（人教A版选修2-2）2.3数学归纳法同步练习含答案详解.doc

‎2.3 数学归纳法 一、选择题（每小题5分，共20分）‎ ‎1．一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于(　　)‎ A．一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立 C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对 ‎2．在数列{an}中，an＝1－＋－＋…＋－，则ak＋1＝(　　)‎ A．ak＋ B．ak＋－ C．ak＋ D．ak＋－ ‎ 3.设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k＋1)与f(k)的关系是(　　)‎ A．f(k＋1)＝f(k)＋k＋1‎ B．f(k＋1)＝f(k)＋k－1‎ C．f(k＋1)＝f(k)＋k D．f(k＋1)＝f(k)＋k＋2‎ ‎4.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成(　　)‎ A．假设n＝2k＋1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋3正确 B．假设n＝2k－1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋1正确 C．假设n＝k(k∈N*)正确，再推n＝k＋1正确 D．假设n＝k(k≥1)正确，再推n＝k＋2正确 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝时，当n＝k＋1时左端在n＝k时的左端加上________．‎ ‎6．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋‎1”‎时，左边应增乘的因式是________．‎ 三、解答题(共70分)‎ ‎7.（15分）对于n∈N*，用数学归纳法证明：‎ ‎1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝n(n＋1)(n＋2)．‎ ‎8.（20分）已知正项数列{an}和{bn}中，a1＝a(0＜a＜1)，b1＝1－a.当n≥2时，an＝an－1bn，bn＝.‎ ‎(1)证明：对任意n∈N*，有an＋bn＝1；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎9．(20分)数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．‎ ‎(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式 an；‎ ‎(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．‎ ‎10.（15分）已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)且点P1的坐标为(1，－1)．‎ ‎(1)求过点P1，P2的直线l的方程；‎ ‎(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．‎ ‎2.3 数学归纳法 答题纸 ‎ 得分：‎ 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 答案 二、填空题 ‎5． 6．‎ 三、解答题 ‎7.‎ ‎8.‎ ‎9.‎ ‎10.‎ ‎2.3 数学归纳法 答案 一、选择题 ‎1.B 解析：本题证的是对n＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．‎ ‎2.D 解析： a1＝1－，a2＝1－＋－，…，an＝1－＋－＋…＋－，ak＝1－＋－＋…＋－，所以，ak＋1＝ak＋－.‎ ‎3.‎ C解析：当n＝k＋1时，任取其中1条直线，记为l，则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是f(k)＋k＝f(k＋1)．‎ ‎4.B解析：首先要注意n为奇数，其次还要使n＝2k－1能取到1.‎ 二、填空题 ‎5.(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2解析：n＝k时左端为1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.‎ ‎　‎ ‎6.2(2k＋1)解析：当n＝k(k∈N*)时，左式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)；‎ 当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k) ·(k＋1＋k＋1)，‎ 则左边应增乘的式子是＝2(2k＋1)．‎ 三、计算题 ‎7.证明：设f(n)＝1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1.‎ ‎(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；‎ ‎(2)设当n＝k时等式成立，即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋(k－1)·2＋k·1＝k(k＋1)(k＋2)，‎ 则当n＝k＋1时，‎ f(k＋1)＝1·(k＋1)＋2[(k＋1)－1]＋3[(k＋1)－2]＋…＋[(k＋1)－2]·3＋[(k＋1)－1]·2＋(k＋1)·1‎ ‎＝f(k)＋1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)‎ ‎＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋1＋1)‎ ‎＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)．‎ ‎∴由(1)(2)可知当n∈N*时等式都成立．‎ ‎8．解： (1)证明：用数学归纳法证明．‎ ‎①当n＝1时，a1＋b1＝a＋(1－a)＝1，命题成立；‎ ‎②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立，即ak＋bk＝1，则当n＝k＋1时，ak＋1＋bk＋1＝akbk＋1＋bk＋1＝(ak＋1)·bk＋1＝(ak＋1)·＝＝＝1.‎ ‎∴当n＝k＋1时，命题也成立．‎ 由①、②可知，an＋bn＝1对n∈N*恒成立．‎ ‎(2)∵an＋1＝anbn＋1＝＝＝，‎ ‎∴＝＝＋1，‎ 即－＝1.‎ 数列{}是公差为1的等差数列，其首项为＝，‎ ＝＋(n－1)×1，从而an＝.‎ ‎9. 解：(1)a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，‎ 由此猜想an＝(n∈N*)．‎ ‎(2)证明：当n＝1时，a1＝1，结论成立．‎ 假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，结论成立，‎ 即ak＝，‎ 那么n＝k＋1(k≥1，且k∈N*)时，‎ ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak ‎＝2＋ak－ak＋1.‎ ‎∴2ak＋1＝2＋ak，‎ ‎∴ak＋1＝＝＝，‎ 这表明n＝k＋1时，结论成立．‎ ‎∴an＝(n∈N*)．‎ ‎10. 解：(1)由P1的坐标为(1，－1)知a1＝1，b1＝－1.‎ ‎∴b2＝＝.‎ a2＝a1·b2＝.‎ ‎∴点P2的坐标为(，)‎ ‎∴直线l的方程为2x＋y＝1.‎ ‎(2)证明：①当n＝1时，‎ ‎2a‎1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．‎ ‎②假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，2ak＋bk＝1成立，‎ 则当n＝k＋1时，‎ ‎2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝(2ak＋1)‎ ‎＝＝＝1，‎ ‎∴当n＝k＋1时，命题也成立．‎ 由①②知，对n∈N*，都有2an＋bn＝1，‎ 即点Pn在直线l上．‎