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初中数学专项训练：轴对称（一）
一、选择题
1．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为
A．50° B．60° C．70° D．80°
2．如图，正方形地砖的图案是轴对称图形，该图形的对称轴有
A．1条 B．2条 C．4条 D．8条
3．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为
A． B． C．3 D．4
4．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为
A.20 B.18 C.14 D.13
5．下列四种图形都是轴对称图形，其中对称轴条数最多的图形是
A．等边三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
6．点（3，2）关于x轴的对称点为
A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣3）
7．下列图形中,不是轴对称图形的是
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A. B.
C. D.
8．如图，，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么几大白球时，必须保证的度数为【 】
A． B． C． D．
9．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【 】
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为【 】
A．2 B．3 C．4 D．5
11．若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为
A．5 B．7 C．5或7 D．6
12．下列图形：其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为
A．13 B．11 C．10 D．8
13．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是
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A．（0，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3）
14．下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是
A． B． C． D．
15．P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，连接OP1、OP2，则下列结论正确的是
A．OP1⊥OP2 B．OP1=OP2 C．OP1⊥OP2且OP1=OP2 D．OP1≠OP2
16．在下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．角 B．线段 C．等腰三角形 D．平行四边形
17．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为
A、12 B、15 C、 12或15 D、18
18．若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为【 】
A．80° B．50° C．40° D．20°
19．下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是【 】
A． B． C． D．
20．下列四个图形中，不是轴对称图形的是【 】
A． B． C． D．
21．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B． C．
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D．
22．下列学习用具中，不是轴对称图形的是
A． B．C． D．
23．在平行四边形、等腰梯形、等腰三角形、矩形、菱形五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
24．在下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
①线段，②角，③等边三角形，④圆，⑤平行四边形，⑥矩形．
A．③④⑥ B．①③⑥ C．④⑤⑥ D．①④⑥
25．已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为
A．16 B．20或16 C．20 D．12
二、填空题
26．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有 个．
27．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 。
28．等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为 .
29．点A（﹣3，0）关于y轴的对称点的坐标是 ．
30．已知点P（3，2），则点P关于y轴的对称点P1的坐标是 ，点P关于原点O的对称点P2的坐标是 ．
31．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是（﹣1，﹣1）、（0，2）、（2，0），点P在y轴上，且坐标为（0，﹣2）．点P关于点A的对称点为P1，点P1
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关于点B的对称点为P2，点P2关于点C的对称点为P3，点P3关于点A的对称点为P4，点P4关于点B的对称点为P5，点P5关于点C的对称点为P6，点P6关于点A的对称点为P7…，按此规律进行下去，则点P2013的坐标、是 ．
32．在平面直角坐标系中，点P（5，﹣3）关于原点对称的点的坐标是 ．
33．如图，是两块完全一样的含角的三角板，分别记作△ABC和△A1B1C1，现将两块三角板重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角板ABC，使其直角顶点C恰好落在三角板A1B1C1的斜边A1B1上．当∠A30°，AC10时，则此时两直角顶点C、C1的距离是 .
34．若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 ．
35．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 度．
36．如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2，4，5，8，…，顶点依次用表示，其中与x轴、底边与、与、均相距一个单位，则顶点的坐标是 ，的坐标是 ．新 课 标 第 一 网
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37．在等腰三角形中，马彪同学做了如下研究：已知一个角是60°，则另两个角是唯一确定的（60°，60°），已知一个角是90°，则另两个角也是唯一确定的（45°，45°），已知一个角是120°，则另两个角也是唯一确定的（30°，30°）．由此马彪同学得出结论：在等腰三角形中，已知一个角的度数，则另两个角的度数也是唯一确定的．马彪同学的结论是 的．（填“正确”或“错误”）
