2018届中考数学《第六讲第4课时抛物线中的两个动点问题》同步练习.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第4课时　抛物线中的两个动点问题 ‎(60分)‎ ‎1．(20分)[2017·凉山州]如图6－4－1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝8，OC＝6.‎ ‎ 图6－4－1‎ ‎(1)求抛物线的表达式；‎ ‎(2)点M从A点出发，在线段上AB以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时，点N从B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△MBN存在时，求运动多少秒使△MBN的面积最大，最大面积是多少？‎ ‎(3)在(2)的条件下，△MBN面积最大时，在BC上方的抛物线上是否存在点P，使△BPC的面积是△MBN面积的9倍，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】 (1)由线段的长度得出点A，B，C的坐标，然后把A，B，C三点的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋c，解方程组即可得抛物线的表达式；‎ ‎(2)设运动时间为t s，则MB＝10－3t，然后根据△BHN∽△BOC，求得NH＝t，再利用三角形的面积公式列出S△MBN与t的函数关系式S△MBN＝－，利用二次函数的图象性质进行解答；‎ ‎(3)利用待定系数法求得直线BC的表达式为y＝－x＋6.由二次函数图象上点的坐标特征可设点P的坐标为.过点P作PE∥y轴，交BC于点E.结合已知条件和(2)中的结果求得S△PBC＝.则根据图形得到S△PBC＝S△CEP＋S△BEP＝EP·m＋·EP·(8－m)，把相关线段的长度代入推知：－m 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2＋12m＝.易求得P或.‎ 解：(1)∵OA＝2，OB＝8，OC＝6，‎ ‎∴A(－2，0)，B(8，0)，C(0，6)，‎ 根据题意，得 解得 ‎∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋6；‎ ‎(2)设运动时间为t s，则AM＝3t，BN＝t.‎ ‎∴MB＝10－3t.‎ 在Rt△BOC中，BC＝＝10.‎ 如答图①，过点N作NH⊥AB于点H，∴NH∥CO，‎ 图第1题答图①‎ ‎∴△BHN∽△BOC，‎ ‎∴＝，即＝，‎ ‎∴HN＝t.‎ ‎∴S△MBN＝MB·HN ‎＝(10－3t)·t＝－＋，‎ ‎∴当t＝时，S△MBN最大＝.‎ 答：运动 s时，△MBN的面积最大，最大面积是；‎ ‎(3)设直线BC的表达式为y＝kx＋c(k≠0)．‎ 把B(8，0)，C(0，6)代入，得 解得 ‎∴直线BC的表达式为y＝－x＋6.‎ ‎∵点P在抛物线上，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴设点P的坐标为，‎ 第1题答图②‎ 如答图②，过点P作PE∥y轴，交BC于点E，则E点的坐标为，‎ ‎∴EP＝－m2＋m＋6－＝－m2＋3m，‎ 当△MBN的面积最大时，S△PBC＝9S△MBN＝，‎ ‎∴S△PBC＝S△CEP＋S△BEP＝EP·m＋EP·(8－m)‎ ‎＝×8·EP＝4×＝－m2＋12m，‎ 即－m2＋12m＝，解得m1＝3，m2＝5，‎ ‎∴P点坐标为或.‎ ‎2．(20分)[2017·内江]如图6－4－2，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A，B两点，点B坐标为(4，0)，抛物线的对称轴方程为x＝1.‎ ‎(1)求抛物线的表达式；‎ 图6－4－2‎ ‎(2)点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；‎ ‎(3)在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】 (1)由点B的坐标与对称轴可求得点A的坐标，把点A，B，C的坐标分别代入抛物线的表达式，列出关于系数a，b，c的方程组，求解即可；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(2)设运动时间为t s，利用三角形的面积公式列出S△MBN与t的函数关系式，用配方法求得最大值；‎ ‎(3)根据余弦函数，可得关于t的方程，解方程，可得答案，注意分类讨论．‎ 解：(1)∵点B坐标为(4，0)，抛物线的对称轴方程为x＝1，‎ ‎∴A(－2，0)．把点A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)，分别代入y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，‎ 得 解得 ‎∴该抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋3.‎ ‎'(2)设运动时间为t s，则AM＝3t，BN＝t，∴MB＝6－3t.‎ 在Rt△BOC中，BC＝＝5.如答图①，过点N作NH⊥AB于点H，‎ ‎∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC，‎ ‎∴＝，即＝，∴HN＝t.‎ ‎∴S△MBN＝MB·HN＝(6－3t)·t＝－t2＋t＝－(t－1)2＋.‎ 当△MBN存在时，0＜t＜2，∴当t＝1时，S最大＝.‎ ‎∴S与t的函数关系为S＝－(t－1)2＋，S的最大值为.‎ ‎ ‎ ① ‎②‎ 第2题答图 ‎(3)如答图②，在Rt△OBC中，cosB＝＝，设运动时间为t s，则AM＝3t，BN＝t.