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4.2 简单线性规划
课后篇巩固探究
A组
1.(2017北京高考)若x,y满足则x+2y的最大值为( )
A.1 B.3 C.5 D.9
解析:由题意画出可行域(如图).
设z=x+2y,则z=x+2y表示斜率为-的一组平行线,当过点C(3,3)时,目标函数取得最大值zmax=3+2×3=9.故选D.
答案:D
2.(2017山东高考)已知x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值是( )
A.-3 B.-1
C.1 D.3
解析:可行域为如图所示阴影部分(包括边界).
把z=x+2y变形为y=-x+z,作直线l0:y=-x并向上平移,当直线过点A时,z取最大值,易求点A的坐标为(-1,2),所以zmax=-1+2×2=3.
答案:D
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3.已知在平面直角坐标系xOy内的区域D由不等式组给定.若M(x,y)为D上的动点,点A的坐标为(,1),则z=的最大值为( )
A.4 B.3 C.4 D.3
解析:画出可行域,而z=x+y,所以y=-x+z.令l0:y=-x,将l0平移到过点(,2)时,截距z有最大值,故zmax=+2=4.
答案:C
4.已知x,y满足则点P(x,y)到直线x+y=-2的距离的最小值为( )
A. B.2 C. D.
解析:不等式组
所表示的可行域如图阴影部分.
其中点P(1,1)到直线的距离最短,其最小值为=2.故选B.
答案:B
5.若点(x,y)位于曲线y=|x-1|与y=2所围成的封闭区域,则2x-y的最小值为 .
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解析:由y=|x-1|=及y=2画出可行域如图阴影部分.
令2x-y=z,则y=2x-z,画直线l0:y=2x并平移到过点A(-1,2)时,-z最大,即zmin=2×(-1)-2=-4.
答案:-4
6.若变量x,y满足约束条件则z=x+2y的最小值为 .
解析:根据得可行域如图,根据z=x+2y得y=-,平移直线y=-,在点M处z取得最小值.
由得
此时zmin=4+2×(-5)=-6.
答案:-6
7.若实数x,y满足则z=3x+2y的最小值为 .
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解析:不等式组所表示的可行域如图阴影部分.
令t=x+2y,则当直线y=-x+t经过原点O(0,0)时,t取最小值,即t的最小值为0,则z=3x+2y的最小值为30=1.
答案:1
8.导学号33194070若实数x,y满足不等式组则(x+2)2+(y+1)2的最小值为 .
解析:画出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分.
表示可行域内的点D(x,y)与定点M(-2,-1)间的距离.显然当点D在点A(1,2)时,|DM|最小,这时|DM|=3,故(x+2)2+(y+1)2的最小值是18.
答案:18
9.已知x,y满足约束条件求z=5x-8y的最大值.
解作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分.
作直线l0:5x-8y=0,平移直线l0,由图可知,当直线平移到经过A点时,z取最大值.解方程组得A(6,0),所以zmax=5×6-8×0=30.
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10.导学号33194071已知-4≤a-b≤-1,-1≤4a-b≤5,求9a-b的取值范围.
解如图所示,令a=x,b=y,z=9a-b,即已知-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,求z=9x-y的取值范围,画出不等式表示的可行域如图阴影部分.
由z=9x-y,得y=9x-z,当直线过点A时,z取最大值,当直线过点B时,z取最小值.
由得A(3,7),
由得B(0,1),
所以zmax=9×3-7=20,zmin=-1,
所以9a-b的取值范围是[-1,20].
B组
1.在约束条件下,目标函数z=x+y的最大值为( )
A. B. C. D.
解析:由z=x+y,得y=-2x+2z.
作出可行域如图阴影部分,平移直线y=-2x+2z,当直线经过点C时,直线y=-2x+2z在y轴上的截距最大,此时z最大.
由解得点C坐标为,代入z=x+y,得z=.
答案:C
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2.已知x,y满足约束条件则(x+3)2+y2的最小值为( )
A. B.2 C.8 D.10
解析:画出可行域(如图).
(x+3)2+y2表示点A(-3,0)与可行域内点(x,y)间距离的平方.显然|AC|长度最小,
所以|AC|2=(0+3)2+(1-0)2=10.
答案:D
3.若关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2.则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析:由线性约束条件可画出如图所示的可行域,要使可行域内存在点P(x0,y0),使x0-2y0=2成立,只需点A(-m,m)在直线x-2y-2=0的下方即可,即-m-2m-2>0,解得mkBD,因为kBD=1,所以a>1,即a的取值范围是(1,+∞).
答案:D
6.导学号33194073设实数x,y满足则z=的取值范围是 .
解析:令k=,则y=kx.因为x≠0,所以k存在,直线y=kx恒过原点,而在可行域中,当直线过边界点(1,2)时,斜率有最大值,k=2;当直线过边界点(3,1)时,斜率有最小值,k=
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,所以斜率k的取值范围是,又z==k+,利用函数单调性的定义可知k∈时,z=k+为减函数;k∈[1,2]时,z=k+为增函数,可得z的取值范围为.
答案:
7.若x,y满足约束条件
(1)求目标函数z=x-y+的最值;
(2)求点P(x,y)到直线y=-x-2的距离的最大值.
解(1)根据约束条件,作出可行域如图,则直线x+y=1,-x+y=1,2x-y=2的交点分别为A(3,4),B(0,1),C(1,0).
平移直线x-y+=0,由图像可知过点A时,z取得最小值,zmin=×3-4+=-2,
过点C时,z取得最大值,zmax==1.
故z的最大值为1,最小值为-2.
(2)由图像可知,所求的最大值即是点A到直线x+y+2=0的距离,则d=.
8.导学号33194074在直角坐标系xOy中,O为坐标原点,点M的横、纵坐标分别为茎叶图中的中位数和众数,若点N(x,y)的坐标满足的最大值.
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解由茎叶图可得中位数为23,众数为23,所以点M为(23,23),
所以=23x+23y.设z=23x+23y,
作出不等式组对应的平面区域如图.
作一平行于z=23x+23y的直线,当直线和圆相切时,z=23x+23y取得最大值.
由圆心到直线的距离d==2,
解得|z|=46.
所以z=46或z=-46(舍去),
故的最大值是46.
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