38．如图，△ACE是以ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7，），则D点的坐标是 ．
39．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度．
40．平面直角坐标系中，点A（2，0）关于y轴对称的点A′的坐标为 ．
41．如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连结AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC=125°，则∠ABC= °；
三、解答题
42．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点。
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（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）。
①作∠DAC的平分线AM。②连接BE并延长交AM于点F。
（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由。
43．小明在做课本“目标与评定”中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？
（1）①请帮小明在图2的画板内画出你的测量方案图（简要说明画法过程）；
②说出该画法依据的定理．
（2）小明在此基础上进行了更深入的探究，想到两个操作：
①在图3的画板内，在直线a与直线b上各取一点，使这两点与直线a、b的交点构成等腰三角形（其中交点为顶角的顶点），画出该等腰三角形在画板内的部分．
②在图3的画板内，作出“直线a、b所成的跑到画板外面去的角”的平分线（在画板内的部分），只要求作出图形，并保留作图痕迹．
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请你帮小明完成上面两个操作过程．（必须要有方案图，所有的线不能画到画板外，只能画在画板内）
44．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=．求CD的长和四边形ABCD的面积．
45．某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
●操作发现：
在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是 （填序号即可）
①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB．
●数学思考：
在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；
●类比探索：
在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．
答： ．
46．如图，在边长为1小正方形组成的10×10网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），四边形ABCD在直线l的左侧，其四个顶点A、B、C、D分别在网格的格点上。
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（1）请你在所给的网格中画出四边形，使四边形和四边形ABCD关于直线l对称，分别是点A、B、C、D的对称点；
（2）在（1）的条件下，结合你画的图形，直接写出线段的长度。
47．作图题：（不要求定和法）如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中，点A、B、C的坐标分别为A（－2，1），B（－4，5），C（－5，2）。
（1）作△ABC关于直线l：x=－1对称的△A1B1C1，其中，点A、B、C的对称点分别为点A1、B1、C1；
（2）写出点A1、B1、C1的坐标。
48．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），B（2，4），C（4，0），D（2，﹣3），E（0，﹣4）．写出D，C，B关于y轴对称点F，G，H的坐标，并画出F，G，H点．顺次而平滑地连接A，B，C，D，E，F，G，H，A各点．观察你画出的图形说明它具有怎样的性质，它象我们熟知的什么图形？
49．在图示的方格纸中
（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；
（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？
50．如图，在正方形网格中，△ABC各顶点都在格点上，点A，C的坐标分别为（﹣5，1）、（﹣1，4），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
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（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；
（3）点C1的坐标是 ；点C2的坐标是 ；过C、C1、C2三点的圆的圆弧的长是 （保留π）．
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初中数学专项训练：轴对称（一）参考答案
1．C
【解析】
试题分析：由题意得，∠AED=180°﹣∠A﹣∠ADE=70°，
∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线。
∴DE∥BC。∴∠C=∠AED=70°。
故选C。
2．C
【解析】
试题分析：根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。因此，由于正方形地砖的图案中间是正八边形，它们都有4条对称轴，且重合。故选C。
3．C
【解析】
试题分析：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴△BAE是等腰三角形。
同理△CAD是等腰三角形。
∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一）。∴PQ是△ADE的中位线。
∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16，∴DE=BE+CD﹣BC=6。
∴PQ=DE=3。故选C。
4．C
【解析】
试题分析：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，
∴根据等腰三角形三线合一的性质得：AD⊥BC，CD=BD=BC=4。
∵点E为AC的中点，
∴根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得：DE=CE=AC=5。
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14。故选C。
5．D
【解析】
试题分析：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，分别判断出各图形的对称轴条数，可得出答案：
