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专题一 规律探索猜想类
规律探索与猜想是中考中常见题型之一，它主要用于考查学生观察、分析、归纳、猜想等方面的能力，既可以命基础题，也可命中高档题，题型不限，方法灵活，主要有数式规律、图形规律、坐标规律等，解这类问题要善于发现其过程中的特点，抓住其周期是解决此类问题的关键．
纵观遵义近五年中考，每年都会涉及一道规律探索问题，一般难度不大，预计2018年遵义中考也有可能命一道中基础(选择或填空)规律探索题．
,中考重难点突破)
数字规律
【例1】(临夏中考)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为x2，…第n个三角形数记为xn，则xn＋xn＋1＝________．
【解析】根据三角形数得到x1＝1，x2＝3＝1＋2，x3＝6＝1＋2＋3，x4＝10＝1＋2＋3＋4，x5＝15＝1＋2＋3＋4＋5，即三角形数为从1到它的顺号数之间所有整数的和，即xn＝1＋2＋3＋…＋n＝，xn＋1＝，然后计算xn＋xn＋1可得．
【答案】(n＋1)2
◆模拟题区
1．(2017遵义二中二模)计算下列各式的值：；；；.观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得＋199…9,2 015个9))＝__102__015__．
2．(2017遵义六中三模)将自然数按以下规律排列：
第一列 第二列 第三列
第一行 1 4 5 …
第二行 2 3 6 …
第三行 9 8 7 …
……
表中数2在第二行第一列，与有序数对(2，1)对应；数5与(1，3)对应；数14与(3，4)对应；根据这一规律，数2 014对应的有序数对为__(45，12)__．
3．(2017遵义十一中三模)
已知：＝；＝；
计算：＝____；
猜想：
＝____．
4．(天水中考)观察下列运算过程：
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S＝1＋3＋32＋33＋…＋32 012＋32 013 ①，
①×3得3S＝3＋32＋33＋…＋32 013＋32 014 ②，
②－①得2S＝32 014－1，S＝.
运用上面计算方法计算：
1＋5＋52＋53＋…＋52013＝____．
图形规律
【例2】(2017兰州中考模拟)如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为________．
【解析】易得第二个矩形的面积为，第三个矩形的面积为，依此类推，第n个矩形的面积为.
【答案】
【方法指导】图形规律探索有以下几种类型：
1．求个数，方法为：(1)标序数：按图号标序；(2)找关系：找后一个图与前一个图中所求量之间的关系(一般是通过作差或作商的形式观察是否含有定量)或找出图中的所求量与序数之间的关系；(3)算结果：计算每个给出图中所求量的个数；(4)找规律：对求出的结果进行一定的变形，使其呈现一定的规律；(5)归纳：归纳结果与序数之间的关系，即可得到第n个图中所求量的个数；(6)验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确．
2．求面积，方法为：(1)根据题意可得出第一次变换前图形的面积为S；(2)通过计算得到第一次变换后图形的面积，第二次变换后图形的面积，第三次变换后图形的面积，第四次变换后图形的面积，……归纳出后一个图形的面积与前一个图形的面积之间存在的倍数关系n；(3)第M次变换后，求得图形的面积为nMS.
◆模拟题区
5．(2017遵义十一中二模)如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是( B )
A．y＝2n＋1 B．y＝2n＋n
C．y＝2n＋1＋n D．y＝2n＋n＋1
◆中考真题区
6．(2017益阳中考)小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第1个图案有1枚棋子，第2个图案有3枚棋子，第3个图案有4枚棋子，第4个图案有6枚棋子，……，那么第9个图案的棋子数是__13__枚．
7．(2017衡阳中考)如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3
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条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为__10__．
点的坐标规律
【例3】(2017兰州中考)如图，在直角坐标系中，已知点A(－3，0)，B(0，4)，对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为________．
【解析】根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2 013除以3，根据商为671可知第2 013个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可．
【答案】(8 052，0)
【方法指导】求点坐标，根据图形点坐标的变换特点可知这类题有两种考查形式：一类是点坐标变换是在同一象限递推变化；另一类是点坐标变换在坐标轴上或象限内循环递推变化；解决这类题的方法如下：(1)若第一个点的坐标未给出，可先由所给信息求出坐标(a，b)；(2)根据题目中给出的线段的数量关系及角度，通过勾股定理或直角三角形的边角关系得到第二个，第三个，第四个……的坐标，观察它们之间存在的比例关系，比值记为n；(3)当点坐标在同一象限变换时，通过第M次变换后，图形的点坐标为(nMa，nMb)；(4)当点坐标在整个平面直角坐标系里变换，先观察点的变换规律为顺时针循环还是逆时针循环，通过第M次变换后，用M÷4＝w＋q(0≤q＜4)，当q＝0时，点坐标所在象限与起点相同，依此类推，当确定出点坐标落在x轴正半轴时，点坐标为(nMc，0)，点坐标落在y轴正半轴时，点坐标为(0，nMc)，点坐标落在x轴负半轴时，点坐标为(－nMc，0)，点坐标落在y轴负半轴时，点坐标为(0，－nMc)．
◆模拟题区
8．(2017遵义红花岗三模)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位长度，得到点A1(0，1)，A2(1，1)，A3(1，0)，A4(2，0)，…，那么点A4n＋1(n是自然数)的坐标为__(2n，1)__．
◆中考真题区
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9．(2017庆阳中考)在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n＋1B2n＋1(n是正整数)的顶点A2n＋1的坐标是( C )
A．(4n－1，) B．(2n－1，)
C．(4n＋1，) D．(2n＋1，)
10．(2017温州中考)我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线(如图)，已知点P1(0，1)，P2(－1，0)，P3(0，－1)，则该折线上的点P9的坐标为( B )
A．(－6，24) B．(－6，25)
C．(－5，24) D．(－5，25)
11．(2017安顺中考)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn﹣1Bn顶点Bn的横坐标为__2n＋1－2__.
12．(2017黔东南中考)把多块大小不同的30°直角三角板如图所示，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标为(0，1)，∠ABO＝30°；第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交y轴于点B1；第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交x轴于点B2；第四块三角板的斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2垂直且交y轴于点B3；……按此规律继续下去，则点B2 017的坐标为__[0，－()2__017]__．
13．(2017天水中考)如图，一段抛物线y＝－x(x－1)(0≤x≤1)记为m1，它与x轴交点为O，A1，顶点为P1；将m1绕点A1旋转180°得m2，交x轴于点A2，顶点为P2；将m2绕点A2旋转180°得m3，交x轴于点A3，顶点为P3，……，如此进行下去，直至得m10，顶点为P10，则P10的坐标为__(9.5，－0.25)__．
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,(第13题图)) ,(第14题图))
14．(2017兰州中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，▱ABCO的顶点A，B的坐标分别是A(3，0)，B(0，2)，动点P在直线y＝x上运动，以点P为圆心，PB长为半径的⊙P随点P运动，当⊙P与▱ABCO的边相切时，点P的坐标为__(0，0)或或__．
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