2018届中考《第四部分第五讲第2课时二次函数与四边形》同步练习.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第2课时　二次函数与四边形的综合 ‎(45分)‎ ‎1．(15分)[2017·镇江]如图5－2－1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B坐标为(4，t)(t＞0)．二次函数y＝x2＋bx(b＜0)的图象经过点B，顶点为点D.‎ 图5－2－1‎ ‎(1)当t＝12时，顶点D到x轴的距离等于____；‎ ‎(2)点E是二次函数y＝x2＋bx(b＜0)的图象与x轴的一个公共点(点E与点O不重合)．求OE·EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；‎ ‎(3)矩形OABC的对角线OB，AC交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数y＝x2＋bx(b＜0)的图象于点M，N，连结DM，DN.当△DMN≌△FOC时，求t的值．‎ ‎【解析】 (1)将B点坐标(4，12)代入y＝x2＋bx求出二次函数关系式，再用配方法或二次函数的顶点坐标公式解决问题；‎ ‎(2)分别用含b的代数式表示OE，AE的长，再运用二次函数的求最值的方法(配方法)求出OE·EA的最大值；‎ ‎(3)由△DMN≌△FOC可得MN＝CO＝t，再分别用含b，t的代数式表示出点M，N的坐标，将点M或点N的坐标代入y＝x2＋bx就可以求出t的值．‎ 解：(2)∵二次函数y＝x2＋bx与x轴交于点E，∴E(－b，0)．‎ ‎∴OE＝－b，AE＝4＋b.∴OE·EA＝－b(b＋4)＝－b2－4b＝－(b＋2) 2＋4.‎ ‎∴当b＝－2时，OE·EA有最大值，其最大值为4.此时b＝－2，二次函数表达式为y＝x2－2x；‎ 第1题答图 ‎(3)如答图，过D作DG⊥MN，垂足为G，过点F作FH⊥CO，垂足为H.‎ ‎∵△DMN≌△FOC，∴MN＝CO＝t，DG＝FH＝2.‎ ‎∵D，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴N，即N.‎ 把x＝，y＝代入y＝x2＋bx，‎ 得＝＋b·，‎ 解得t＝±2，∵t＞0，∴t＝2.‎ 图5－2－2‎ ‎2．(15分)如图5－2－2，直线y＝kx＋m分别交y轴，x 轴于A(0，2)，B(4，0)两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c过A，B两点．‎ ‎(1)求直线和抛物线的表达式；‎ ‎(2)设N(x，y)是(1)所得抛物线上的一个动点，过点N作直线MN垂直x轴交直线AB于点M，若点N在第一象限内．试问：线段MN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎(3)在(2)的情况下，以A，M，N，D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．‎ ‎【解析】 (1)由直线y＝kx＋m分别交y轴、x 轴于A(0，2)，B(4，0)两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c过A，B两点，利用待定系数法即可求得直线和抛物线的表达式；‎ ‎(2)假设x＝t时，线段MN的长度是最大值，可得M，N，则可得MN＝－＝－t2＋4t ‎＝－(t－2)2＋4，然后由二次函数的最值问题，求得答案；‎ ‎(3)根据平行四边形的性质即可求得答案．‎ 解：(1)∵直线y＝kx＋m分别交y轴，x 轴于A(0，2)，B(4，0)两点，‎ ‎∴解得 ‎∴直线的表达式为y＝－x＋2，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 将A(0，2)，B(4，0)分别代入抛物线，得 解得 ‎∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋2；‎ ‎(2)存在．