A、等边三角形有3条对称轴；
B、矩形有2条对称轴；
C、菱形有2条对称轴；
D、正方形有4条对称轴。
故选D。
6．A
【解析】
试题分析：关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而点（3，2）关于x轴对称的点的坐标是（3，－2）。故选A。
7．C
【解析】
试题分析：根据轴对称图形，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。因此，
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圆、正方形和等边三角形都是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图形，故选C。
8．C。
【解析】要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，必须∠2+∠3=90°，
∵∠3=30°，∴∠2=60°。
∴根据入射角等于反射角，得∠1=∠2=60°。故选C。
9．B。
【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，
A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；X| k |B | 1 . c| O |m
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故选B。
10．D。
【解析】∵∠B=∠C，AB=5，
∴AB=AC=5。
故选D。
11．B
【解析】
试题分析：因为已知长度为3和1两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论：
①当3为底时，其它两边都为1，
∵1+1＜3，∴不能构成三角形，故舍去。
当3为腰时，其它两边为3和1，3、3、1可以构成三角形，周长为7。
故选B。
12．B
【解析】
试题分析：根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，因此第一个图形有1条对称轴，第二个图形有2条对称轴，第三个图形有2条对称轴，第四个图形有6条对称轴，所有轴对称图形的对称轴条数之和为11。故选B。
13．D
【解析】
试题分析：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，
∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），
∴B′点坐标为：（－3，0），AE=4。
∴B′E=4，即B′E=AE。
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∵C′O∥AE，∴B′O=C′O=3。
∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小。
故选D。
14．A
【解析】
试题分析：根据轴对称图形，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。因此，只有选项A符合。故选A。
15．B
【解析】
试题分析：如图，∵点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，
∴OP1=OP2=OP，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2。
∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB。
∵∠AOB度数任意，∴OP1⊥OP2不一定成立。
故选B。
16．B
【解析】
试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，
A．角是是轴对称图形不是中心对称图形；
B．线段既是轴对称图形又是中心对称图形；
C．等腰三角形是轴对称图形不是中心对称图形；
D．平行四边形不是轴对称图形是中心对称图形。
故选B。
17．B
【解析】
试题分析：因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论：
①当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为15；
②当3为腰时，其它两边为3和6，∵3+3=6=6，∴不能构成三角形，故舍去。
综上所述，这个等腰三角形的周长为15。故选B。
18．B。
【解析】∵等腰三角形的顶角为80°，
∴它的底角度数为（180°－80°）=50°。故选B。
19．B。
【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，
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A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
C、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误。
故选B。
20．B。
【解析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。因此，
A、C、D都是是轴对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，符合题意。故选B。
21．D
【解析】
试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，
选项A、C只是轴对称图形，不是中心对称图形；选项B是中心对称图形，不是轴对称轴图形，只有选项D符合。故选D。
22．C
【解析】
试题分析：根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。因此，
A、B、D是轴对称图形，C不是轴对称图形，符合题意。故选C。
23．B
【解析】
试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，
矩形、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
等腰三角形、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意。
故既是轴对称图形又是中心对称图形的是：矩形、菱形。故选B。
24．D
【解析】
试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，
①线段是轴对称图形，也是中心对称图形；
②角是轴对称图形，不是中心对称图形；
③等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
④圆是轴对称图形，也是中心对称图形；
⑤平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；
⑥矩形是轴对称图形，也是中心对称图形。
综上可得既是轴对称图形又是中心对称图形的有：①④⑥。故选D。
25．C
【解析】
试题分析：因为已知长度为4和8两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论：
①当4为底时，其它两边都为8，4、8、8可以构成三角形，周长为20；
