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专题6.2 等差数列及其求和
【考纲解读】
内 容
要 求
备注
A
B
C
数列
数列的概念
√
对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.
了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.
理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.
掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.
等差数列
√
等比数列
√
【直击考点】
题组一 常识题
1． －401是等差数列－5，－9，－13，…的第________项．
【解析】由已知得首项a1＝－5，公差d＝－4，∴an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1，∴－401＝－4×n－1，解得n＝100.
2． 在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________．
【解析】 由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.
3． 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n＋2，则其通项公式为an＝____________．
【解析】当n＝1时，a1＝S1＝4，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n＋2－(n－1)2－(n－1)－2＝2n.
∵a1＝4不满足an＝2n，∴an＝
题组二 常错题
4．若数列{an}满足a1＝1，an＋1－an＝n，则数列{an}的通项公式为an＝________．
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5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝________．
【解析】因为Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，所以a1＋an＝30.由Sn＝＝210，得n＝14.
6．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝________．
【解析】由等差数列的求和公式可得＝＝，可得a1＝2d且d≠0，
所以＝＝＝.
题组三 常考题
7． 已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和．若S8＝4S4，则a10＝________．
【解析】由S8＝4S4，得8a1＋×1＝4×，解得a1＝，所以a10＝＋(10－1)×1＝.
8． 已知数列{an}中，a1＝，an－1＝an－ (n≥2)，则数列{an}的前10项和等于________．
【解析】由a1＝，an－1＝an－(n≥2)，可知数列{an}是首项为，公差为的等差数列，故S10＝10×＋×＝5＋30＝35.
9． 在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________．
【解析】a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，∴a5＝5，∴a2＋a8＝2a5＝10.
【知识清单】
考点1等差数列的定义，通项公式，基本运算
等差数列的有关概念
1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第
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项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.
2.等差数列的通项公式：；
说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列.
3.等差中项的概念：
定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 .
，，成等差数列.
4.等差数列的前和的求和公式：.
5.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．
考点2等差数列的性质
1.等差数列的性质：
（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，，，，……；，，，，……；
（3）在等差数列中，对任意，，，；
（4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项.
（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.
（6）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列．
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（7）若数列是等差数列,则仍为等差数列．
2．设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①； ② ；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②.
3.,则,.
4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．
5.若与为等差数列，且前项和分别为与，则
考点3等差数列的前项和公式的综合应用，等差数列最值
1. 等差数列的前n项和公式
若已知首项和末项，则，或等差数列{an}的首项是，公差是，则其前项和公式为.
2．等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前n项和有最小值．时为递减数列，且当时前n项和有最大值．
【考点深度剖析】
江苏新高考对数列知识的考查要求较高，整个高中共有8个C能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、不等式、平面解析几何知识结合考查.
【重点难点突破】
考点1等差数列的定义，通项公式，基本运算
【题组全面展示】
【1-1】已知数列，若点均在直线上，则数列的前9项和等于__________.
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【答案】18
【1-2】已知表示数列的前项和，若对任意的满足，且，则__________.
【答案】
【1-3】数列中，已知且，则前项和为，则的值为__________.
【答案】
【解析】
试题分析：因为，所以公差，由得，
所以.
【1-4】在数列中，，，记是数列的前项和，则= .
【答案】480
【解析】∵，∴，，，……，且，，，……，∴为等差数列，且，即，，，，
∴，，
，……，
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∴.
【1-5】已知为等差数列，其前项和为．若，，，则 ．
【答案】8
【解析】采用等差数列的基本量法，，，．
综合点评：前四个题是等差数列的判断,第五个题是等差数列5个基本量问题, 在判断一个数列是否为等差数列时，应该根据已知条件灵活选用不同的方法，一般是先建立与的关系式或递推关系式，表示出，然后验证其是否为一个与无关的常数, 基本量的计算：即运用条件转化为关于和的方程组来处理.
【方法规律技巧】
1．等差数列的四种判断方法
(1) 定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；
(2) 等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列;
(3)通项公式：(为常数,)⇔ 是等差数列;
(4)前项和公式：(为常数, )⇔ 是等差数列;
(5) 是等差数列⇔是等差数列.
2．活用方程思想和化归思想
在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．
3.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为；
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四个数成等差数列，一般设为.
这对已知和,求数列各项,运算很方便.
4．若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用验证即可．
5.等差数列的前n项和公式
若已知首项和末项，则，或等差数列{an}的首项是，公差是，则其前项和公式为.
【新题变式探究】
【变式一】已知数列 为等差数列，且，，的值为__________.
【答案】
【解析】设等差数列，则，，所以，所以.
【变式二】数列中,,,若存在实数,使得数列为等差数列,则=_________.
【答案】2
【综合点评】第一题是求通项公式,第二题是等差数列定义的应用,第一题利用等差数列的通项公式求法求出,从而可得的值, 第二题设,利用,把换成,利用等差数列的定义,即可求出的值.
