无锡市滨湖区2013-2014学年第一学期期中考试
初三数学试卷 2013.11
说明：本试卷满分130分，考试时间：120分钟
一、精心选一选：(本大题共10题，每小题3分，满分30分．）
1．要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是 （ ）
A．x≥1 B．x －1 C．x≥－1 D．x1
2．下列式子中，是最简二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
3．用配方法解方程时，原方程应变形为 （ ）
A． B． C． D．
4．若一元二次方程x2+x－2=0的解为x1、x2，则x1•x2的值是 （ ）
A．1 B．—1 C．2 D．—2
5．若一组数据1、2、3、x的极差是6，则x的值为 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．7或—3
6．目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为，则下面列出的方程中正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
第8题
7．顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（ ）
A．菱形 B．矩形
C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形
8．有下列说法：①弦是直径 ②半圆是弧 ③圆中最长的弦是直径 ④半圆是圆中最长的弧 ⑤平分弦的直径垂直于弦，其中正确的个数有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第9题
9. 如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于
D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一
定成立的是 ( )
A．BD⊥AC B．AC2=2AB·AE
C．BC＝2AD D．△ADE是等腰三角形
第10题
10．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边作正方形BCDE，
设正方形的中心为O，连结AO，如果AB＝3，AO＝，
那么AC的长等于 （ ）
A．12 B．7 C． D．
二、细心填一填：（本大题共8小题，共8空，每空2分，共16分．）
11．将一元二次方程2x(x－3)＝1化成一般形式为 .
12．若最简二次根式与是同类二次根式，则＝ ．
13．已知关于x的一元二次方程有一个解是0，则m= ．
14．梯形的中位线为8cm，高为3 cm，则此梯形的面积为___________ cm．
15．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1和3，则正方形的边长是 ．
16．已知弦AB的长等于⊙O的半径，弦AB所对的圆心角是__________．
17．如图，数轴上半径为1的⊙O从原点O开始以每秒1个单位的速度向右运动，同时，距原点右边7个单位有一点P以每秒2个单位的速度向左运动，经过 秒后，点P在⊙O上．
第18题
第17题
第15题
18．如图，用3个边长为1的正方形组成一个轴对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为 ．
班级 姓名 学号 .
……………………………………………………………装……………订……………线…………………………………………………………
三、解答题(本大题共84分)
19．计算：(每小题4分，共12分)
(1) （2） （3）
20．解方程：(每小题4分，共12分)
(1) 2x2=5x （2）m2＋3m－1＝0 （3）9(x＋1)2－(x－2)2＝0
21．（本题6分）当a=时，求的值．
22． (本题6分) 已知关于x的方程．
（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）当=3时，△ABC的每条边长恰好都是方程的根，求△ABC的周长．
选手编号
5号
4号
3号
2号
1号
70
75
80
85
90
95
100
分数
甲班
乙班
23. (本题6分)某中学开展“中国梦、我的梦”演讲比赛，甲、乙两班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩(满分为100分)如下图所示．
（1）根据下图，分别求出两班复赛的平 均成绩和方差；
（2）根据（1）的计算结果，分析哪个班级的复赛成绩较好？
24． (本题6分)如图，点E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．
（1） 求证：四边形AECF是平行四边形；
（2） 若AE=BE，∠BAC＝90°，试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
(第24题)
25．（本题8分）“惠民”经销店为某工厂代销一种工业原料（代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨；该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨工业原料共需支付厂家及其它费用100元．
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）若在“薄利多销、让利于民”的原则下，当每吨原料售价为多少时，该店的月利润为9000元；
（3）每吨原料售价为多少时，该店的月利润最大，求出最大利润．
班级 姓名 学号 .
……………………………………………………………装……………订……………线…………………………………………………………
26．（本题8分）如图，⊙O的弦AB=8,直径CD⊥AB于M，OM ：MD =3 ：2， E是劣弧CB上一点，连结CE并延长交CE的延长线于点F．
求：（1）⊙O的半径；
（2）求CE·CF的值．
(第26题)
27．问题背景: （本题8分）
如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．
第27题(c)
第27题(b)
第27题(a)
实践运用：
如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD = 30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，求：PA+ PB的最小值，并写出解答过程．
知识拓展：
如图(c)，在菱形ABCD中，AB = 10，∠DAB= 60°，P是对角线AC上一动点，E、F分别是线段AB和BC上的动点，则PE +PF的最小值是 ．（直接写出答案）
28．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边长为AO=6，AC=8；
（1）如图①，E是OB的中点，将△AOE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形AOBC内部，延长AF交BC于点G．求点G的坐标；
（2）定义：若以不在同一直线上的三点中的一点为圆心的圆恰好过另外两个点，这样的圆叫做黄金圆．如图②，动点P以每秒2个单位的速度由点C向点A沿线段CA运动，同时点Q以每秒4个单位的速度由点O向点C沿线段OC运动；求：当 PQC三点恰好构成黄金圆时点P的坐标．
第27题②
第27题①
备用图
备用图
2013～2014学年秋学期期中试卷参考答案及评分标准 2013.11
初三数学
一、精心选一选：(本大题共10题，每小题3分，满分30分．）
1. C 2. B 3. A 4. D 5. D 6. B 7. C 8. B 9. C 10. B
二、细心填一填：（本大题共8小题，共8空，每空2分，共16分．）
11. 12. a =4 13. m=—1 14. 24
15. 16. 60° 17. 2或 （答对一个得1分） 18.
