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2017-2018学年天津市滨海新区九年级（上）期末模拟数学试卷
一、选择题（共10题；共30分）
1.有一拱桥的桥拱是抛物线形， 其表达式是Y=-0.25x2,当桥下水面宽为12米时，水面到拱桥拱顶的距离为（ ）
A. 3米 B. 2 米 C. 4 米 D. 9米
2.在⊙O中，将圆心绕着圆周上一点A旋转一定角度θ，使旋转后的圆心落在⊙O上，则θ的值可以是（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
3.如图，已知∠1=∠2，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A. = B. = C. ∠B=∠ADE D. ∠C=∠E
4.若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＜1 B. k＞1 C. k=1 D. k≥0
5. 如图，点A是双曲线在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线上运动，则k的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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6.矩形相邻两边长分别为， ， 则它的周长和面积分别是（ ）
A. ， 4 B. 2， 4 C. 4，3 D. 6， 4
7.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=100°，则∠A的度数为（ ）
A. 40° B. 50° C. 80° D. 100°
8.把方程x2-8x+3=0化成(x+m)2=n的形式，则m、n的值是（ ）
A. 4，13 B. -4，19 C. -4，13 D. 4，19
9.2016年4月14日，永远的科比狂砍60分完美谢幕，打破NBA球员退役战得分纪录，成为NBA历史单场60+年纪最大的球员，其中罚球12罚10中，命中率大约是83.3%，下列说法错误的是（ ）
A. 科比罚球投篮12次，不一定全部命中 B. 科比罚球投篮120次，一定命中100次
C. 科比罚球投篮1次，命中的可能性较大 D. 科比罚球投篮1次，不命中的可能性较小
10.若关于x的方程x2﹣2x+m=0没有实数根，则m的取值范围是 （ ）
A. m＞1 B. m＜1 C. m≥1 D. m=0
二、填空题（共8题；共24分）
11.如图，平行四边形ABCD的顶点A、C在双曲线y1=﹣ 上，B、D在双曲线y2= 上，k1=2k2（k1＞0），AB∥y轴，S▱ABCD=24，则k1=________．
12. 已知：如同，△ABC内接于⊙O，且半径OC⊥AB，点D在半径OB的延长线上，且∠A=∠BCD=30°，AC=2，则由 ，线段CD和线段BD所围成图形的阴影部分的面积为________．
13.是整数，则最小的正整数a的值是________。
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14.所有的黄金矩形都是________．
15.在一个不透明的袋子里装有黄色、白色乒乓球共40个,除颜色外其他完全相同．从这个袋子中随机摸出一球,放回．通过多次摸球实验后发现,摸到黄色球的概率稳定在15%附近,则袋中黄色球可能有________ 个．
16.如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，直线l经过C，且l∥AB，P为l上一个动点，若△ABC与△PAC相似，则PC=________
17.把三张形状、大小均相同但画面不同的风景图片都按同样的方式剪成相同的两片，然后堆放到一起混合洗匀，背面朝上，从这堆图片中随机抽出两张，这两张图片恰好能组成一张原风景图片的概率是________．
18.如图有四张不透明卡片，分别写有实数-,,,， 除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中任取一张卡片，取到的数是无理数的可能性大小是 ________
三、解答题（共6题；共36分）
19.若关于x的二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m=4的常数项为0，求m的值．
20.如图，△ABC绕顶点A顺时针旋转35°至△ADE ， ∠B=40°，∠DAC=55°．求∠E的度数．
21.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点．
（1）求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式．
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形，求点P的坐标．
（3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P
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的坐标．
22.如图，某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑.希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑.
(1)写出所有选购方案(利用树状图或列表方法表示）；
(2)如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？
(3)现知希望中学用10万元购买甲、乙两种品牌电脑共36台(价格如图所示)，其中甲品牌电脑为A型号电脑，求购买的A型号电脑有多少台？
23.如图，在直角坐标系中，Rt△ABC位于第一象限，两条直角边AC、AB分别平行于x轴、y轴，点A的坐标为（1，1），AB=2，AC=3．
（1）求BC边所在直线的解析式；
（2）若反比例函数y=(x>0)的图象经过点A，求m的值；
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（3）若反比例函数y=(x>0)的图象与△ABC有公共点，请直接写出n的取值范围．
24.已知：AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，AB=4，CD=6，BC=14，点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PB的长？
四、综合题（共10分）
25.如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；
（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标．
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参考答案与试题解析
一、选择题
1.【答案】D
【考点】二次函数的应用
【解析】【解答】y=—0.25 为开口向下顶点为原点，对称轴为y轴的抛物线，由题意的水宽12米时，水面到拱桥拱顶的距离为横坐标为6和—6的函数值，故y=—0.25 =—9 所以高为9米.
