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2017-2018学年辽宁省鞍山九年级（上）期末模拟数学试卷
一、选择题（共10题；共30分）
1.如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=35°，则∠ADC=（ ）
A. 35° B. 55° C. 70° D. 110°
2.下列命题中，正确命题的个数为（ ）
（1）三点确定一个圆 （2）平分弦的直径垂直于这条弦
（3）等弧对等弦 （4）直径是圆的对称轴
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4.若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x≤﹣1 B. x≥﹣1 C. x≤1 D. x≥1
5.用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（ ）
A. （x+）2= B. （x-）2=
C. （x-）2= D. （x+）2=
6.一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（ ）
A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根
7.已知一元二次方程的两根分别是2和﹣3，则这个一元二次方程是（ ）
A. x2﹣6x+8=0 B. x2+2x﹣3=0 C. x2﹣x﹣6=0 D. x2+x﹣6=0
8.有一段树干为一直圆柱体，其底面积为9π平方公尺，高为15公尺．若将此树干分为两段圆柱形树干，且体积比为2：1，则体积较大的树干，其侧面的表面积为多少平方公尺？（ ）
A. 60π B. 72π C. 84π D. 96π
9.下列根式中属最简二次根式的是（ ）
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A. B. C. D.
10.下列函数关系式中，表示y是x的反比例函数的是（ ）
A. y= B. y= C. y= D. y=
二、填空题（共8题；共24分）
11.隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为y=— ，一辆车高3m ， 宽4m ， 该车________通过该隧道．(填“能”或“不能”)
12.小华与父母从合肥乘车去无为县米公祠（北宋大书法家米芾故居）参观,车厢里每排有左、中、右三个座位，小华一家三口随意坐某排的三个座位，则小华恰好坐在中间的概率是________ .
13.已知⊙O的半径为8, 圆心O到直线L的距离是6, 则直线L与⊙O的位置关系是________
14.公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式 得到的近似值．他的算法是：先将 看出 ：由近似公式得到 ；再将 看成 ，由近似值公式得到 ；…依此算法，所得 的近似值会越来越精确．当 取得近似值 时，近似公式中的a是________，r是________．
15.一个圆锥的底面半径为2cm，母线长为10cm，则它的侧面展开图的圆心角是________°．
16.计算：6 ﹣（ +1）2=________．
17.计算：=________
18.如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是________．
①EF= OE；②S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；③BE+BF= OA；④在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE= ；⑤OG•BD=AE2+CF2 ．
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三、解答题（共6题；共36分）
19.已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k=0．
（1）若x=1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一根；
（2）对于任意的实数k，判断原方程根的情况，并说明理由．
20.如图1，点I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆⊙O于点D．
（1）求证：DB=DC=DI；
（2）若AB是⊙O的直径，OI⊥AD，求tan的值．
21.已知方程=1的解是a，求关于y的方程y2+ay=0的解．
22.在5×7的方格纸上，任意选出5个小方块涂上颜色，使整个图形（包括着色的“对称”）有：
①1条对称轴；
②2条对称轴；
③4条对称轴．
23.设a,b,c为△ ABC的三边，化简：.
24.直角坐标系第二象限内的点P（x2+2x，3）与另一点Q（x+2，y）关于原点对称，试求x+2y的值．
四、综合题（共10分）
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25.如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿CA以3cm/s的速度向A点运动．设运动时间为x（s）．
（1）当x为何值时，PQ∥BC；
（2）当△APQ与△CQB相似时，AP的长为________．；
（3）当S△BCQ：S△ABC=1：3，求S△APQ：S△ABQ的值．
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参考答案与试题解析
一、选择题
1.【答案】B
【考点】圆周角定理
【解析】【分析】因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°，由内角和定理求得∠B=55°，根据同弧所对的圆周角相等可得∠ADC=55°.
故选B.
2.【答案】A
【考点】垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，确定圆的条件
【解析】【分析】根据与圆有关的基本概念依次分析各小题即可作出判断。
（1)不共线的三点确定一个圆，（2)平分弦（弦不是直径)的直径垂直于这条弦，（4)直径所在的直线是圆的对称轴，故错误；
（3)等弧对等弦，正确；
故选A.
