清华附中初三月考试卷
数学
（清华附中初11级）2013年10月
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．下面四张扑克牌中，图案属于中心对称的是（ ）B
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
2．若是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ）A
A. B. C. D.
3．下列计算中，正确的是（ ）B
A. B.
C. D.
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=30º，
则∠ACB的大小为（ ）D
C
B
A
O
A．50º B．45º
C．30º D．60º
5．下列一元二次方程中没有实数根的是（ ）D
A． B．
C． D．
6．已知点的坐标为，为坐标原点，连结，将线段绕点按逆时针方向旋转90°得，则点的坐标为（ ）A
A． B． C． D．
7．如图，每个正方形网格的边长为1个单位长度，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△（顶点均在格点上），若它们是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是（ ）C
A． B．
C． D．
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8．如图，AC、BD为圆O的两条垂直的直径，动点P从圆心O出发，沿线段--线段的路线作匀速运动．设运动时间为秒，∠APB的度数为y度，则下列图象中表示y与t的函数关系最恰当的是（ ）C
二、填空题（每小题4分，共16分）
9．函数中，自变量的取值范围是 ．
10．关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为 ．
11．如图，在△ABC中，DEAB分别交AC，BC于
点D，E，若AD=2，CD=3，则△CDE与△CAB
的周长比为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-4,0)，B(0,3)，对△AOB连续作旋转变换，依次得到三角形(1)、(2)、(3)、(4)、…，则第(7)个三角形的直角顶点的坐标是 ；第(2013)个三角形的直角顶点的坐标是 ．
（第12题）
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初11级初三月考数学答案
一、选择题（每小题4分，共32分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
D
D
A
C
C
二、填空题（每小题4分，共16分）
题号
9
10
11
12
答案
3:5
(24,0)
(8052,0)
三、解答题（每小题5分，共30分）
13．计算：．
解：原式=………………………4分
=………………………………5分
14．解方程：．
解法一：因式分解，得
………………..…2分
于是得 或
……………………...5分
解法二：
………………..…2分
………….4分
……….…………..…5分
15．如图，在中，AB是的直径，与AC交于点D，求的度数．
解：在中，,
.………………..………………….2分
是⊙的直径，⊙与AC交于点D,
∴…………………………5分
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16．已知，，求的值.
解：，………………..……….2分
所以，………………..………...3分
原式
………………..……………………………...2分
E
C
B
A
D
17．如图，等腰直角△ABC绕直角顶点A按逆时针方向旋转60°后得到△ADE，且BC=2，求EC的长．
解：△ABC是等腰直角三角形，且斜边BC=2，
∴AC=，………………..………………………...1分
△ADE是由△ABC绕A旋转60°得到，
∴，，………………..……...3分
∴为等边三角形，………………..…………..4分
∴CE=AC=．………………..…………………....5分
18．如图，有一块矩形纸板，长为20cm，宽为14cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分沿虚线折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为160cm2，那么纸板各角应切去边长为多大的正方形？
解：设切去的小正方形边长为x.cm，………………..…..…..1分
则 ，…………..…………..…..…....2分
整理得 ，
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解得 （不合题意，舍去），….............4分
答：纸板各角应切去边长为2cm的正方形．………....5分
四、解答题（每小题5分，共20分）
19．已知a,b为实数，且，求的值．
解：，
∴，………………..…..…..………...…1分
根据二次根式的性质可得：，……2分
∴
∴………………..….……….………..…………......4分
∴=………..…………....5分
20．已知关于x的一元二次方程.