②当4为腰时，其它两边为4和8，∵4+4=8，∴不能构成三角形，故舍去。
∴答案只有20。故选C。
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26．8
【解析】
试题分析：作出图形，如图，可知使得△AOP是等腰三角形的点P共有8个。
27．（2，4）或（3，4）或（8，4）。
【解析】当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论：
（1）如图①所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧，
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4。
在Rt△PDE中，由勾股定理得：
，
∴OE=OD－DE=5－3=2。
∴此时点P坐标为（2，4）。
（2）如图②所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧，
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4。
在Rt△PDE中，由勾股定理得：
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∴OE=OD+DE=5+3=8，
∴此时点P坐标为（8，4）。
（3）如图③所示，OP=OD=5。
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4。
在Rt△POE中，由勾股定理得：，
∴此时点P坐标为（3，4）。
综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）。
（当OP=PD时，OP不能满足为5的条件）
28．6和4或5和5。
【解析】当腰是6时，则另两边是4，6，且4+6＞6，满足三边关系定理；
当底边是6时，另两边长是5，5，5+5＞6，满足三边关系定理。
故该等腰三角形的另两边为 6和4或5和5。
29．(3，0)
【解析】
试题分析：关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，从而点A（﹣3，0）关于y轴对称的点的坐标是(3，0)。
30．（－3，2）；（－3，－2）
【解析】
试题分析：关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，从而点P（3，2）关于y轴对称的点P1的坐标是（－3，2）。
关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数，从而点P（3，2）关于原点O对称的点P2的坐标是（－3，－2）。
31．（2，﹣4）
【解析】
试题分析：如图所示，根据对称依次作出对称点，可知点P6与点P重合，
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∴每6次对称为一个循环组循环。
∵2013÷6=335…3，
∴点P2013是第336循环组的第3个点，与点P3重合。
∴点P2013的坐标为（2，﹣4）。
32．（﹣5， 3）
【解析】
试题分析：关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数，从而点P（5，﹣3）关于原点对称的点AO的坐标是（﹣5， 3）。
33．5
【解析】
试题分析：如图，连接C′C，
∵两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M，
∴M是AC、AC′的中点，AC=A′C′。
∵AC=10，∴CM=A′M=C′M=AC=5。
∵∠A=30°，∴∠A′=∠A′CM=30°。∴∠CMC′=60°。
∴△MCC′为等边三角形。∴C′C=CM=5。
34．5。
【解析】∵，∴a－1=0，b－2=0，解得a=1，b=2。
①若a=1是腰长，则底边为2，三角形的三边分别为1、1、2，
∵1+1=2，∴1、1、2不能组成三角形。
②
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若a=2是腰长，则底边为1，三角形的三边分别为2、2、1，能组成三角形，周长=2+2+1=5。
35．108。
【解析】如图，连接OB、OC，w W w .X k b 1.c O m
∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°。
又∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣54°）=63°。
∵DO是AB的垂直平分线，∴OA=OB。
∴∠ABO=∠BAO=27°。∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°。
∵DO是AB的垂直平分线，AO为∠BAC的平分线，
∴点O是△ABC的外心。∴OB=OC。∴∠OCB=∠OBC=36°。
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE。
∴∠COE=∠OCB=36°。
在△OCE中，∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣36°﹣36°=108°。
36．，。
【解析】观察图象，每三个点一圈进行循环，每一圈左端点在第三象限，右端点在第四象限，上端点在y轴正半轴上，因此，根据点的脚标与坐标寻找规律：
∵的纵坐标为，∴。
∵，
∴是第31个正三角形（从里往外）的右端点，在第四象限。
∵的横坐标为：，由题意知，的纵坐标为－1，∴（1，－1）。
容易发现、、、、、，这些点都在第四象限，横纵坐标互为相反数，且当脚标大于2时，横坐标为：点的脚标除以3的整数部分加1，
∴。
37．错误
【解析】
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试题分析：分别把已知角看做等腰三角形的顶角和底角，分两种情况考虑，利用三角形内角和是180度计算即可：
如已知一个角=80°，
当80°为顶角时，另外两个角是底角，它们的度数是相等的，为（180°﹣80°）÷2=50°，
当80°为底角时，另外一个底角也是80°，顶角是180°﹣160°=20°。
∴马彪同学的结论是错误的。
38．（5，0）
【解析】
试题分析：∵点C与点E关于x轴对称，E点的坐标是（7，），
∴C的坐标为（7，）。
∴CH=，CE=，
∵△ACE是以ABCD的对角线AC为边的等边三角形，∴AC=。
∴AH=9。
∵OH=7，∴AO=DH=2。∴OD=5。
∴D点的坐标是（5，0）。
39．15
【解析】
试题分析：根据等边三角形三个角相等的性质，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等的性质即可得出∠E的度数：
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°。
又∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°。
又∵DF=DE，∴∠E=15°。
40．（﹣2，0）
【解析】
试题分析：关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，从而点A（2，0）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，0）。
