A 335 B 338 C 1678 D 2012
9．已知函数的图像关于直线对称，则实数的值为( )
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A. B. - C. D.
10．如右图，已知正四棱锥所有棱长都为1，点E是
侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成
上、下两部分，记，截面下面部分的体积为
，则函数的图像大致为 （ ）
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）
11．已知函数 ，则满足方程的所有的的值为 ；
12．，求=
13．函数与函数 的图象的所有交点的横坐标之和=
14．若时，均有，则=
15．已知函数y=f(x)和y=g(x)在[-2,2]的图像如图所示
给出下列四个命题：
①方程f[g(x)]=0有且仅有6个根 ②方程g[f(x)]=0有且仅有3个根
③方程f[f(x)]=0有且仅有5个根
④方程g[g(x)]=0有且仅有4个根
其中正确的命题是
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）已知集合A＝，B＝．
⑴当a＝2时，求AB； ⑵求使BA的实数a的取值范围．
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17．（本小题满分12分）已知命题：方程在[－1，1]上有解；命题：只有一个实数满足不等式，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．
``
18．（本小题满分12分）已知函数，
（1） 当时，求在区间上的取值范围;
（2） 当=2时，=，求的值。
19．（本小题满分12分）.某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件. 已知2013年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．
（1）将2013年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
（2）该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
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20．（本小题满分13分）已知函数，
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：若，则对于任意有。
21．（本小题满分14分）已知函数．
（1）当时，求在最小值；
（2）若存在单调递减区间，求的取值范围；
（3）求证：（）．
余江一中2014届高三第二次模拟考试 数学（理）
答案： AADDC ADBBA
11： 0或3 ； 12： -3 13： 8 14： 3/2 15：1 3 4
16：解：（1）当a＝2时，A＝（2，7），B＝（4，5）∴ AB＝（4，5）．
（2）∵ B＝（2a，a2＋1），当a＜时，A＝（3a＋1，2）
要使BA，必须，此时a＝－1；
当a＝时，A＝，使BA的a不存在； 当a＞时，A＝（2，3a＋1）
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要使BA，必须，此时1≤a≤3．
综上可知，使BA的实数a的取值范围为[1，3]∪{－1}
17：
18：解：（1）当
又由
从而
（2）
由得，
,所以，得
19：（1）由题意可知，当时，，∴即，
∴，每件产品的销售价格为元.
∴2013年的利润
（2）∵时，.
∴，当且仅当，即时，.
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答：该厂家2013年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元.
20：（1）的定义域为，
（i）若，即a=2，则，故在上单调增加。
（ii）若，而，故，则当时，；
当及时，。
故在上单调减少，在，上单调增加。
（iii）若，即， 同理可得在（1，a-1）上单调减少，在(0,1)，(a-1,+œ)上单调增加。
（2）考虑函数，
则，
由于，故，即在上单调增加，从而当时，
有，即，故；
当时，有。
21：（1），定义域为．
，
在上是增函数．
. ……… 4分
（2） 因为
因为若存在单调递减区间，所以有正数解.
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即有的解
当时，明显成立 .
②当时，开口向下的抛物线，总有的解；
③当时，开口向上的抛物线，
或：
有的解
即
即
，
即方程有正根.
因为，
所以方程有两正根.
当时，；
，解得．
综合①②③知：．
（3）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当时，，即．
令，则有， ．
，
． ……… 14分
(法二)当时，．
，，即时命题成立．
设当时，命题成立，即 ．
时，．
根据（Ⅰ）的结论，当时，，即．
令，则有，
则有，即时命题也成立．
因此，由数学归纳法可知不等式成立．
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