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北京四中初三综合练习
数学 2013.10
班级 姓名 学号
一、选择题：
1．已知，则锐角A的度数是 （ ）
A． B． C． D．
2. 已知△ABC∽△DEF，且AB:DE = 1:2，则△ABC的周长与△DEF的周长之比为 （ ）
A．2:1 B．1:2 C．1:4 D． 4:1
3．用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
4．如图，点F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是 （ ）
A． B．
C． D．
5. 如图，、、三点在正方形网格线的交点处.若将△绕着点逆时针旋转得到△，则的值为( )
A. B. C. D. 1
6．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．设是三个互不相同的正数，如果，那么（ ）
B
x
C
A
O
y
1
1
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－ ，1），点B是
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x轴上的一动点，以AB为边作等边三角形ABC．当点C（x，y）在第一象限内时，下列图象中，可以表示y与x的函数关系的是（ ）
x
O
y
1
1
A
x
O
1
B
1
y
x
1
C
1
y
O
x
O
y
1
1
D
二、填空题： E
D
A
C
B
9．如图，∠DAB＝∠CAE，要使△ABC∽△ADE，则补充的一个条件
可以是 （注：只需写出一个正确答案即可）．
10．.如图，△与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．
11．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 米．
12.在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），A2，那么点A3的纵坐标是 ，点的纵坐标是 ．
三、解答题：
13. 计算：.
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14．计算：－2cos30°＋－︱1－︱
15.解方程：
16. 如图，在△中，、两点分别在、两边上，，，,求的长．
17．已知：如图，在△ABC中，∠A=30°, tanB=，AC=18，
求：BC、AB的长.
18．已知：如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED=∠B．
（1）求证：△ABE∽△DEA；
（2）若AB=4，求的值．
19．如图，一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，在观测点C测得其仰角是，火箭又上升了到达点时，测得其仰角为，求观测点C到发射点O的距离.
(结果精确到.参考数据：，，）.
B
A
C
F
D
E
20．如图, 直角梯形纸片ABCD中, AD∥BC, ∠A=90°, tanC =. 折叠纸片使BC经过点D.点C落在点E处, BF是折痕, 且BF = CF = 8.
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(1) 求∠BDF的度数; (2) 求AB的长.
21．已知：在△中，为锐角，，，，求的长.
22．当时，下列关系式中有且仅有一个正确.
A. B.
C.
（1）正确的选项是 ；
（2）如图1，△中， ，∠＝，，请利用此图证明（1）中的结论；
（3）两块分别含的直角三角板如图2方式放置在同一平面内，=，求.
图1 图2
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23．如图1，已知四边形，点为平面内一动点. 如果，那么我们称点为四边形关于、的等角点.如图2，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，点的横坐标为6.
（1）若、两点的坐标分别为、，当四边形关于、的等角点在边上时，则点的坐标为 ；
（2）若、两点的坐标分别为、，当四边形关于、的等角点在边上时，求点的坐标；
（3）若、两点的坐标分别为、，点为四边形关于、的等角点，其中，，求与之间的关系式.
图1 图2
备用图1 备用图2
24. 已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足 ，连结MC，NC，MN．
（1）填空：与△ABM相似的三角形是△ ，= ；（用含a的代数式表示）
（2）求的度数；
（3）猜想线段BM，DN和MN之间的数量关系并证明你的结论．
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25．（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE//BC，AQ交DE于点P,求证：=
(2)如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG,AF分别交DE于M,N两点。
①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；
②如图3，求证：MN=DM·EN
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综合练习参考答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
D
C
B
C
A
A
二、填空题：
9. 或 或， 10.
11. 5 12. ，
三、 解答题：
13. . 14. 15.
16. 解： 在△和△中，
∵ ， ∴ △∽△.
∴. ∴ .
17. 过C作CH⊥AB于H， BC=15, AB=.
18．（1）利用∠AED=∠B, ∠BAE=∠DEC=∠ADE
(2)16
19．解：设，
在中，，∴.
.
又.
在中，，∴.
解得.
20.解：（1）90º (2) AB=6
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21. 解：过点作⊥于.
在△中，,∵ =，，
∴ =
由勾股定理,可得=.
在△中，,
由勾股定理,可得.
∵
∴ 当两点在异侧时,可得 .
当两点在同侧时,可得 .
∴ 边的长为或.
22. 解：（1）.
（2）如图, 过点作⊥交的延长线于点.
∵ ∠＝，，，∴ .
∴ 在△中，，.
∵ 在△中，，∠＝，
∴ .
过点作⊥于.
∴ 在△中，，.
在△中，，.
∴ .
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∴ .
（3)由上面证明的等式易得.
如图，过点作⊥交的延长线于点.
∵ △和△是两个含的直角三角形，=，
∴ ，，.
∵ .
∴ 在△中，，
.
∴ == =.
23．解：（1）；
（2）依题意可得，,
∴ △∽△. ∴
∵ ∴ .
∴ 点的坐标为.
（3）根据题意可知，不存在点在直线上的情况；
当点不在直线上时，分两种情况讨论：
① 当点在直线的上方时，点在线段的延长线上，此时有；
② 当点在直线的下方时，过点作⊥轴，分别交直线、于、两点.与（2）同理可得 △∽△,.由点的坐标为，可知、两点的坐标分别为、.
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∴ .可得 .
∴ .
综上所述，当，时，与之间的关系式为或.
24. 解：（1）与△ABM相似的三角形是△ NDA ，；
（2）由（1）△ABM∽△NDA可得．
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=DC，DA= BC，．
∴ ．
∵ BM，DN分别平分正方形ABCD的两个外角，
∴ ．
∴ △BCM∽△DNC．
∴ ．
∴
．
（3）线段BM，DN和MN之间的等量关系是．
将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接MF．则△ABF≌△ADN．
∴ ，AF=AN，BF=DN，．
∴ ．
∴ ．
又∵ AM= AM，
∴ △AMF≌△AMN．
∴ MF=MN．
可得 ．
∴ 在Rt△BMF中，．
∴ ．
25. （1）证明：在△ABQ中，由于DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ，
∴DP/BQ＝AP/AQ．
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同理在△ACQ中，EP/CQ＝AP/AQ．
∴DP/BQ＝EP/CQ．
（2） ．
（3）证明：∵∠B＋∠C=90°，∠CEF＋∠C=90°．
∴∠B=∠CEF，
又∵∠BGD=∠EFC，
∴△BGD∽△EFC．
∴DG/CF＝BG/EF，
∴DG·EF＝CF·BG
又∵DG＝GF＝EF，∴GF2＝CF·BG
由（1）得DM/BG＝MN/GF＝EN/CF∴（MN/GF）2＝(DM/BG)·(EN/CF)
∴MN2＝DM·EN
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