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第三节 一次、二次函数的应用题
建立一(二)次函数模型或分段函数，解决生活中的实际问题，涉及两个方面，一如何建模，二如何根据自变量的实际意义和函数的性质作出正确决策．
,中考重难点突破)
【例1】(武汉中考)某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如下表：
产品
每件售价
(万元)
每件成本
(万元)
每年其他
费用(万元)
每年最大产
销量(件)
甲
6
a
20
200
乙
20
10
40＋0.05x2
80
其中a为常数，且3≤a≤5.
(1)若产销甲、 乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；
(2)分别求出产销两种产品的最大年利润；
(3)为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．
【解析】(1)根据表格的数据，直接写出解析式即可；(2)根据一次函数和二次函数的性质，求得最大值即可；(3)根据(2)的结果，分三种情况解答即可．
【答案】解：(1)y1＝ (6－a)x－20(0＜x≤200)，
y2＝－0.05x2＋10x－40 (0＜x≤80)；
(2)当a＝3，x＝200时，ymax＝200(6－a)－20＝1 180－200a; y1有最大值，最大值为1 180－200a；
乙产品：y2＝－0.05x2 ＋10x－40 (0＜x≤80 )，
∴当0＜x≤80时，y2随x的增大而增大．
当x＝80时；y2有最大值，最大值为440.
∴产销甲种产品的最大年利润为580万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元；
(3)1 180－200a＞440，解得3≤a＜3.7 时，此时选择甲产品；
1 180－200a＝440，解得a＝3.7 时，此时选择甲乙产品；
1 180－200a＜440，解得3.7＜a≤5 时，此时选择乙产品．
∴当3≤a＜3.7 时，生产甲产品的利润高；
当a＝3.7 时，生产甲乙两种产品的利润相同；
当3.7＜a≤5时，生产乙产品的利润高．
【例2】天猫网某店铺销售新疆薄皮核桃，这种食品是补脑的佳品，它的成本价为20元/kg，经市场调查发现，该产品每天销售利润w(元)与销售价x(元/kg)有如下关系：w＝ax2＋bx－1 600，当销售价为22元/kg时，每天的销售利润为72元；当销售价为26元/kg时，每天的销售利润为168元．
(1)求该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg)的关系式；
(2)当销售价定为24元/kg时，该产品每天的销售利润为多少元？
(3)如果该店铺的负责人想要在销售价不超过32元的情况下每天获得150元的销售利润，求销售价应定为每千克多少元？
(4)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于29元/kg，此店铺每天获得的最大利润为多少元？
【解析】(1)根据题意可求出y与x的二次函数关系式；(2)将x＝24代入w＝－2x2＋120x－1
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600中计算所得利润；(3)将w＝150带入w＝－2x2＋120x－1 600中计算出定价；(4)由二次函数解析式可知w＝－2x2＋120x－1 600＝－2(x－30)2＋200，所以当x＝29时利润最大．
【答案】解：(1)由题意，得解得
∴该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg)的关系式为w＝－2x2＋120x－1 600；
(2)当x＝24时，
有w＝－2×242＋120×24－1 600＝128.
∴当销售价定为24元/kg时，该产品每天的销售利润为128元；
(3)当w＝150时，有w＝－2x2＋120x－1 600＝150.
解得x1＝25，x2＝35.
∵x≤32，
∴x＝25.∴定价为25元/kg；
(4)w＝－2x2＋120x－1 600＝－2(x－30)2＋200.
∵物价部门规定这种产品的销售价不高于29元/kg，
∴当x＝29元时，利润最大，为w＝－2(29－30)2＋200＝198.
【规律总结】正确建立二次函数模型，利用配方法和二次函数的性质结合自变量的取值范围，求出最佳答案．
◆模拟题区
1．(2017遵义六中三模)九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：
时间x(天)
1≤x＜50
50≤x≤90
售价(元/件)
x＋40
90
每天销量(件)
200－2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)问销售该商品第几天时，每天销售利润最大，最大利润是多少？
(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4 800元？请直接写出结果．
解：(1)y＝
(2)当1≤x＜50时，
y＝－2x2＋180x＋2 000＝－2(x－45)2＋6 050，
∵－2＜0，∴当x＝45时，
y有最大值，最大值为6 050元；
当50≤x≤90时，y＝－120x＋12 000，
∵－120＜0，∴y随x的增大而减小．
∴当x＝50时，y有最大值，最大值为6 000元．
∴销售该商品第45天时，每天销售利润最大，最大利润为6 050元；
(3)41天.
◆中考真题区
2．(2017随州中考)九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天(1≤x≤90，且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y(单位：元/件)，每天的销售量为p(单位：件)，每天的销售利润为w(单位：元).
时间x(天)
1
30
60
90
每天销售量p(件)
198
140
80
20
(1)求出w与x的函数关系式；
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(2)问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；
(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5 600元？请直接写出结果．
解：(1)当1≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)，
∴y＝kx＋b经过点(0，40)，(50，90)，
∴解得
∴售价y与时间x的函数关系式为y＝x＋40；
当50＜x≤90时，y＝90.
∴售价y与时间x的函数关系式为
y＝
由数据可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系，
设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p＝mx＋n(m，n为常数，且m≠0)，
∵p＝mx＋n过点(60，80)，(30，140)，
∴解得
∴p＝－2x＋200 (1≤x≤90，且x为整数)，
当1≤x≤50时，w＝ (y－ 30)·p＝ (x＋40－ 30) (－ 2x＋200) ＝－ 2x2＋180x＋2 000；
当50＜x≤90时，
w＝ (90－30) (－2x＋200) ＝－120x＋12 000.
综上所述，每天的销售利润w与时间x的函数关系式是
w＝
(2)当1≤x≤50时，
w＝－2x2＋180x＋2 000＝－2(x－45)2＋6 050，
∵a＝－2＜0且1≤x≤50，
∴当x＝45时，w取最大值，最大值为6 050元．
当50＜x≤90时，w＝－120x＋12 000，
∵k＝－120＜0，w随x增大而减小，
∴当x＝50时，w取最大值，最大值为6 000元．
∵6 050＞6 000，
∴当x＝45时，w最大，最大值为6 050元．
即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6 050元；
(3)24天
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