【分析】本题考查实际问题与二次函数的联系.
2.【答案】C
【考点】旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由旋转的性质可知：AO=AO′，
∴OO′=OA=AO′，
∴△OAO′为等边三角形．
∴θ=∠OAO′=60°．
故选：C．
【分析】首先依据题意画出图形，然后依据等边三角形的性质进行判断即可．
3.【答案】A
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴∠DAE=∠BAC，
A、添加=， 无法判定△ABC∽△ADE，故本选项正确；
B、添加=， 可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；
C、添加∠B=∠ADE，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；
D、添加∠C=∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；
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故选：A
【分析】证出∠DAE=∠BAC，由相似三角形的判定方法即可得出结果．
4.【答案】A
【考点】根的判别式
【解析】【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了．
【解答】∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，a=1，b=2，c=k，
∴△=b2-4ac=22-4×1×k＞0，
∴k＜1，
故选：A．
【点评】此题主要考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
5.【答案】B
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，
连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，
∴CO⊥AB，∠CAB=30°，
则∠AOD+∠COE=90°，
∵∠DAO+∠AOD=90°，
∴∠DAO=∠COE，
又∵∠ADO=∠CEO=90°，
∴△AOD∽△OCE，
∴===tan60°=，则=3，
∵点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点，
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∴|xy|=AD•DO=×6=3，
∴k=EC×EO=1，
则EC×EO=2．
故选：B．
【分析】根据题意得出△AOD∽△OCE，进而得出==，即可得出k=EC×EO=2．
6.【答案】D
【考点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：因为矩形相邻两边长分别为， ，
所以它的周长是：
面积分别是：，
故选D．
【分析】根据矩形的周长和面积公式计算即可．
7.【答案】B
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=100°， ∴∠A= ∠B0C=50°．
故选B．
【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得∠BOC=2∠A，进而可得答案．
8.【答案】C
【考点】解一元二次方程-配方法
【解析】【分析】先移项，方程两边同时加上一次项系数的一半，再根据完全平方公式分解因式。
【解答】x2-8x+3=0
x2-8x=-3
x2-8x+16=-3+16
(x-4)2=13
故选C.
【点评】配方法解一元二次方程是一元二次方程极为重要的方法，在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度不大，要熟练掌握。
9.【答案】B
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【考点】概率的意义
【解析】【解答】解：科比罚球投篮120次，一定命中100次错误，
故选：B．
【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生
10.【答案】A
【考点】根的判别式
【解析】【解答】解：根据方程没有实数根，得到△=b2﹣4ac=4﹣4m＜0，
解得：m＞1．
故选A．
【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．
二、填空题
11.【答案】8
【考点】反比例函数的性质，反比例函数的应用
【解析】【解答】解：在▱ABCD中，AB∥CD，AB=CD（平行四边形的对应边平行且相等），故设A（x，y1）、B（x、y2），则根据反比例函数的图象关于原点对称的性质知，C（﹣x，﹣y1）、D（﹣x、﹣y2）．
∵A在双曲线y1=﹣ 上，B在双曲线y2= 上，
∴x=﹣ ，x= ，
∴﹣ = ；
又∵k1=2k2（k1＞0），
∴y1=﹣2y2；
∵S▱ABCD=24，
∴ •|2x|=6|y2x|=24，
解得，y2x=±4，
∵双曲线y2= 位于第一、三象限，
∴k2=4，
∴k1=2k2=8
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故答案是：8．
【分析】利用平行四边形的性质设A（x，y1）、B（x、y2），根据反比例函数的图象关于原点对称的性可知C（﹣x，﹣y1）、D（﹣x、﹣y2）；然后由反比例函数图象上点的坐标特征，将点A、B的坐标分别代入它们所在的函数图象的解析式，求得y1=﹣2y2；最后根据S▱ABCD= •|2x|=24可以求得k2=y2x=4．
12.【答案】2 ﹣ π
【考点】垂径定理，扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，∠A=∠BCD=30°，AC=2， ∴∠O=60°， = ，
∴AC=BC=6，
∴∠ABC=∠A=30°，
∴∠OCB=60°，
∴∠OCD=90°，
∴OC=BC=2，
∴CD= OC=2 ，
∴线段CD和线段BD所围成图形的阴影部分的面积=S△OCD﹣S扇形BOC﹣ 2×2 ﹣ =2 ﹣ π，
故答案为：2 ﹣ π．
【分析】根据圆周角定理和垂径定理得到∠O=60°， = ，根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠A=30°，得到∠OCB=60°，解直角三角形得到CD= OC=2 ，于是得到结论．