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴MB＝6－3t.当∠MNB＝90°时，cosB＝＝，即＝，解得t＝.‎ 当∠BM′N′＝90°时，cosB＝＝，解得t＝.‎ 综上所述，当t＝或时，△MBN为直角三角形．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎3．(20分)[2017·山西]综合与探究 如图6－4－3，抛物线y＝－x2＋x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连结AC，BC.点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO 以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连结PQ，过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E.连结PD，与BC交于点F.设点P的运动时间为t s(t＞0)．‎ 图6－4－3‎ ‎(1)求直线BC的函数表达式；‎ ‎(2)①直接写出P，D两点的坐标(用含t的代数式表示，结果需化简)；‎ ‎②在点P，Q运动的过程中，当PQ＝PD时，求t的值．‎ ‎(3)试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点．若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】 (1)由函数与方程的关系得到点B，C的坐标，利用待定系数法求直线BC的表达式；‎ ‎(2)①过点P作x轴的垂线段，构造与Rt△AOC相似的直角三角形，利用相似的性质得到与点P的横、纵坐标有关的线段的方程求解；由QD⊥x轴可知点D与点Q的横坐标相同，将点Q的横坐标代入抛物线表达式便得点D的纵坐标；②由等腰三角形的性质找到P，D两点纵坐标的关系建立方程求解；‎ ‎(3)假设存在点F为PD的中点，由中点的特征结合P，D两点的坐标表示出点F的坐标，将其代入直线BC建立方程求得t的值，确定点F的具体坐标．‎ 解：(1)由y＝0，得－x2＋x＋3＝0，‎ 解得x1＝－3，x2＝9，∴点B的坐标为(9，0)，‎ 由x＝0，得y＝3，∴点C的坐标为(0，3)，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 设直线BC的函数表达式为y＝kx＋b，‎ 由B，C两点的坐标得解得，‎ ‎∴直线BC的函数表达式为y＝－x＋3；‎ ‎(2)①P，D；‎ ‎②如答图，过点P作PG⊥x轴于点G，PH⊥QD于点H，‎ 第3题答图 ‎∵QD⊥x轴，∴四边形PGQH是矩形，‎ ‎∴HQ＝PG，‎ ‎∵PQ＝PD，PH⊥QD，∴DQ＝2HQ＝2PG，‎ ‎∵P，D两点的坐标分别为，，‎ ‎∴－t2＋t＝2×t，解得t1＝0(舍去)，t2＝，‎ ‎∴当PQ＝PD时，t的值为；‎ ‎(3)t＝3，F点坐标为.‎ ‎(20分)‎ ‎4．(20分)[2017·淮安]如图6－4－4①，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(4，0)，连结AC，BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t s．连结PQ.‎ ‎(1)填空：b＝____，c＝__4__；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(2)在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；‎ ‎(3)在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；‎ ‎(4)如图②，点N的坐标为，线段PQ的中点为H，连结NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．‎ 图6－4－4‎ ‎【解析】 (1)将A(－3，0)，B(4，0)代入y＝x2＋bx＋c即可求解；‎ ‎(2)若△APQ为直角三角形，则∠APQ＝90°(∠PAQ与∠PQA不可能为直角)．连结QC，则AQ2－AP2＝QC2－PC2＝PQ2，据此列出关于t的方程求解，若t的值满足0≤t≤4，则△APQ可能是直角三角形，否则不可能；‎ ‎(3)①过点P作DE∥x轴，分别过点M，Q作MD⊥DE，QE⊥DE，垂足分别为D，E，构成“一线三直角”全等模型，用含t的式子表示点M的坐标；②将点M的坐标代入二次函数的表达式求解；‎ ‎(4)①分别求直线BC，直线NQ′的函数表达式；②解直线BC，NQ′的函数达式组成的方程组．‎ 解：(1)b＝，c＝4；‎ ‎(2)在点P，Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形．理由如下：如答图①，连结QC.‎ 若△APQ是直角三角形，∵在点P，Q运动过程中，∠PAQ，∠PQA始终为锐角，∴∠APQ＝90°.‎ 由(1)知抛物线的函数表达式为y＝－x2＋x＋4，当 ＝0时，y＝4，‎ ‎∴C(0，4)，∴OC＝4.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵A(－3，0)，∴OA＝3.由题意，得AP＝OQ＝t.‎ ‎∴AQ＝OA＋OQ＝3＋t.‎ 在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC＝＝＝5.‎ ‎∴PC＝5－t.‎ 在Rt△OCQ中，QC2＝OQ2＋OC2＝t2＋42.‎ ‎∵∠APQ＝90°，∴AQ2－AP2＝QC2－PC2＝PQ2.‎ ‎∴(3＋t)2－t2＝t2＋42－(5－t)2，解得t＝4.5.‎ 由题意知0≤t≤4.∴t＝4.5不符合题意，舍去．