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数学人教版八年级上第十三章 轴对称单元检测
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在题后括号内)
1．下列由数字组成的图形中，是轴对称图形的是( )．
2．下列语句中正确的个数是( )．
①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；
②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；
③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；
④轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知等腰△ABC的周长为18 cm，BC＝8 cm，若△ABC与△A′B′C′全等，则△A′B′C′的腰长等于( )．
A．8 cm B．2 cm或8 cm
C．5 cm D．8 cm或5 cm
4．已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为( )．
A．42° B．69°
C．69°或84° D．42°或69°
5．已知A、B两点的坐标分别是(－2,3)和(2,3)，则下面四个结论中正确的有 ( )．
①A、B关于x轴对称；
②A、B关于y轴对称；
③A、B不轴对称；
④A、B之间的距离为4.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
6．如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交BC于D，交AB于点E.当∠B＝30°时，图中一定不相等的线段有( )．
A．AC＝AE＝BE B．AD＝BD
C．CD＝DE D．AC＝BD
7．如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形大致是( )．
8．如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反射)，那么该球最后将落入的球袋是( )．
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A．1号袋 B．2号袋
C．3号袋 D．4号袋
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．把正确答案填在题中横线上)
9．观察规律并填空：
10．点E(a，－5)与点F(－2，b)关于y轴对称，则a＝__________，b＝__________.
11．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，AB＝5 cm，则DC的长为__________．
(第11题图) (第12题图)
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，若BD＝10，则CD＝__________.
13．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是__________．
14.如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，则∠C＝__________.
(第13题图) (第14题图)
15．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为__________．
16．如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝8 m，∠A＝30°，则DE长为__________．
三、解答题(本大题共5小题，共52分)
17．(本题满分10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的两条中线BD、CE交于O点，求证：OB＝OC.
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18．(本题满分10分)△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)作出△ABC关于y轴对称的三角形△A1B1C1；
(2)将△ABC向下平移3个单位长度，画出平移后的△A2B2C2.
19．(本题满分10分)如图，已知△ABC中，AH⊥BC于H，∠C＝35°，且AB＋BH＝HC，求∠B的度数．
20．(本题满分10分)如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE.求证：△ABC是等腰三角形．(过D作DG∥AC交BC于G)．
21．(本题满分12分)如图，C为线段AE上一动点(不与点A、E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q，连接PQ.求证：△PCQ为等边三角形．
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参考答案
1．A 点拨：数字图案一般是沿中间竖直线或水平线折叠，看是否是轴对称图形，只有A选项是轴对称图形．
2．B 点拨：①③正确，②④不正确，其中④对应点还可能在对称轴上．
3．D 点拨：因为BC是腰是底不确定，因而有两种可能，当BC是底时，△ABC的腰长是5 cm，当BC是腰时，腰长就是8 cm，且均能构成三角形，因为△A′B′C′与△ABC全等，所以△A′B′C′的腰长也有两种相同的情况：8 cm或5 cm.
4．D 点拨：在等腰三角形中，当一个锐角在未指明为顶角还是底角时，一定要分类讨论．
①42°的角为等腰三角形底角；
②42°的角为等腰三角形的顶角，则底角为(180°－42°)÷2＝69°.
所以底角存在两种情况，∴42°或69°.
5．B 点拨：①③不正确，②④正确．
6．D 点拨：DE垂直平分AB，∠B＝30°，所以AD平分∠CAB，由角平分线性质和线段垂直平分线性质可知A、B、C都正确，且AC≠AD＝BD，故D错误．
7．C 点拨：经过三次轴对称折叠，再剪切，得到的图案是C图(也可将各选项图案按原步骤折叠复原)．
8．B 点拨：本题中的台球经过多次反射，每一次的反射就是一次轴对称变换，直到最后落入球袋，可用轴对称作图(如图)，该球最后将落入2号袋．
9. 点拨：观察可知本题图案是两个数字相同，且轴对称，由排列可知是相同的偶数数字构成的，故此题答案为6组成的轴对称图形．
10．2 －5 点拨：点E、F关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变．
11．2.5 cm 点拨：△ABC为等边三角形，AB＝BC＝CA，AD⊥BC，所以点D平分BC.
所以DC＝＝2.5 cm.
12．5 点拨：∠C＝90°，∠A＝30°，
则∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分线，
则∠CBD＝30°，所以CD＝＝5.
13．40° 点拨：因为MP、NQ分别垂直平分AB和AC，
所以PA＝PB，QA＝QC，∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C，∠PAB＋∠QAC＝∠C＋∠B＝180°－110°＝70°，
所以∠PAQ的度数是40°.
14．25° 点拨：设∠C＝x，那么∠ADB＝∠B＝2x，
因为∠ADB＋∠B＋∠BAD＝180°，代入解得x＝25°.
15．60°或120° 点拨：有两种可能，如下图(1)和图(2)，AB＝AC，CD为一腰上的高，过A点作底边BC的垂线，图(1)中，∠BAC＝60°，图(2)中，∠BAC＝120°.
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16．2 m 点拨：根据30°角所对的直角边是斜边的一半，可知DE＝＝＝2 m.
17．证明：∵BD、CE分别是AC、AB边上的中线，∴BE＝，CD＝.
又∵AB＝AC，∴BE＝CD.
在△BCE和△CBD中，
∴△BCE≌△CBD(SAS)．
∴∠ECB＝∠DBC.∴OB＝OC.
18．解：(1)如图所示的△A1B1C1.
(2)如图所示的△A2B2C2.
19. 解：如图，在CH上截取DH=BH，连接AD，
∵AH⊥BC，
∴AH垂直平分BD.
∴AB=AD.∴∠B=∠ADB.
∵AB+BH=HC，
∴AD+DH=HC=DH+CD.
∴AD=CD.∴∠C=∠DAC=35°.
∴∠B=∠ADB=∠C+∠DAC=70°.
20. 证明：如图，过D作DG∥AC交BC于G，
则∠GDF=∠E，
∠DGB=∠ACB，
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在△DFG和△EFC中，
∴△DFG≌△EFC(ASA)．
∴CE=GD，∵BD=CE.∴BD=GD.
∴∠B=∠DGB.∴∠B=∠ACB.
∴△ABC为等腰三角形．
21. 证明：如图，
∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°.
∴∠ACB＋∠3＝∠ECD＋∠3，
即∠ACD＝∠BCE.
又∵C在线段AE上，
∴∠3＝60°.
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE.∴∠1＝∠2.
在△APC和△BQC中，
∴△APC≌△BQC.∴CP＝CQ.
∴△PCQ为等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．
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