考点2等差数列的性质
【题组全面展示】
【2-1】等差数列的前项和为，若，则的值是__________.
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【答案】28
【解析】由题意可知，，则，所以.
【2-2】在等差数列中，已知，则=__________.
【答案】20
【解析】因为，所以由等差数列的性质，得，
所以=.
【2-3】设等差数列的前n项和为,若,则的值是__________.
【答案】54
【解析】由得，所以．
【2-4】在等差数列中，若，则该数列的前15项的和为____________.
【答案】15
【2-5】设等差数列的前项和为，若，，则等于 ．
【答案】
【解析】由等差数列的性质知，．
综合点评：这些题都是等差数列的性质的应用,熟记等差数列的性质,并能灵活运用是解这一类题的关键,注意等差数列与等比数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用．
【方法规律技巧】
1. 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．
2.等差数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用, 故应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．
3.应用等差数列的性质要注意结合其通项公式、前n项和公式．
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4.解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略.
【新题变式探究】
【变式一】已知是等差数列，为其前项和，若，O为坐标原点，点，点，则__________.
【答案】-2014
【解析】由得，，
又，
即，则，所以.
【变式二】等差数列中的、是函数的极值点，则__________.
【答案】
【综合点评】这两个题都是等差数列的性质的应用,第一个题是与向量结合,解题的关键是利用等差数列的性质求得,再利用向量的数量积即可,第二个题与导数的极值,方程的根与系数关系,对数求值相结合,解题的关键是审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，把函数的极值转化为等差数列的性质,从而求解.
考点3等差数列的前项和公式的综合应用，等差数列最值
【题组全面展示】
【3-1】已知等差数列的前项和为，若且,则当最大时的值是__________.
【答案】4
【解析】∵，∴，∴而，
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又∵，∴，∴而，∴，，
∴前4项的和最大，即.
【3-2】设正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为__________.
【答案】2
【解析】由题意可知．， ，当且仅当，即，亦即时等号成立．
【3-3】若为等差数列，为其前项和，若首项，公差，则使最大的序号为__________.
【答案】4
【解析】因为为等差数列，，所以数列为递减数列，且
，所以前4项的和最大.
【3-4】在等差数列中，，且，则的最大值是________．
【答案】9
【解析】在等差数列中，，得，即，，∴6≥2，即，当且仅当时取等号，∴的最大值为9.
【3-5】若等差数列满足，则当 时，的前项和最大.
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【答案】
综合点评：这几个题都是等差数列最值问题，解这一类题，往往结合数列的性质，以及数列的函数特征，因此审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，利用二次函数，基本不等式，解二次不等式等，从而解决问题.
【方法规律技巧】
求等差数列前项和的最值，常用的方法：
1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当，时，有最大值；，时，有最小值；若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，(2)当，时，满足的项数使得取最小值.
2.利用等差数列的前n项和：(为常数, )为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；，递减）；
3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.只需将等差数列的前n项和依次看成数列，利用数列中最大项和最小项的求法即可.
4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.
【新题变式探究】
【变式一】设等差数列满足，公差，当且仅当时，数列的前项和取得最大值，求该数列首项的取值范围__________.
【答案】
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【变式二】在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围_________.
【答案】
【解析】由题意得：，所以，即
【综合点评】这两个题都是等差数列前项和最值的应用，解题的关键是，利用等差数列前项和取得最值的条件，建立不等式，从而求出参数的范围.
【易错试题常警惕】
易错典例：在等差数列中，已知a1＝20，前n项和为，且S10＝S15，求当n取何值时，有最大值，并求出它的最大值．
【错解二】 由a1＝20，S10＝S15，解得公差d＝－，令
由①得n＜13，由②得n≥12，∴n＝12时，Sn有最大值S12＝130.
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易错分析： 错解一中仅解不等式an＞0不能保证Sn最大，也可能an＋1＞0，应有an≥0且an＋1≤0.
错解二中仅解an＋1≤0也不能保证Sn最大，也可能an≤0，应保证an≥0才行．
正确解析： 解法一：∵a1＝20，S10＝S15，∴10×20＋d＝15×20＋d.∴d＝－.
∴an＝20＋(n－1)×＝－n＋.∴a13＝0.即当n≤12时，an＞0，n≥14时，an＜0.
∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130.
解法二：同解法一，求得d＝－，∴Sn＝20n＋·＝－n2＋n
＝－＋.∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.
解法三：同解法一，求得d＝－，又由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，
∴5a13＝0，即a13＝0.又a1＞0，∴a1，a2，…，a12均为正数．而a14及以后各项均为负数，
∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.
温馨提醒：1.解决等差数列前n项和最值问题时一般利用通项不等式组法，即①当a1＞0，d＜0时，Sn最大⇔；②当a1＜0，d＞0时，Sn最小⇔.
2.在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴的远近而定．
3.等差数列的基本运算中，容易出现的问题主要有两个方面：一是忽视题中的条件限制，如公差与公比的符号、大小等，导致增解；二是不能灵活利用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量．
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