‎ ‎∴在点P，Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形；‎ ‎ ‎ 第4题答图① 　　　第4题答图②‎ ‎(3)如答图②，过点P作DE∥x轴，分别过点M，Q作MD⊥DE，QE⊥DE，垂足分别为点D，E，MD交x轴于点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，则PG∥y轴，∠D＝∠E＝90°.∴△APG∽△ACO.‎ ‎∴＝＝，即＝＝.∴PG＝t，AG＝t.‎ ‎∴PE＝GQ＝GO＋OQ＝AO－AG＋OQ＝3－t＋t＝3＋t，DF＝PG＝t.‎ ‎∵∠MPQ＝90°，∠D＝90°，‎ ‎∴∠DMP＋∠DPM＝∠EPQ＋∠DPM＝90°.‎ ‎∴∠DMP＝∠EPQ.又∵∠D＝∠E，PM＝PQ，‎ ‎∴△MDP≌△PEQ.∴PD＝EQ＝t，MD＝PE＝3＋t.‎ ‎∴FM＝MD－DF＝3＋t－t＝3－t，‎ OF＝FG＋GO＝PD＋OA－AG＝t＋3－t＝3＋t.‎ ‎∴M.‎ ‎∵点M在x轴下方的抛物线上，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴－3＋t＝－＋＋4，‎ 解得t＝.‎ ‎∵0≤t≤4，∴t＝.‎ 第4题答图③‎ ‎(4)Q′.‎ 提示：如答图③，连结OP，取OP中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC于点Q′.‎ ‎∵点H为PQ的中点，点R为OP的中点，‎ ‎∴RH＝OQ＝t，RH∥OQ.‎ ‎∵A(－3，0)，N，∴点N为OA的中点．‎ 又∵点R为OP的中点，∴NR＝AP＝t，RN∥AC.‎ ‎∴RH＝NR，∴∠RNH＝∠RHN.‎ ‎∵RH∥OQ，∴∠RHN＝∠HNO.‎ ‎∴∠RNH＝∠HNO，即NH是∠QNQ′的平分线．‎ 设直线AC的函数表达式为y＝mx＋n，‎ 把A(－3，0)，C(0，4)代入，得 解得 ‎∴直线AC的函数表达式为y＝x＋4.‎ 同理可求，直线BC的函数表达式为y＝－x＋4.‎ 设直线NR的函数表达式为y＝x＋s，把N代入，得0＝×＋s，解得s＝2.‎ ‎∴直线NR的函数表达式为y＝x＋2.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解方程组得 ‎∴Q′点坐标为.‎ ‎(20分)‎ ‎5．(20分)[2017·枣庄]如图6－4－5，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为(6，0)，点C坐标为(0，6)，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连结BD.‎ ‎(1)求抛物线的表达式及点D的坐标；‎ ‎(2)点F是抛物线上的动点，当∠FBA＝∠BDE时，求点F的坐标；‎ ‎(3)若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．‎ 图6－4－5　 　　　备用图 ‎【解析】 (1)由点B，C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的表达式，再利用配方法将抛物线表达式变形成顶点式即可得出结论；‎ ‎(2)设线段BF与y轴交点为点F′，设点F′的坐标为(0，m)，由相似三角形的判定及性质可得出点F′的坐标，根据点B，F′的坐标利用待定系数法可求出直线BF的表达式，联立直线BF和抛物线的表达式成方程组，解方程组即可求出点F的坐标；‎ ‎(3)设对角线MN，PQ交于点O′.根据抛物线的对称性结合正方形的性质可得出点P，Q的位置，设出点Q的坐标为(2，2n)，由正方形的性质可得出点M 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的坐标为(2－n，n)．由点M在抛物线图象上，即可得出关于n的一元二次方程，解方程可求出n值，代入点Q的坐标即可得出结论．‎ 解：(1)将点B(6，0)，C(0，6)代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得 ‎∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋6.‎ ‎∵y＝－x2＋2x＋6＝－(x－2)2＋8，‎ ‎∴点D的坐标为(2，8)．‎ ‎(2)设线段BF与y轴交点为点F′，设点F′的坐标为(0，m)，如答图①所示．‎ 第5题答图①‎ ‎∵∠F′BO＝∠FBA＝∠BDE，‎ ‎∠F′OB＝∠BED＝90°，‎ ‎∴△F′BO∽△BDE，‎ ‎∴＝.‎ ‎∵B(6，0)，D(2，8)，∴E(2，0)，BE＝6－2＝4，‎ DE＝8－0＝8，OB＝6，‎ ‎∴OF′＝·OB＝3，∴F′(0，3)或(0，－3)．‎ 设直线BF的表达式为y＝kx±3，则有0＝6k＋3或0＝6k－3，解得k＝－或k＝，‎ ‎∴直线BF的表达式为y＝－x＋3或y＝x－3.‎ 联立直线BF与抛物线的表达式，‎ 得或 解得 或(舍去)， 或(舍去)，‎ ‎∴点F的坐标为或.‎ ‎(3)设对角线MN，PQ交于点O′，如答图②所示．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵点M，N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，‎ 第5题答图②‎ ‎∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线对称轴上，‎ 设点Q的坐标为(2，2n)，则点M的坐标为(2－n，n)．‎ ‎∵点M在抛物线y＝－x2＋2x＋6的图象上，‎ ‎∴n＝－(2－n)2＋2(2－n)＋6，即n2＋2n－16＝0，‎ 解得n1＝－1，n2＝－－1.‎ ‎∴点Q的坐标为(2，2－2)或(2，－2－2)．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费