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由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 山东师大附中2015级高三第一次模拟考试 数学试题（理科）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合要求的.‎ ‎1. 已知集合，集合，则的子集个数为（ ）‎ ‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎2. 计算：（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 下列区间中函数有零点的是（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 设随机变量服从正态分布，，则（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5. 调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过．如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过（　　）小时后才可以驾驶机动车．‎ ‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎6. 如图中的三个直角三角形是一个体积为的几何体的三视图，则该几何体外接球的面积（单位：）等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 某一算法程序框图如图所示，则输出的S的值为（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎8. 设不等式组所表示的区域为，函数的图象与轴所围成的区域为，向内随机投一个点，则该点落在内的概率为（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 用数学归纳法证明时，由不等式成立，推证时，左边应增加的项数是（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 已知函数，将的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变；再把所得的图象向右平移个单位长度，所得的图象关于原点对称，则的一个值是（ ）.‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. “”是“方程有两个负实数根”的（ ）.‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎12. 抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最大值是( )．‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. ‎ ‎13. 已知两个单位向量满足，则的夹角为　 　．‎ ‎14. 若，则展开式中的常数项为 　．‎ ‎15. 已知，则　 　．‎ 16. 已知函数，当时，函数在上均为增函数，则 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的取值范围是 .‎ 三、 解答题：共70分. 解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 第17 ~ 21题为必做题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选做题，考生根据要求作答. ‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 已知等差数列满足．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设等比数列各项均为正数，其前项和，若，求．‎ 18. ‎（本题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形， ‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，分别为，的中点，平面，求直线与平面所成角的大小．‎ 19. ‎（本题满分12分）‎ 自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：‎ 产假安排（单位：周）‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ 有生育意愿家庭数 ‎4‎ ‎8‎ ‎16‎ ‎20‎ ‎26‎ ‎（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？‎ ‎（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．‎ ‎①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；‎ ‎②如果用表示两种方案休假周数之和．求随机变量的分布列及数学期望．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 18. ‎（本题满分12分）‎ 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于两点，直线，分别与轴交于点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）在轴上是否存在点，使得无论非零实数怎样变化，总有为直角？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 19. ‎（本题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）当时，设函数，函数，‎ ‎①若恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎②证明：.‎ （二） 选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答至选做题答题区域，标清题号 . 如果多做，则按所做第一题计分.‎ 22. ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题满分10分）‎ 已知直线的参数方程：（为参数），曲线的参数方程：（为参数），且直线交曲线于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ）将曲线的参数方程化为普通方程，并求时，的长度；‎ ‎（Ⅱ）已知点，求当直线倾斜角变化时，的范围．‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]（本题满分10分）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的定义域；‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式的解集是，求实数的取值范围．‎ ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 参考答案（理科）‎ 一、 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A B B B C A B C D A D 二、 填空题 ‎ 13. 14. 15. 16. ‎ 三、 解答题 ‎17.解：（1）设等差数列的公差为，首项为，‎ ‎∵，∴………………3分 解得………………5分 ‎∴数列的通项公式…………6分 ‎（2）设各项均为正数的等比数列的公比为 ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴b3=4‎ 于是………………8分 解得或（舍）………………10分 ‎∴.……………12分 ‎18. 解：（1）连接，交于点，∵底面是正方形，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴，且为的中点，又∵，，‎ ‎∴平面，由于平面，故，‎ 又∵，故；………………4分 ‎（2）设的中点为，连接，，//，‎ ‎∴为平行四边形，，∵平面，‎ ‎∴平面，∴，的中点为，‎ ‎∴，由平面，又可得，‎ 又∵，，∴平面，‎ ‎∴，又∵，‎ ‎∴平面，由题意，，，两两垂直，以为坐标原点，向量，， 的方向为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，…………8分 ‎，，而为平面的一个法向量，……10分 设直线与平面所成角为，，‎ ‎∴直线与平面所成角为.……………………12分 ‎19.解：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为；……………………2分 当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为 ………………4分 ‎（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有（种），‎ 其和不低于32周的选法有（14，18）、（15，17）、（15，18）、（16，17）、（16，18）、（17，18），共6种，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由古典概型概率计算公式得．………………7分 ‎②由题知随机变量的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．‎ ‎，，‎ ‎，‎ 因而的分布列为 ‎29‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎32‎ ‎33‎ ‎34‎ ‎35‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ ‎0．2‎ ‎0．2‎ ‎0．2‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ ‎……10分 ‎.…12分 ‎20. 解：（1）设椭圆的方程为，‎ 因为椭圆的左焦点为，所以，‎ 设椭圆的右焦点为，已知点在椭圆上，‎ 由椭圆的定义知，‎ 所以，‎ 所以，从而，‎ 所以椭圆的方程为． ………………4分 ‎（2）因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为，‎ 因为直线与椭圆交于两点，，‎ 设点（不妨设），则点，‎ 联立方程组，消去得，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以，，………………6分 所以直线的方程为，‎ 因为直线与轴交于点，‎ 令得，即点，‎ 同理可得点． ………………10分 假设在轴上存在点，使得为直角，则，‎ 即，即． ‎ 解得或． ‎ 故存在点或，无论非零实数怎样变化，‎ 总有为直角．……………………12分 ‎21. 解：（1），令，‎ 当时，解得；当时，解得，‎ 所以当时，函数的单调递增区间是；‎ 当时，函数的单调递增区间是.…………4分 ‎（2）①，由题意得，‎ 因为，‎ 所以当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增；‎ ‎，……………7分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由，得，解得，‎ 所以实数的取值范围是．…………9分 ‎②由（1）知时，在上恒成立，当时等号成立，‎ 时，，令，累加可得 ‎ ，‎ 即 .…………12分 ‎22.解：（Ⅰ）曲线的参数方程：（为参数），曲线的普通方程为．………………2分 当时，直线的方程为，…………3分 代入，可得，∴.‎ ‎∴；……………………5分 ‎（Ⅱ）直线参数方程代入，‎ 得．………………7分 设对应的参数为，‎ ‎∴．…………10分 ‎23. 解：（Ⅰ）由题设知：，‎ 令，解得，这就是两个分界点。把全体实数分成3个区间。‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 不等式的解集是以下不等式组解集的并集：‎ ‎，或，或………………3分 解得函数的定义域为； ………………5分 ‎（Ⅱ）不等式即，‎ 时，恒有，…………………8分 不等式解集是R，‎ 的取值范围是．…………………………10分 ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费