‎ 假设x＝t时，线段MN的长度是最大值，‎ 由题意，得M，N，‎ ‎∴MN＝－＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4，‎ ‎∴当t＝2时，MN有最大值4；‎ 第2题答图 ‎(3)由题意可知，D的可能位置有如答图三种情形．‎ 当D在y轴上时，‎ 设D的坐标为(0，a)，‎ 由AD＝MN，得|a－2|＝4，‎ 解得a1＝6，a2＝－2，‎ ‎∴D(0，6)或D(0，－2)；‎ 当D不在y轴上时，由图可知D为D1N与D2M的交点，‎ ‎∵直线D1N的表达式为y＝－x＋6，直线D2M的表达式为y＝x－2，‎ 由两方程联立解得D(4，4)．‎ 综上可得，D的坐标为(0，6)，(0，－2)或(4，4)．‎ 图5－2－3‎ ‎3．(15分)如图5－2－3，抛物线y＝－x2＋6x交x轴正半轴于点A，顶点为M，对称轴MB交x轴于点B，过点C(2，0)作射线CD交MB于点D(D在x轴上方)，OE∥CD交MB于点E，EF∥x轴交CD的延长线于点F，作直线MF.‎ ‎(1)求点A，M的坐标；‎ ‎(2)当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？‎ ‎(3)当BD＝1时，‎ ‎①求直线MF的表达式，并判断点A是否落在该直线上；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎②延长OE交FM于点G，取CF中点P，连结PG，△FPG，四边形DEGP，四边形OCDE的面积分别记为S1，S2，S3，则S1∶S2∶S3＝__3∶4∶8__.‎ 解：(1)令y＝0，则－x2＋6x＝0，解得x1＝0，x2＝6，∴A(6，0)，∴对称轴是直线x＝3，∴M(3，9)；‎ ‎(2)∵OE∥CF，OC∥EF，C(2，0)，‎ ‎∴EF＝OC＝2，∴BC＝1，‎ ‎∴点F的横坐标为5，‎ ‎∵点F落在抛物线y＝－x2＋6x上，‎ ‎∴F(5，5)，BE＝5.∵＝＝，‎ ‎∴DE＝2BD，∴BE＝3BD，∴BD＝；‎ ‎(3)①当BD＝1时，BE＝3，∴F(5，3)．‎ 第3题答图 设MF的表达式为y＝kx＋b，将M(3，9)，F(5，3)代入，‎ 得解得 ‎∴y＝－3x＋18.‎ ‎∵当x＝6时，y＝－3×6＋18＝0，‎ ‎∴点A落在直线MF上；‎ ‎②∵BD＝1，BC＝1，‎ ‎∴△BDC为等腰直角三角形，‎ ‎∴△OBE为等腰直角三角形，‎ ‎∴CD＝，CF＝OE＝3，‎ ‎∴DP＝，PF＝，‎ 根据MF及OE的表达式求得点G的坐标为，如答图，过点G作GN⊥EF交EF于点N，则EN＝GN＝，∴EG＝，S△FPG，S梯形DEGP，S梯形OCDE的高相等，所以三者面积比等于底之比，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故S△FPG∶S梯形DEGP∶S梯形OCDE ‎＝PF∶(DP＋EG)∶(DC＋OE)‎ ‎＝∶2∶4 ‎＝∶2∶4＝3∶4∶8.‎ ‎(35分)‎ ‎4．(15分)[2017·临沂]如图5－2－4，抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A(2，－3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB.‎ 图5－2－4‎ ‎(1)求抛物线的表达式；‎ ‎(2)点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标；‎ ‎(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】 (1)本题需先根据已知条件，求出C点坐标，即OC，进而根据OC＝3OB求出点B的坐标，再根据过A，B两点，即可得出结果；‎ ‎(2)过点B作BE⊥x轴交AC的延长线于点E，由∠BDO＝∠BAC，∠BOD＝∠BEA＝90°得到Rt△BDO和Rt△BAE相似，得到OD，进而得到点D的坐标；‎ ‎(3)根据题意可知N点在对称轴x＝1上，而A，B，M，N四点构成平行四边形符合题意的有三种情况：①BM∥AN，AM∥BN；②BN∥AM，AB∥MN；③BM∥AN，AB∥MN，然后根据平行直线k相同可以得到点M的坐标．