41．70。
【解析】∵AD⊥BC，∠AOC=125°，∴∠C=∠AOC－∠ADC=125°－90°=35°。
∵D为BC的中点，AD⊥BC。∴OB=OC。
∴∠OBC=∠C=35°。
∵OB平分∠ABC，∴∠A∠=2∠OBC=2×35°=70°。
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考点：三角形的外角性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质。
42．解：（1）作图如下：
（2）AF∥BC且AF=BC理由如下：
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C。∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C。
由作图可知：∠DAC=2∠FAC，
∴∠C=∠FAC。∴AF∥BC。
∵E是AC的中点，∴AE=CE。
∵∠AEF=∠CEB ，∴△AEF≌△CEB （ASA）。∴AF=BC。
【解析】
试题分析：（1）根据题意画出图形即可。
（2）首先根据等腰三角形的性质与三角形外角的性质证明∠C=∠FAC，进而可得AF∥BC；然后再证明△AEF≌△CEB，即可得到AF=BC。
43．解：（1）方法一：
①如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即为直线a，b所成角的度数。
②依据：两直线平行，同位角相等。
方法二：
①如图2，在直线a，b上各取一点A，B，连结AB，测得∠1，∠2的度数，则180°﹣∠1﹣∠2即为直线a，b所成角的度数。
②依据：三角形内角和为180°；
（2）如图3，以P为圆心，任意长为半径画弧，分别交直线b，PC于点B，D，连结BD并延长交直线a于点A，则ABPQ就是所求作的图形。
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（3）如图3，作线段AB的垂直平分线EF，则EF就是所求作的线．
【解析】（1）方法一：利用平行线的性质；方法二：利用三角形内角和定理。
（2）首先作等腰三角形△PBD，然后延长BD交直线a于点A，则ABPQ就是所求作的图形．作图依据是等腰三角形的性质与平行线的性质。
（3）作出线段AB的垂直平分线EF，由等腰三角形的性质可知，EF是顶角的平分线，故EF即为所求作的图形。
44．解：如图，过点D作DH⊥AC，
∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，∴EH=DH。
∵EH2+DH2=ED2，∴EH2=1。∴EH=DH=1。
又∵∠DCE=30°，∴CD=2，HC=。
∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=。∴AB=AE=2。
∴AC=2+1+=3+。
∴S四边形ABCD=×2×（3+）+×1×（3+）=。
【解析】利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得
出CD的长，求出AC，AB的长即可得出四边形ABCD的面积。
45．解：
●操作发现：①②③④。
●数学思考：答：MD=ME，MD⊥ME， 证明如下：
１、MD=ME：
如图，分别取AB，AC的中点F，G，连接DF，MF，MG，EG，
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∵M是BC的中点，∴MF∥AC，MF=AC。
又∵EG是等腰Rt△AEC斜边上的中线，
∴EG⊥AC且EG=AC。
∴MF=EG。
同理可证DF=MG。
∵MF∥AC，∴∠MFA＋∠BAC=1800。
同理可得∠MGA+∠BAC=1800。
∴∠MFA=∠MGA。
又∵EG⊥AC，∴∠EGA=900。
同理可得∠DFA=900。
∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA，即∠DFM=∠MEG。
又MF=EG，DF=MG，∴△DFM≌△MGE（SAS）。∴MD=ME。
2、MD⊥ME：
∵MG∥AB，∴∠MFA+∠FMG=1800。
又∵△DFM≌△MGE，∴∠MEG=∠MDF。
∴∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=1800。
∵∠MFA+∠FMD+∠MDF=900，∴∠DME=90°，即MD⊥ME。
●类比探究：答：等腰直角三解形。
【解析】w W w .x K b 1.c o M
试题分析：（1） 由图形的对称性易知①、②、③都正确，④∠DAB=∠DMB=450也正确。
（2）受图1△DFM≌△MGE的启发，应想到取中点构造全等来证MD=ME，证MD⊥ME就是要证∠DME=900，由△DFM≌△MGE得∠EMG=∠MDF, △DFM中四个角相加为180°，∠FMG可看成三个角的和，通过变形计算可得∠DME=900。
（3）在（2）的基础易知为等腰直角三解形。
46．解：（1）作图如下：
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（2）。
∴△ABC≌△AED（ASA）。∴BC=ED。
【解析】（1）作点A、B、C、D关于1的对称点，连接各点即可。
（2）根据勾股定理，得。
47．解：（1）作图如下：
（2）点A1、B1、C1的坐标分别为：A1（0，1）、B1（2，5）C1（4，2）。
【解析】（1）根据轴对称的性质作图。
（2）根据轴对称的性质定出坐标。
48．解：由题意得，F（﹣2，﹣3），G（﹣4，0），H（﹣2，4），作图如下：
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这个图形关于y轴对称，具有轴对称的性质，它象我们熟知的心形图形
【解析】
试题分析：关于y轴对称的点的坐标的特点是：纵坐标相等，横坐标互为相反数，得出F，G，H的坐标，顺次连接各点即可。
49．解：（1）△A1B1C1如图所示：
（2）向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单位）。
【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于MN的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可。
（2）根据平移的性质结合图形解答。
50．解：（1）△A1B1C1如图所示。
（2）△A2B2C2如图所示。
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（3）（1，4）；（1，﹣4）；
【解析】
试题分析：（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可。
（2）根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可。
（3）根据平面直角坐标系写出点C1、C2的坐标，利用勾股定理求出OC的长，再根据过C、C1、C2三点的圆的圆弧是以CC2为直径的半圆，列式计算即可得解：
根据勾股定理，，
根据直径所对圆周角是直角的性质，过C、C1、C2三点的圆的圆弧是以CC2为直径的半圆，
∴的长=。
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