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握与圆有关的基本概念，即可完成。
3.【答案】A
【考点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项正确；
B、是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项错误；
故选A．
【分析】根据中心对称图形的概念结合选项所给的图形即可得出答案．
4.【答案】D
【考点】二次根式有意义的条件
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【解析】【解答】解：由题意得，x﹣1≥0， 解得x≥1．
故选D．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
5.【答案】A
【考点】解一元二次方程-配方法
【解析】【解答】ax2+bx+c=0，
ax2+bx=-c，
x2+x=-，
x2+x+（)2=-+（)2 ，
（x+)2=，
故选：A．
【分析】先移项，把二次项系数化成1，再配方，最后根据完全平方公式得出即可．本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目比较好，难度适中．
6.【答案】B
【考点】根的判别式
【解析】【解答】解：原方程可变形为4x2﹣4x+1=0， ∵在方程4x2﹣4x+1=0中，△=（﹣4）2﹣4×4×1=0，
∴方程4x2+1=4x有两个相等的实数根．
故选B．
【分析】将方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式可得出△=0，由此即可得出结论．
7.【答案】D
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解：设此一元二次方程为x2+px+q=0， ∵二次项系数为1，两根分别为2，﹣3，
∴p=﹣（2﹣3）=1，q=（﹣3）×2=﹣6，
∴这个方程为：x2+x﹣6=0．
故选：D．
【分析】首先设此一元二次方程为x2+px+q=0，由二次项系数为1，两根分别为2，﹣3，根据根与系数的关系可得p=﹣（2﹣3）=1，q=（﹣3）×2=﹣6，继而求得答案．
8.【答案】A
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【考点】圆柱的计算
【解析】【解答】解：∵两段圆柱形树干的体积比为2：1，
∴两段圆柱形树干的柱高比为2：1，
则体积较大的树干柱高为15×=10（公尺），
∵圆柱体的底面积为9π平方公尺，
∴圆柱体的底圆半径为3公尺，
所求=（2×π×3）×10=60π（平方公尺）；
故选：A．
【分析】根据两段圆柱形树干的体积比为2：1，得出两段圆柱形树干的柱高比为2：1，进而得出体积较大的树干柱高，即可得出侧面的表面积．
9.【答案】A
【考点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、无法化简，故本选项正确；
B、=， 故本选项错误；
C、=2故本选项错误；
D、=， 故本选项错误．
故选：A．
【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
10.【答案】C
【考点】反比例函数的定义
【解析】【解答】A、y是x2的反比例函数，故本选项错误；B、y是x的正比例函数，故本选项错误；C、符合反比例函数的定义，故本选项正确；D、y是x的正比例函数，故本选项错误．故选：C．
【分析】依据反比例函数的定义回答即可．
二、填空题
11.【答案】不能
【考点】二次函数的应用
【解析】【解答】根据题意，当函数值等于3时，3=— ，可以解得到 = ， = ， =2 ，故车不能通过.
【分析】本题的关键为把一个变量的值代入后求出另一个变量的值进行比较，从而得出结果.
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12.【答案】
【考点】概率公式
【解析】【解答】共有三个座位，小华有三种坐法；小华恰好坐在中间是其中一种情况；故则小华恰好坐在中间的概率是．
故答案是．
【分析】运用概率公式作答即可。
13.【答案】相交
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】∵⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，
∵3＞2，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是:相交．
【分析】根据圆O的半径和，圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．
14.【答案】或 ；﹣ 或
【考点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：由近似值公式得到 ， ∴a+ = ，
整理得204a2﹣577a+408=0，解得a1= ，a2= ，
当a= 时，r=2﹣a2=﹣ ；
当a= 时，r=2﹣a2= ．
故答案为a= ，r=﹣ 或a= ，r= ．
【分析】根据近似公式得到 ，然后解方程组即可．
15.【答案】72
【考点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°， 根据题意得2π•2= ，
解得n=72，
即圆锥的侧面展开图的圆心角为72°．
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故答案为72．
【分析】设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π•2= ，然后解关于n的方程即可．
16.【答案】-4
【考点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=6× ﹣（3+2 +1）
=2 ﹣4﹣2
=﹣4．
故答案为：﹣4．
【分析】首先化简二次根式，进而利用完全平方公式计算，求出答案．此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握完全平方公式是解题关键．
17.【答案】6
【考点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=（+2）×
=3×
=6．
故答案为6．
【分析】先把化简，然后把括号内合并后进行二次根式的乘法运算即可．
18.【答案】①②③⑤
【考点】相似三角形的性质，相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，
∴∠BOF+∠COF=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠BOF+∠COE=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE和△COF中，
，
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∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，BE=CF，
∴EF= OE；故正确；
②∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC= S正方形ABCD ，
∴S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正确；
③∴BE+BF=BF+CF=BC= OA；故正确；
④过点O作OH⊥BC，
∵BC=1，
∴OH= BC= ，
设AE=x，则BE=CF=1﹣x，BF=x，
∴S△BEF+S△COF= BE•BF+ CF•OH= x（1﹣x）+ （1﹣x）× =﹣ （x﹣ ）2+ ，