‎ 解：(1)令x＝0，由y＝ax2＋bx－3，得y＝－3，∴C(0，－3)，∴OC＝3，‎ 又∵OC＝3OB，∴OB＝1，∴B(－1，0)，‎ 把点B(－1，0)和A(2，－3)分别代入y＝ax2＋bx－3，‎ 得 解得 ‎∴该二次函数的表达式为y＝x2－2x－3.‎ ‎(2)如答图①，过点B作BE⊥x轴交AC的延长线于点E.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵∠BDO＝∠BAC，∠BOD＝∠BEA＝90°，‎ ‎∴Rt△BDO∽Rt△BAE，‎ ‎∴OD∶OB＝AE：BE，∴OD∶1＝3∶3，∴OD＝1，‎ ‎∴D点坐标为(0，1)或(0，－1)．‎ ‎ ‎ 第4题答图① 　　　第4题答图②‎ ‎(3)如答图②，M1(0，－3)，M2(－2，5)，M3(4，5)．‎ ‎5．(20分)[2017·邵阳]如图5－2－5所示，顶点为的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点M(2，0)．‎ ‎　图5－2－5　　　 备用图 ‎(1)求抛物线的表达式；‎ ‎(2)点A是抛物线与x轴的交点(不与点M重合)，点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y＝x＋1上一点(处于x轴下方)，点D是反比例函数y＝(k>0)图象上一点．若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．‎ ‎【解析】 (1)已知抛物线的顶点坐标，可设顶点式为 y＝a－，再把点M(2，0)代入，可求a＝1，所以抛物线的表达式可求；‎ ‎(2)先分别求出A，B两点的坐标，及AB的长，再根据反比例函数y＝(k>0)，考虑点C在x轴下方，故点D只能在第一、三象限．确定菱形有两种情形：①菱形以AB为边，如答图①，过点D作y轴的垂线，交y轴于点N，因此，∠BDN＝∠GAO＝45°，BD＝AB，从而求出DN，NO，即D的坐标可求，从而 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 k可求．② 菱形以AB为对角线，如答图②，过点D作x轴的垂线，与x轴交于点F，与过点B作y轴的垂线交于点E，可证△DBE是等腰直角三角形，所以设BE＝DE＝x，则DF＝x－2，DB＝x，在Rt△ADF中，AD＝BD＝x，AF＝x＋1，利用勾股定理，构造关于x的方程，求出x，则D点坐标(x，x－2)可求，k可求．‎ 解：(1)依题意可设抛物线为y＝a－，将点M(2，0)代入可得a＝1，∴抛物线的表达式为y＝－＝x2－x－2；‎ ‎(2)当y＝0时，x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，∴A(－1，0)，当x＝0时，y＝－2，∴B(0，－2)．‎ 在 Rt△OAB 中，OA＝1，OB＝2，∴AB＝.设直线 y ＝ x＋1 与 y 轴的交点为点 G，易求 G(0，1)，∴Rt△AOG为等腰直角三角形，∴∠AGO＝45°.∵点 C 在 y＝x＋1 上且在 x 轴下方，而 k>0，∴y＝的图象位于第一、三象限，故点 D 只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下两种情况：‎ 第5题答图①‎ ‎∴①菱形以 AB 为边且 AC 也为边，如答图①所示，过点 D 作 DN⊥y 轴于点 N，‎ 在 Rt△BDN 中，‎ ‎∵∠DBN＝∠AGO ＝45°，‎ ‎∴DN＝BN＝，‎ ‎∴D，点D在y＝(k>0)的图象上，∴k＝－×＝＋.‎ ‎②菱形以 AB 为对角线，如答图②所示，作 AB 的垂直平分线 CD 交直线 y ＝ x＋1 于点 C，交 y ＝的图象于点 D．