（江苏版）2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题6.4 数列求和（讲）.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 专题6.4 数列求和 一、填空题 ‎1．(2017·皖西七校联考)在数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和Sn＝，则n=______‎ ‎【解析】由an＝＝1－得Sn＝n－＋＋…＋＝n－，则Sn＝＝n－，将各选项中的值代入验证得n＝6.‎ ‎2．已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，且a3，a4＋，a11成等比数列．若p－q＝10，则ap－aq＝______‎ ‎3．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，那么S100的值为______‎ ‎【解析】当n为奇数时，an＋2－an＝0，所以an＝1，当n为偶数时，an＋2－an＝2，所以an＝n，故an＝于是S100＝50＋＝2 600.‎ ‎4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，则S2 017的值为______‎ ‎【解析】因为an＋2Sn－1＝n，n≥2，所以an＋1＋2Sn＝n＋1，n≥1，两式相减得an＋1＋an＝1，n≥2.又a1＝1，所以S2 017＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2 016＋a2 017)＝1 009‎ ‎5．已知数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*，且a5＝，若函数f (x)＝sin 2x＋2cos2，记yn＝f(an)，则数列{yn}的前9项和为______‎ ‎【解析】由已知可得，数列{an}为等差数列，f(x)＝sin 2x＋cos x＋1，∴f＝1.∵f(π－x)＝sin(2π－2x)＋cos(π－x)＋1＝－sin 2x－cos x＋1，∴f(π－x)＋f(x)＝2.∵a1＋a9＝a2＋a8＝…＝‎2a5＝π，∴f(a1)＋…＋f(a9)＝2×4＋1＝9，即数列{yn}的前9项和为9.‎ ‎6．设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，S1，S2，S4成等比数列，且a3＝－，则数列的前n项和Tn＝______‎ ‎【解析】设{an}的公差为d，因为S1＝a1，S2＝‎2a1＋d＝‎2a1＋＝a1－，S4＝‎3a3＋a1＝a1－，S1， S2，S4成等比数列，所以2＝a1，整理得‎4a＋‎12a1＋5＝0，所以a1＝－ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 或a1＝－.当a1＝－时，公差d＝0不符合题意，舍去；当a1＝－时，公差d＝＝－1，所以an＝－＋(n－1)×(－1)＝－n＋＝－(2n－1)，所以＝－＝－－，所以其前n项和Tn＝－1－＋－＋…＋－＝－＝－ ‎7．设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.‎ ‎8．已知数列{an}满足an＋1＝＋，且a1＝，则该数列的前2 016项的和等于________．‎ ‎【解析】因为a1＝，又an＋1＝＋，所以a2＝1，从而a3＝，a4＝1，即得an＝故数列的前2 016项的和等于S2 016＝1 008×＝1 512.‎ ‎9．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.‎ ‎【解析】∵an＋1－an＝2n，‎ ‎∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1‎ ‎＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.‎ ‎∴Sn＝＝2n＋1－2.‎ ‎10．(2017·福建泉州五中模拟)已知lg x＋lg y＝1，且Sn＝lg xn＋lg(xn－1y)＋lg(xn－2y2)＋…＋lg(xyn－1)＋lg yn，则Sn＝________.‎ ‎【解析】因为lg x＋lg y＝1，‎ 所以lg(xy)＝1.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 因为Sn＝lg xn＋lg(xn－1y)＋lg(xn－2y2)＋…＋lg(xyn－1)＋lg yn，‎ 所以Sn＝lg yn＋lg(xyn－1)＋…＋lg(xn－2y2)＋lg(xn－1y)＋lg xn，‎ 两式相加得2Sn＝(lg xn＋lg yn)＋[lg(xn－1y)＋lg(xyn－1)]＋…＋(lg yn＋lg xn)＝lg(xn·yn)＋lg(xn－1y·xyn－1)＋…＋lg(yn·xn)＝n[lg(xy)＋lg(xy)＋…＋lg(xy)]＝n2lg(xy)＝n2，所以Sn＝.‎ 二、解答题 ‎11．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，Sn为其前n项和．数列{bn}为等差数列，且满足b1＝a1，b4＝S3.‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn0，‎ ‎∴数列{Tn}是一个递增数列，∴Tn≥T1＝.‎ 综上所述，≤Tn