由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
第2课时 旋转操作型问题
(50分)
一、选择题(每题6分，共12分)
图4－2－1
1．如图4－2－1，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为 ( A )
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
2．[2017·台州模拟]小东同学对图形世界充满兴趣，他先把一个面积为 cm2的正三角形绕着它的中心旋转60°，旋转前后的两个正三角形构成如图4－2－2①的一个六角星；然后将该六角星按图②分割后拼成矩形ABCD.请你思考小东的问题：若将该矩形围成圆柱，则圆柱的高为 ( D )
图4－2－2
A．2 cm B．3 cm
C．2 cm或6 cm D．3 cm或3 cm
第2题答图
【解析】 设正三角形的边长为x，则 x2＝ ，解得x＝3 ，∴AD＝3 ，如答图，作OH⊥AD于H，AH＝ ，∴OH＝AH＝ × ＝，∴AB＝2OH＝3，∴把矩形ABCD围成圆柱，则圆柱的高为3 cm或3 cm.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
二、填空题(每题6分，共12分)
图4－2－3
3．[2017·鄞州区模拟]如图4－2－3，将△ABC绕点A顺时针旋转，使点C落在边AB上的点E处，点B落在点D处，连结BD，如果∠DAC＝∠DBA，那么∠BAC的度数是__36__度．
【解析】 设∠BAC＝x，由旋转的性质，可得∠DAE＝∠BAC＝x，∴∠DAC＝∠DBA＝2x，又∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝2x，又∵△ABD中，∠BAD＋∠ABD＋∠ADB＝180°，
∴x＋2x＋2x＝180°，∴x＝36°，即∠BAC＝36°.
4．[2017·海曙区模拟]如图4－2－4，已知∠MON＝30°，B为OM上一点，BA⊥ON于A，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连结CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连结BE，若AB＝4，则BE的最小值为__2＋2__．
图4－2－4 第4题答图
【解析】 如答图所示，将BC绕着点C顺时针旋转90°得FC，作直线FE交OM于H，则∠BCF＝90°，BC＝FC，∵将CP绕点C按顺时针方向旋转90°得CE，∴∠PCE＝90°，PC＝EC，∴∠BCP＝∠FCE，在△BCP和△FCE中， ∴△BCP≌△FCE(SAS)，∴∠CBP＝∠CFE，又∵∠BCF＝90°，∴∠BHF＝90°，∴点E在直线FH上，即点E的轨迹为射线，∵BH⊥EF，∴当点E与点H重合时，BE＝BH最短，∵当CP⊥OM时，Rt△BCP中，∠CBP＝30°，∴CP＝ BC＝2，BP＝ CP＝2，又∵∠PCE＝∠CPH＝∠PHE＝90°，CP＝CE，∴正方形CPHE中，PH＝CP＝2，∴BH＝BP＋PH＝2 ＋2，即BE的最小值为2 ＋2，
三、解答题(共26分)
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
5．(12分)在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可表示为S＝ma＋nb－1，其中m，n为常数．
(1)在图4－2－5的方格纸中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形(非菱形)、菱形；
图4－2－5
(2)利用(1)中的格点多边形确定m，n的值．
解：(1)如答图；
第5题答图
(2)三角形：a＝4，b＝6，S＝6；
平行四边形：a＝3，b＝8，S＝6；
菱形：a＝5，b＝4，S＝6；
任选两组数据代入S＝ma＋nb－1，
解得m＝1，n＝.
6．(14分)如图4－2－6①，正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，点E在AB上，连结DF，BF.现将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG＝α，其中0°≤α≤180°，如图②.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
图4－2－6
(1)若α＝0°，则DF＝BF.请加以证明；
(2)试画一个图形(反例)，说明(1)中命题的逆命题是假命题；
(3)对于(1)中命题的逆命题，如果补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．
解：(1)证明：∵四边形AEFG是正方形，
∴GF＝EF＝AG＝AE，∠AGF＝∠AEF＝90°.
∴∠DGF＝∠BEF＝90°.∵四边形ABCD是正方形，
第6题答图
∴AD＝AB，∴AD－AG＝AB－AE，即DG＝BE，
在△DGF和△BEF中，
∴△DGF≌△BEF(SAS)，∴DF＝BF；
(2)反例如答图，DF＝BF，但α≠0°，α＝180°；
(3)答案不唯一，如补充条件α＜180°.
(30分)
7．(14分)(1)如图4－2－7①，在等边三角形ABC中，M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连结AM，以AM为边作等边三角形AMN，连结CN.求证：∠ABC＝∠ACN；
(2)如图②，在等边三角形ABC中，M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变，(1)中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由；
(3)如图③，在等腰三角形ABC中，BA＝BC，M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连结AM，以AM为边作等腰三角形AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC.连结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
图4－2－7
解：(1)证明：∵△ABC，△AMN都是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM≌△CAN(SAS)，
∴∠ABC＝∠ACN；
(2)结论∠ABC＝∠ACN仍成立．理由：
∵△ABC，△AMN都是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°.