∵a=﹣ ＜0，
∴当x= 时，S△BEF+S△COF最大；
即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE= ；故错误；
⑤∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°，
∴△OEG∽△OBE，
∴OE：OB=OG：OE，
∴OG•OB=OE2 ，
∵OB= BD，OE= EF，
∴OG•BD=EF2 ，
∵在△BEF中，EF2=BE2+BF2 ，
∴EF2=AE2+CF2 ，
∴OG•BD=AE2+CF2 ． 故正确．
故答案为：①，②，③，⑤．
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【分析】①由四边形ABCD是正方形，直角∠MPN，易证得△BOE≌△COF（ASA），则可证得结论；②由①易证得S四边形OEBF=S△BOC= S正方形ABCD ， 则可证得结论；③由BE=CF，可得BE+BF=BC，然后由等腰直角三角形的性质，证得BE+BF= OA；④首先设AE=x，则BE=CF=1﹣x，BF=x，继而表示出△BEF与△COF的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得答案；⑤易证得△OEG∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得OG•OB=OE2 ， 再利用OB与BD的关系，OE与EF的关系，即可证得结论．此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题．注意掌握转化思想的应用是解此题的关键．
三、解答题
19.【答案】解：（1）∵x=1是方程x2﹣（k+2）x+2k=0的一个根，
∴1﹣（k+2）×1+2k=0，
解得k=1，
∴原方程为x2﹣3x+2=0，
解得x1=1，x2=2，
∴原方程的另一根为x=2；
（2）对于任意的实数k，原方程总有两个实数根．理由如下：
∵△=（k+2）2﹣4×2k=k2﹣4k+4=（k﹣2）2≥0，
∴对于任意的实数k，原方程总有两个实数根．
【考点】一元二次方程的解，根的判别式
【解析】【分析】（1）把x=1代入方程得到关于k的方程，求出k的值，再把k的值代入原方程，然后利用因式分解法解方程求出方程的另一根；
（2）计算判别式得到△=（k+2）2﹣4×2k=k2﹣4k+4=（k﹣2）2 ， 根据非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
20.【答案】（1）证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBD=∠CAD，
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∴∠BAD=∠CBD，
∴∠BID=∠ABI+∠BAD，
∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴ID=BD，
∵∠BAD=∠CAD，
∴，
∴CD=BD，
∴DB=DC=DI；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴BD⊥AD，OI⊥AD，
∴OI∥BD，
∵OA=OB，
∴AI=DI，
由（1）知ID=BD，
∴AD=2BD，BD=2OI，
设OI=x，则BD=AI=2x，AD=4x，
∴AB==2x，
如图2，过O作OE⊥BD交⊙O于E，连接AE交OI于F，则OE∥AI，
∴，
即，
∴IF=x，
∵OE⊥BD，
∴，
∴∠DAE=∠BAD=∠CAD，
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∴tan∠DAE=tan==﹣2．
【考点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）要证明ID=BD=DC，只要求得∠BID=∠IBD，再根据角平分线的性质即可得到结论；
（2）由AB是⊙O的直径，得到BD⊥AD，由于OI⊥AD，得到OI∥BD，于是求得AD=2BD，BD=2OI，设OI=x，则BD=AI=2x，AD=4x，得到AB==2x，如图2，过O作OE⊥BD交⊙O于E，连接AE交OI于F，则OE∥AI，得到比例式代入求得IF=x，即可得到结果．
21.【答案】解：把方程=1两边乘以x﹣1，得x﹣1=1，
解得x=2，经检验x=2是原方程的解，
∴a=2
把a=2代y2+ay=0的得y2+2y=0，
y（y+2）=0，
∴y1=0，y2=﹣2．
【考点】解一元二次方程-因式分解法
【解析】【分析】先解分式方程确定a的值为2，再把a=2代y2+ay=0的得y2+2y=0，然后利用因式分解法解此方程．
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22.【答案】解：①如图1所示： ②如图2所示：
③如图3所示：
【考点】利用轴对称设计图案
【解析】【分析】①直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案；②直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案；③直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．
23.【答案】【解答】由三角形三边关系(两边之和大于第三边），
原式=a+b+c+b+c-a+a+c-b+a+b-c=2(a+b+c)．
【考点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】由三角形的三边关系得出根式内开方后的结果，正确化简二次根式，是学习二次根式的要领。
24.【答案】解：根据题意，得
（x2+2x）+（x+2）=0，y=﹣3．∴x1=﹣1，x2=﹣2（不符合题意，舍）．
∴x=﹣1，y=﹣3
∴x+2y=﹣7．
【考点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得x、y的值，根据有理数的运算，可得答案．
四、综合题
25.【答案】（1）解：由题意得，PQ平行于BC，则AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30﹣3x
∴ =
∴x= ；
（2）
cm或20cm
（3）解：当S△BCQ：S△ABC=1：3时， = ，
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∴ ，
由（1）知，PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴ ，
∴S△APQ：S△ABQ=2．
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解： （2）假设两三角形可以相似，
情况1：当△APQ∽△CQB时，CQ：AP=BC：AQ，
即有 = 解得x= ，
经检验，x= 是原分式方程的解．
此时AP= cm，
情况2：当△APQ∽△CBQ时，CQ：AQ=BC：AP，
即有 = 解得x=5，
经检验，x=5是原分式方程的解．
此时AP=20cm．
综上所述，AP= cm或AP=20cm；
故答案为： cm或20cm；
【分析】（1）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．（2）本题要分两种情况进行讨论．已知了∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值；（3）当S△BCQ：S△ABC=1：3时， = ，于是得到 ，通过相似三角形的性质得到 ，即可得到结论．
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