再分别过点 D，B 作 DE⊥x 轴于点 F，BE⊥y 轴，DE 与 BE 相交于点 E.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 在 Rt△BDE 中，同①可证∠AGO＝∠DBO ＝∠BDE＝ 45°，∴BE＝DE.设点 D 的坐标为(x，x－2)．‎ 第5题答图②‎ ‎∵BE2＋DE2＝BD2，∴BD＝BE ＝x.∵四边形ACBD是菱形，∴AD＝BD＝x.‎ ‎∴在Rt△ADF中，AD2＝AF2＋DF2，(x)2＝(x＋1)2＋(x－2)2，解得x＝，‎ ‎∴点D的坐标为，点D在y＝(k>0)的图象上，‎ ‎∴k＝.‎ 综上所述，k的值为＋或.‎ ‎(20分)‎ 图5－2－6‎ ‎6．(20分)[2017·咸宁]如图5－2－6，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB＝OC＝6.‎ ‎(1)求抛物线的表达式及点D的坐标；‎ ‎(2)连结BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB＝∠EDB时，求点F的坐标；‎ ‎(3)平行于x轴的直线交抛物线于M，N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ＝MN时，求菱形对角线MN的长．‎ ‎【解析】 (1)利用OB＝OC＝6得到点B(6，0)，C(0，－6)，将其代入抛物线的表达可求出b，c的值，进而得到抛物线的表达式，最后通过配方得到顶点坐标；‎ ‎(2)由于F为抛物线上一动点，∠FAB＝∠EDB，可以分两种情况求解：一是点F在x轴上方；二是点F在x轴下方．每一种情况都可以作FG⊥x轴于点G，构造Rt△AFG与Rt△DBE相似，利用对应边成比例或三角函数的定义求点F的坐标．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(3)首先根据MN与x轴的位置关系画出符合要求的两种图形：一是MN在x轴上方；二是MN在x轴下方．设菱形对角线的交点T到x轴的距离为n，利用PQ＝MN，得到MT＝2n，进而得到点M的坐标为(2＋2n，n)，再由点M在抛物线上，得n＝(2＋2n)2－2(2＋2n)－6，求出n的值，最后可以求得MN＝2MT＝4n的两个值．‎ 解：(1)∵OB＝OC＝6，∴B(6，0)，C(0，－6)．‎ ‎∴ 解得∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－6.‎ ‎∵y＝x2－2x－6＝(x－2)2－8，‎ ‎∴点D的坐标为(2，－8)；‎ ‎(2)如答图①，当点F在x轴上方时，设点F的坐标为.过点F作FG⊥x轴于点G，易求得OA＝2，则AG＝x＋2，FG＝x2－2x－6.‎ ‎ 第7题答图①‎ ∵∠FAB＝∠EDB，‎ ‎∴tan∠FAG＝tan∠EDB，‎ 即 ＝，‎ 解得x1＝7，x2＝－2(舍去)．‎ 当x＝7时，y＝，‎ ‎∴点F的坐标为.‎ 当点F在x轴下方时，同理求得点F的坐标为.‎ 综上所述，点F的坐标为或.‎ ‎(3)∵点P在x轴上，∴根据菱形的对称性可知点P的坐标为(2，0)．‎ 如答图②，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第7题答图②‎ ‎∵PQ＝MN，∴MT＝2PT.设TP＝n，则MT＝2n.‎ ‎∴M(2＋2n，n)．∵点M在抛物线上，‎ ‎∴n＝(2＋2n)2－2(2＋2n)－6，即2n2－n－8＝0.‎ 解得n1＝，n2＝(舍去)．‎ ‎∴MN＝2MT＝4n＝＋1.‎ 当MN在x轴下方时，设TP＝n，得M(2＋2n，－n)．‎ ‎∵点M在抛物线上，‎ ‎∴－n＝(2＋2n)2－2(2＋2n)－6，‎ 即2n2＋n－8＝0.‎ 解得n1＝，n2＝(舍去)．‎ ‎∴MN＝2MT＝4n＝－1.‎ 综上所述，菱形对角线MN的长为＋1或－1.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费