（1）若此方程有实数根，求m的取值范围；
（2）若x=－1是这个方程的一个根，求的值．
解：（1）此方程有实数根，
∴
………..……….…….……......1分
∴…….………..…………….………..…......3分
（2）把x=－1代入原方程，得：
，………..…………..4分
化简得：，
∴...……....5分
21．已知：如图，在△ABC中，AB=AC= 5，BC= 8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE=∠C．
（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）若CD=2，求BE的长．
（1）证明：∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C．………………..…..…..…..…1分
∵ ∠ADE+∠BDE=∠ADB =∠C+∠CAD，
且∠ADE=∠C，
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∴ ∠BDE =∠CAD．………………..…..…2分
∴ △BDE∽△CAD．………………..….…3分
（2）解：由（1）得．……………….….….…4分
∵ AB=AC= 5，BC= 8，CD=2，
∴ ．
∴ ．……………..…..5分
22．如图，已知点C、D在以O为圆心，AB为直径的半圆上，且于点M，CF⊥AB于点F交BD于点E，,．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：CE = BE．
解：（1）∵为直径，∴，
∵，∴为的中点，….…..1分
设半径为r，则OM＝OC－CM＝r－2
∴在中，，
∴，解得，∴半径为5；………..……..3分
（2）（方法一）易证(AAS)，
∴OF=OM，又OB=OC
∴OB-OF=OC-OM，即BF=CM
再证(AAS或ASA)，
∴CE = BE．………..…………………………..…….….….…..5分
（方法二）连结BC，易证(AAS)，
∴，
又OB=OC，∴，
∴，
∴CE = BE．………..…………………………..…….….….…..5分
五、解答题（第23、24小题各7分，第25小题8分，共22分）
23．已知关于的一元二次方程.
（1）若是该方程的一个根，求的值；
（2）无论取任何值，该方程的根不可能为，写出
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的值，并证明；
（3）若为正整数，且该方程存在正整数解，求所有正整数的值．
解：（1），…………………..…………1分
解得. ..…………………………………..….2分
（2） ………………………………3分
把代入，，
，当时，无论取何值，此等式均不成立.
无论取任何值，该方程的根不可能为.…………4分
（3）,记，为正整数；
由于为非负数，且，且与奇偶性相同，
所以 或
解得：或……………………………………6分
经验证，当或时正整数数，符合题………7分
（注：两个答案全部猜对且无其他答案可给结论分1分.）
24．在△中，，，把线段绕点逆时针旋转至；如图所示位置有，．
（1）若，则 度；若，则
（用表示）；
（2）求证：△为等边三角形；
（3）四边形的面积为1，求△的面积．
解：（1）15；………2分
证明：连结，
∵ ，
∴ △为等边三角形.
∴
∵
∴
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,
∴
(2) ∵ △为等边三角形，∴ ，，
在△与△中
∴ △≌△
∴
，
又∵
∴ △≌△
∴ ,
∴ △为等边三角形.…………………………………5分
(3) ∵ △≌△
∴
易证：
而
（注：作高与利用正弦型面积公式均可）
∴
∴ .……………………………………..7分
25．点在图形上, 点在图形上,记为线段长度的最大值，为线段长度的最小值，图形的平均距离=．
（1）在平面直角坐标系中，⊙是以为圆心，2
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的半径的圆，且，，求⊙及⊙；(直接写出答案即可)
（2）半径为1的⊙的圆心与坐标原点重合，直线与轴交于点，与轴交于点，记线段为图形，求⊙；
（3）在（2）的条件下，如果⊙的圆心从原点沿轴向右移动，⊙的半径不变，且⊙=，求圆心的横坐标．
解：
（1）⊙=2，……………………………….…1分
⊙=4 ………………………………….…2分
（2）⊙=5，
⊙=1，……………………………..…4分
（求对1个给一分，对于圆外一点到圆上的一点的距离的最大值与最小值要求有说理或画图解释，点到直线上一点的距离的最小值为该点到垂足的距离，要求有说理或画图解释。
两个答案均正确，但是没有理论依据或理论依据有较严重错误，得1分；只有一个答案正确，且没有没有理论依据或理论依据有较严重错误，得0分；）
⊙=3，…………………………………….5分
（3）设点的横坐标为，
当时，线段与圆无公共点，圆心离点D远，
解得：
当时，线段与圆无公共点，圆心离点F远，
解得：（舍）
当时，线段与圆有公共点，
，（舍负）
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当时，⊙>5，不符合题意舍去.
综上：点的横坐标为或………………………….…8分
（第一种和第三种情况各1分，第二种和第四种情况共1分）
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