13.【答案】5
【考点】二次根式的定义
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【解析】【解答】45a=5×3×3×a，
若为整数，则必能被开方，所以满足条件的最小正整数a为5．
【分析】由于45a=5×3×3×a，要使其为整数，则必能被开得尽方，所以满足条件的最小正整数a为5．
14.【答案】相似形
【考点】黄金分割，相似图形
【解析】【解答】解：根据相似形的定义得到所有的黄金矩形都是相似形． 故本题答案为：相似形．
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
15.【答案】6
【考点】利用频率估计概率
【解析】【解答】设袋中黄色球可能有x个．根据题意,任意摸出1个,摸到黄色乒乓球的概率是：15%=,
解得：x=6．
故答案是6．
【分析】利用频率估计概率．
16.【答案】6.4或10
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
∴AB==10，
当△ABC≌△PCA时，则
AB：PC=AC：AC，
即10：PC=8：8，
解得：PC=10，
当△ABC∽ACP△时，则
AB：AC=AC：PC，
即10：8=8：PC，
解得：PC=6.4．
综上可知若△ABC与△PAC相似，则PC=6.4或10．
故答案为：6.4或10．
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【分析】先利用勾股定理求出AB的长，若△ABC与△PAC相似，则PC可以和AB对应也可以AC对应，所以要分两种情况分别讨论，求出PC的值即可．
17.【答案】
【考点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：用A、a、B、b、C、c表示三张不同的风景图片按同样的方式剪成相同的六片、其中A与a、B与b、C与c为同一张风景图片剪成相同的两片， 画树状图为：
共有30种等可能的结果数，其中这两张图片恰好能组成一张原风景图片的结果数为6，
所以这两张图片恰好能组成一张原风景图片的概率= = ．
故答案为 ．
【分析】用A、a、B、b、C、c表示三张不同的风景图片按同样的方式剪成相同的六片、其中A与a、B与b、C与c为同一张风景图片剪成相同的两片，画树状图展示所有30种等可能的结果数，再找出其中这两张图片恰好能组成一张原风景图片的结果数，然后根据概率公式求解．
18.【答案】
【考点】可能性的大小
【解析】【解答】解：根据题意可得：5张小卡片上分别写有实数-,,,， 其中无理数为﹣，π两个，
则从中随机抽取一张卡片，抽到无理数的可能性是．
故答案为：．
【分析】首先确定四个实数中无理数的个数，然后用无理数的个数除以总数即可求得是无理数的可能性．
三、解答题
19.【答案】解：∵关于x的二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m﹣4=0的常数项为0，
∴m2﹣3m﹣4=0，即（m﹣4）（m+1）=0，
解得：m=4或m=﹣1，
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当m=﹣1时，方程为5x=0，不合题意；
则m的值为4．
【考点】一元二次方程的定义，解一元二次方程-因式分解法
【解析】【分析】根据方程中常数项为0，求出m的值，检验即可．
20.【答案】【解答】由旋转的性质得：∠EAC=35°，∠D=∠B=40°，
∴∠DAE=∠DAC+∠EAC=55°+35°=90°，
∴∠E=90°-∠D=90°-40°=50°．
【考点】旋转的性质
【解析】【分析】由旋转的性质得出∠EAC=35°，∠D=∠B=40°，求出∠DAE=∠DAC+∠EAC=90°，即可得出∠E的度数．
21.【答案】解：（1）将B、C点代入函数解析式，得
，
解得，
这个二次函数y=x2+bx+c的解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）四边形POP′C为菱形，得
OC与PP′互相垂直平分，得
yP=，即x2﹣2x﹣3=﹣，
解得x1=，x2=（舍），P（，﹣）；
（3）∠PBC＜90°，
①如图1
当∠PCB=90°时，过P作PH⊥y轴于点H，
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BC的解析式为y=x﹣3，CP的解析式为y=﹣x﹣3，
设点P的坐标为（m，﹣3﹣m），
将点P代入代入y═x2﹣2x﹣3中，
解得m1=0（舍），m2=1，即P（1，﹣4）；
AO=1，OC=3，CB==3，CP==，
此时=3，△AOC∽△PCB；
②如图2
，
当∠BPC=90°时，作PH⊥y轴于H，作BD⊥PH于D，
BC的解析式为y=x﹣3，CP的解析式为y=x﹣3，
设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
由Kcp•Kpb=﹣1，得m=或（舍去）
此时，==≠=3，
以P、C、B为顶点的三角形与△AOC不相似；
综上所述：P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，﹣4）．
【考点】二次函数的应用
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据菱形的对角线互相垂直平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）分类讨论：①当∠PCB=90°，根据互相垂直的两条直线的一次项系数互为负倒数，可得BP的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；根据勾股定理，可得BC，CP
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的长，根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案；
②当∠BPC=90°时，根据相似三角形的性质，可得P点的坐标，根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案．
22.【答案】解：(1)树状图如下：
列表如下：
甲
乙
A
B
C
D
(D,A)
(D,B)
(D,C)
E
(E,A)
(E,B)
(E,C)
有6种可能结果：(A，D)，（A，E），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E）.