∴∠BAM＝∠CAN.∴△BAM≌△CAN(SAS)；
∴∠ABC＝∠ACN；
(3)∠ABC＝∠ACN.理由：
∵BA＝BC，MA＝MN，∠ABC＝∠AMN，
∴∠BAC＝∠MAN，∴△ABC∽△AMN，
∴＝.∵∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，∴∠BAM＝∠CAN，
∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC＝∠ACN.
8．(16分)[2016·资阳]在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连结BD，过点D作DF⊥AC于点F.
(1)如图4－2－8①，若点F与点A重合，求证：AC＝BC；
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
图4－2－8
(2)若∠DAF＝∠DBA，
(Ⅰ)如图②，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由；
(Ⅱ)当点F在线段CA上时，设BE＝x，请用含x的代数式表示线段AF.
解：(1)证明：由旋转性质，得∠BAC＝∠BAD，
∵DF⊥AC，∴∠CAD＝90°，∴∠BAC＝∠BAD＝45°，∵∠C＝90°，
∴∠ABC＝45°，∴AC＝BC；
(2)(Ⅰ)AF＝BE.
理由：由旋转性质，得AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠DAF＝∠DBA，∴∠DAF＝∠ADB，
∴AF∥BD，∴∠BAC＝∠ABD，∵∠ABD＝∠FAD，
由旋转性质，得∠BAC＝∠BAD，
∴∠FAD＝∠BAC＝∠BAD＝×180°＝60°，
由旋转性质，得AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD，
在△AFD和△BED中，
∴△AFD≌△BED(AAS)，∴AF＝BE；
(Ⅱ)如答图，由旋转性质，得∠BAC＝∠BAD，
∵∠DBA＝∠DAF＝∠BAC＋∠BAD＝2∠BAD，
第8题答图
由旋转性质，得AD＝AB，
∴∠DBA＝∠ABD＝2∠BAD，
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∵∠BAD＋∠ABD＋∠ADB＝180°，
∴∠BAD＋2∠BAD＋2∠BAD＝180°，
∴∠BAD＝36°，
设BE＝x，作BG平分∠DBA，交AD于点G.
∴∠BAD＝∠GBD＝36°∴AG＝BG＝BD，
∴DG＝AD－AG＝AD－BG＝AD－BD，
∵∠BDG＝∠ADB，∴△BDG∽△ADB，
∴＝.∴＝，
设＝a，则a＝－1，解得a＝，
∴＝，
∵∠FAD＝∠EBD，∠AFD＝∠BED，
∴△AFD∽△BED，
∴＝，∴AF＝·BE＝x.
(20分)
9．(20分)[2017·淮安]【操作发现】
如图4－2－9①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
图4－2－9
(1)请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连结BB′；
(2)在(1)所画图形中，∠AB′B＝__45°__．
【问题解决】
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
如图②，在等边三角形ABC中，AC＝7，点P在△ABC内，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题产生了如下想法：
想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连结PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；
想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连结PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系…
请参考小明同学的一种想法，完成该问题的解答过程．
【灵活运用】
如图③，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB(k为常数)，求BD的长(用含k的式子表示)．
解：【操作发现】(1)如答图①所示．
第9题答图①
(2)45°.
【问题解决】如答图②，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连结PP′，则AP′＝AP，∠PAP′＝60°，∠AP′B＝∠APC.
∴△APP′是等边三角形．∴∠APP′＝∠AP′P＝60°.
∵∠APC＝90°，∠BPC＝120°，
∴∠APB＝360°－∠APC－∠BPC＝150°.
∴∠BPP′＝∠APB－∠APP′＝150°－60°＝90°.
∴∠BP′P＝∠AP′B－∠AP′P＝90°－60°＝30°.
设BP＝a.在Rt△BPP′中，∵∠BP′P＝30°，
∴P′B＝2a，P′P＝a.∴AP＝a，PC＝2a.
在Rt△APC中，由勾股定理，得AP2＋PC2＝AC2，
即(a)2＋(2a)2＝72，解得 a＝.
∴AP＝，PC＝2.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∴S△APC＝ AP·PC＝××2＝7.
第9题答图② 第9题答图③
【灵活运用】如答图③，连结AC.∵AE⊥BC，BE＝CE，
∴AB＝AC.又∵AE⊥BC，∴∠BAE＝∠CAE.
设∠BAE＝α，则∠CAE＝α，∠ABE＝90°－α，∠ADC＝α.
将△ACD绕点A顺时针旋转2α，得到△ABD′，则BD′＝CD＝5，AD＝AD′，∠DAD′＝2α，∠BD′A＝α.
过点A作AF⊥DD′，垂足为F，则∠D′AF＝α，∠AD′F＝90°－α，DD′＝2D′F.
∴∠BD′D＝∠BD′A＋∠AD′F＝α＋90°－α＝90°.
在Rt△AD′F中，D′F＝AD′·cos∠AD′F＝AD·cos(90°－α)＝kAB·cos(90°－α)＝k·BE＝2k.∴DD′＝4k.
在Rt△BDD′中，由勾股定理得
BD＝ ＝＝.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
微信/支付宝扫码支付