双曲线同步练测（北师大版选修1-1）
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45分钟
100分
一、选择题（本题共7小题，每小题5分，共35分）
1.已知方程的图象是双曲线，那么 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
2.双曲线的左、右焦点分别为是双曲线上一点，满足，直线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
3.过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
4.等轴双曲线与抛物线的准线交于两点，，则双曲线的实轴长等于（ ）
A. B. C.4 D.8
5.已知双曲线的一条渐近线的方程为，则双曲线的焦点到直线的距离为( )
A．2 B. C. D.
6.若直线过点与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
7.方程表示双曲线的充要条件是（ ）
A.或 B.
C. D.
二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）
8.过原点的直线，如果它与双曲线相交，则直线的斜率的取值范围是 .
9.设为双曲线上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是 ．
10.过双曲线的左焦点作垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 .
11.已知双曲线的渐近线与圆有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
三、解答题（本题共3小题，共41分）
12.（本小题满分12分）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在轴上,虚轴长为12，离心率为；
（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为
13.（本小题满分13分）已知双曲线(＞0，＞0)的右焦点为．
（1）若双曲线的一条渐近线方程为且，求双曲线的方程；
（2）以原点为圆心，为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为，过作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率．
14.（本小题满分16分）已知双曲线的离心率，原点到过点的直线的距离是
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线交双曲线于不同的两点，且都在以为圆心的圆上，求的值
一、选择题
1.C 解析：由方程的图象是双曲线知，,即
2.D 解析：设与圆相切于点，因为，所以为等腰三角形，所以.
又因为在直角中，，所以.①
又，②
,③
由①②③解得．
3.C 解析：由题意知，.
当只与双曲线右支相交时，的最小值是通径长，长度为，此时只有一条直线符合条件；
当与双曲线的两支都相交时，的最小值是实轴两顶点间的距离，长度为，无最大值，
结合双曲线的对称性，可得此时有2条直线符合条件.
综上可得，有3条直线符合条件.
4.C 解析：设等轴双曲线的方程为．①
∵ 抛物线，∴ ．∴ 抛物线的准线方程为．
设等轴双曲线与抛物线的准线的两个交点为，
则，∴．
将，代入①，得，∴ .
∴ 等轴双曲线的方程为，即.∴ 双曲线的实轴长为4．
5.C 解析：双曲线的一条渐近线方程为，即.不妨设双曲线的右焦点为,则焦点到直线l的距离为.
6.C 解析：将双曲线化为标准方程为则点(3,0)为双曲线的右顶点.过点(3,0)与x轴垂直的直线满足题意，过点(3,0)与双曲线渐近线平行的两条直线也满足题意，因此这样的直线共有3条.
7.A 解析：方程表示双曲线，当且仅当，∴ 或.反之，当或时，双曲线方程中分母同号，方程表示双曲线.
二、填空题
8. 解析：双曲线的渐近线方程为.若直线l与双曲线相交，则.
9. 解析：设,，则，即，.
将代入双曲线方程，得点的轨迹方程为，即.
10.2 解析：设双曲线的左焦点为右顶点为又因为MN为圆的直径且点A在圆上，所以F为圆的圆心，且所以，即.由，得
11. 解析：由圆化为，得到圆心，半径．
∵ 双曲线的渐近线与圆有交点，
∴ ，∴ ．∴ ．∴ 该双曲线的离心率的取值范围是．
三、解答题
12.解：（1）焦点在轴上，设所求双曲线的标准方程为．
由题意，得解得
所以双曲线的标准方程为．
（2）方法一：当焦点在轴上时，设所求双曲线的标准方程为
由题意，得解得
所以焦点在轴上的双曲线的标准方程为．
同理可求焦点在轴上的双曲线的标准方程为．
方法二：设以为渐近线的双曲线的方程为
当＞时，，解得．此时，所求的双曲线的标准方程为．
当＜时，，解得．此时，所求的双曲线的标准方程为．
13.解：（1）∵ 双曲线的渐近线方程为，
∴ 若双曲线的一条渐近线方程为，可得，解得.
∵ ，∴ .
由此可得双曲线的方程为.
（2）设点的坐标为，可得直线的斜率满足，即.①
∵ 以点为圆心，为半径的圆方程为，
∴ 将①代入圆方程，得，解得，.
将点代入双曲线方程，得.
化简，得.
∵ ，∴ 将代入上式，化简、整理，得.
两边都除以，整理，得，解得或.
∵ 双曲线的离心率，∴ 该双曲线的离心率(负值舍去）.
14.解：（1）因为，原点到直线：的距离
所以故所求双曲线的方程为
（2）把代入中,消去，整理，得.
设的中点是，则
所以即.
又,所以,即
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