(2)因为选中A型号电脑有2种方案，即(A，D),（A，E），所以A型号电脑被选中的概率是.
(3)由(2)可知，当选用方案（A，D）时，设购买A型号、D型号电脑分别为x，y台，
根据题意，得
解得
经检验不符合题意，舍去；
当选用方案（A，Ｅ）时，设购买A型号、Ｅ型号电脑分别为x，y台，
根据题意，得
解得
所以希望中学购买了7台A型号电脑.
【考点】列表法与树状图法
【解析】【分析】考查列表法与树状图法。
23.【答案】解：（1）∵Rt△ABC位于第一象限，两条直角边AC、AB分别平行于x轴、y轴，点A的坐标为（1，1），AB=2，AC=3，
∴B（1，3），C（4，1），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴，解得，
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∴BC边所在直线的解析式为：y=﹣x+；
（2）∵反比例函数y=y=(x>0)的图象经过点A（1，1），
∴m=1；
（3）∵反比例函数y=y=(x>0)的图象与△ABC有公共点，
∴当函数经过A（1，1）时，n=1；
当函数图象经过点C（4，1）时，n=4，
∴1≤n≤4．
【考点】反比例函数的性质
【解析】【分析】（1）根据题意得出B、C两点的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（2）把A点坐标代入反比例函数y=（x＞0），求出m的值即可；
（3）根据反比例函数y=y=(x>0)的图象与△ABC有公共点可知，当反比例函数经过点A时有最小值，经过点C时有最大值可得出n的取值范围．
24.【答案】解：（1）当△ABP∽△PCD时，
则
解得BP=2或BP=12；
（2）当△ABP∽△DCP时，
则
解得BP=5.6．
综合以上可知，当BP的值为2，12或5.6时，两三角形相似．
【考点】相似多边形的性质
【解析】【分析】分△ABP∽△PCD和△ABP∽△DCP两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
四、综合题
25.【答案】（1）解：把A（﹣1，0）、B（3，0）分别代入y=x2+bx+c中，
得： ，解得： ，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．
∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4）
（2）解：由图可得当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0
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（3）解：∵A（﹣1，0）、B（3，0），
∴AB=4．
设P（x，y），则S△PAB= AB•|y|=2|y|=10，
∴|y|=5，
∴y=±5．
①当y=5时，x2﹣2x﹣3=5，解得：x1=﹣2，x2=4，
此时P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）；
②当y=﹣5时，x2﹣2x﹣3=﹣5，方程无解；
综上所述，P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）．
【考点】解一元二次方程-因式分解法，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）方法1：将A、B两点坐标代入函数解析式建立二元一次方程组求出b、c的值，方法2：因为A（﹣1，0）、B（3，0）所以可设函数解析式为y=a（x-3）（x+1）,由a=1，可求出函数解析式，再利用配方法或代入顶点坐标就可以求出抛物线的顶点坐标；（2）结合图像以及点A、B的坐标即可得出结论；（3）设点P（x，y），根据三角形的面积公式以及S△PAB=10，即可求出y的值，将y=±5分别代入函数解析式就可以求出点P的坐标。
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