三、解答题(共84分) （其他解法请酌情给分．）
19．计算(每小题4分共12分)
(1) 解：原式= (2分 )
= （4分）
(2) 解：原式 = (2分)
= 9—3
= 6 （4分）
(3) 解：原式= （2分）
= （4分）
20．解方程：(每小题4分共12分)
(1) 解：由题意得：； （2分）
（4分）
(2) 解：由题意得：D=；（2分）
（4分）
(3) 解：由题意得：9(x＋1)2－(x－2)2＝0；
即：； （2分）
（4分）
21． （本题6分）
解：
= （2分）
= ； （4分）
当时；
原式=
= （6分）
22． (本题6分)
(1) 证明：D =
=
=； （2分）
\无论k取什么实数值，这个方程总有实数根．(3分）
(2) 当时，原方程即为；
因DABC的每条边恰好都是的根，
\DABC的周长为(2+2+1)=5． (5分)
周长是5、3、6. （6分）
23. (本题6分)
(1) 解：由题意得：甲班均分=(分)；
乙班均分=(分)；（2分）
甲班方差
乙班方差（5分）
(2) 解：两班的平均成绩相同，但甲班成绩的稳定性更好，因此甲班的复赛成绩较好．（6分）
24． (本题满分6分)
(1) 证明：在平行四边形ABCD中，AD//BC且AD=BC，（1分）
因BE=DF，所以AF=CE
\AF=CE且AF//CE
\四边形AECF是平行四边形．（3分）
(2) 猜想： 四边形AECF是菱形 （4分）
证明：∵AE=BE，\ÐEAB=ÐEBA
∵ÐBAC=900，\ÐCBA+ÐBCA=Ð=900．
\ÐEAC=ÐBAC
\AE=BE=CE （5分）
\四边形AECF是菱形． （6分）
25． （本题8分）
(1) 当每吨的售价为240元时，月销售量= (吨)（1分）
(2) 设当每吨原料售价为x元时，该店的月利润为9000元．
由题意得：,
整理后：．
．
当每吨原料售价为200元，该店的月利润为9000元． （4分）
(3) 当每吨原料售价为x元时，
月利润=
= ． （6分）
因为£0，当=210时，月利润最大，为9075元． （7分）
26． （本题8分）
(1) 解：连接AD，∵OM : MD=3:2，设OM=3 k，MD=2 k (k >0)，由勾股定理可知：
k=1 ． （2分）
\圆O的半径为5 ． (3分)
(2) 由垂径定理可知：ÐAEC=ÐCAF，又∵ÐACF=ÐACF，
\DACE∽DFCA，AC2=CE×CF，( 6分 )
AC2=AM2+CM2=16+64=80
\CE×CF=80 （8分）
27．问题背景: （本题8分）
(1) 过点B作CD的垂线交CD于E点，交圆O于B1点，连接AB1，当P点为AB1与CD的交点时，AP+BP的值最小．过A点作CD的垂线交CD于F点，交圆O于H点，过B1
作AH的垂线交AH于G点．
由垂径定理可知：BP=B1P;
∵ÐACD=300，B为弧AD的中点，
\OE=, OF=1．
\EF=B1G=,又由于AG=AF+FG=,
AB12=AG2+B1G2=．
\AB1=,即AP+BP的最小值为．（5分）
(2) （8分）
28.（本题12分）
(1) 连接EG，由题意得：DAOE≌DAFE，\ÐEFG=ÐOBC=900，
又∵E是OB的中点，\EG=EG，EF=EB=4．
DEFG≌DEBG．
ÐFEG=ÐBEG，ÐAOB=ÐAEG=900，
DAOE∽DAEG，AE2=AO×AG，
即36+16=6×AG，AG=，易得CG=，BG=．
G的坐标为(8，) ． （5分）
(2) 设运动的时间为t秒，
当点C为好圆的圆心时，则CQ=CP，
即：2t=10—4t，得到t=，此时CP=，AP=，
P点坐标为． （7分）
当点P为好圆的圆心时，则PC=PQ，
过点Q作AC的垂线交AC于点E，CQ=10—4t，CP=2t．
由三角形相似可知：EQ=CQ=，
PE=，
则，化简得：，
(舍去) ．
此时，AP=，P点坐标为． （9分）
当点Q为好圆的圆心时，则QC=PQ，过点Q作AC的垂线交AC于点F，CQ=10—4t，CP=2t，由三角形相似可知：
QF=，
PF=．
则 ，整理得．
(舍去) ．
此时，AP=,P点坐标为． （11分）
综上所述，P点坐标为，，． （12分）
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