2017-2018学年北师大八年级数学下专题整合训练(1)三角形的证明.docx

专题整合训练 专题一　等腰三角形的性质与判定 ‎1.(2017·山东滨州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则∠B的大小为(B　)‎ ‎　　　　　 　　　　　 　　　　‎ A.40° B.36° C.30° D.25°‎ ‎2.如图所示,点D,E在△ABC的边BC上,连接AD,AE.‎ ‎①AB=AC;②AD=AE;‎ ‎③BD=CE.‎ 以此三个等式中的两个作为命题的题设,另一个作为命题的结论,构成三个命题:①②⇒③;①③⇒②;②③⇒①.‎ ‎(1)以上三个命题是真命题的为(直接作答)　　　　　; ‎ ‎(2)请选择一个真命题进行证明(先写出所选命题,然后证明).‎ ‎(1)解①②⇒③,①③⇒②,②③⇒①.‎ ‎(2)证明①②⇒③‎ 6‎ 方法一:∵AB=AC,‎ ‎∴∠B=∠C.‎ 又AD=AE,‎ ‎∴∠ADG=∠AEG.‎ ‎∵∠ADG=∠B+∠BAD,∠AEG=∠C+∠CAE,∴∠BAD=∠CAE.‎ 在△ABD与△ACE中,AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,则△ABD≌△ACE(SAS).‎ ‎∴BD=CE.‎ 方法二:过点A作△ABC的高AG,‎ ‎∵AB=AC,AG⊥BC,∴BG=CG.‎ 又AD=AE,AG⊥DE,∴DG=EG.‎ ‎∵BD=BG-DG,CE=CG-GE,‎ ‎∴BD=CE.‎ 专题二　等边三角形的性质与判定 ‎3.导学号99804031如图,在△ABC中,D是AB边上的一点,且AD=DC=DB,∠B=30°.求证:△ADC是等边三角形.‎ 证明∵DC=DB,‎ ‎∴∠B=∠DCB=30°(等边对等角).‎ ‎∴∠ADC=∠DCB+∠B=60°.‎ 6‎ 又AD=DC,∴△ADC是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形).‎ ‎4.导学号99804032如图,△ABC是等边三角形,∠1=∠2=∠3,求∠BEC的度数.‎ 解∵△ABC是等边三角形,‎ ‎∴AB=BC=CA,∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°.‎ ‎∵∠1=∠2=∠3,∴∠BAC-∠1=∠ABC-∠2=∠BCA-∠3,即∠CAF=∠ABD=∠BCE.‎ 在△ABD和△BCE和△CAF中,‎ ‎∠1=∠2=∠3,‎AB=BC=CA,‎‎∠ABD=∠BCE=∠CAF,‎ ‎∴△ABD≌△BCE≌△CAF(ASA).‎ ‎∴AD=BE=CF,BD=CE=AF.‎ ‎∴AD-AF=BE-BD=CF-CE,‎ 即FD=DE=EF.‎ ‎∴△DEF是等边三角形.∴∠FED=60°.‎ ‎∴∠BEC=180°-∠FED=180°-60°=120°.‎ ‎5.导学号99804033如图所示,等边△ABC和等边△DCE在直线BCE的同一侧,AE交CD于点P,BD交AC于点Q,求证:△PQC为等边三角形.‎ 证明 6‎ 在等边△ABC和等边△DCE中,BC=AC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°,‎ 所以∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE.‎ 在△BCD和△ACE中,‎BC=AC,‎‎∠BCD=∠ACE,‎CD=CE.‎ 所以△BCD≌△ACE(SAS).‎ 所以∠1=∠2.‎ 因为∠ACB=∠DCE=60°,‎ 所以∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=60°.‎ 所以∠BCQ=∠ACP.‎ 在△BCQ和△ACP中,‎‎∠1=∠2,‎BC=AC,‎‎∠BCQ=∠ACP,‎ 所以△BCQ≌△ACP.所以CQ=CP.‎ 又因为∠QCP=60°,所以△PQC为等边三角形.‎ 专题三　直角三角形的性质与判定 ‎6.如图所示,在△ABC中,CD是AB边上的高,且CD2=AD·BD.求证:△ABC是直角三角形.‎ 证明在Rt△ACD中,由勾股定理得AC2=AD2+CD2.‎ 在Rt△BCD中,由勾股定理得BC2=BD2+CD2.‎ ‎∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=(AD+BD)2=AB2.‎ 6‎ ‎∴△ABC是直角三角形.‎ ‎7.导学号99804034如图所示,点P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且PB=BQ,连接CQ,若PA∶PB∶PC=3∶4∶5,连接PQ.求证:△PQC是直角三角形.‎ 证明∵PA∶PB∶PC=3∶4∶5,‎ ‎∴设PA=3a,PB=4a,PC=5a.‎ 在△PBQ中,∵PB=BQ=4a,且∠PBQ=60°,‎ ‎∴△PBQ是等边三角形.∴PQ=4a.‎ 在△PQC中,∵PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2,∴△PQC是直角三角形.‎ 专题四　线段垂直平分线与角平分线性质的应用 ‎8.(2016·贵州毕节中考)到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的(D　)‎ A.三条高的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 ‎9.(2017·湖南益阳中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,DE是线段AC的垂直平分线,若BE=a,AE=b,则用含a,b的代数式表示△ABC的周长为2a+3b　. ‎ 6‎ ‎10.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交AC于点E,交BC的延长线于点F,若∠F=30°,DE=1,求BE的长.‎ 解∵∠ACB=90°,FD⊥AB,‎ ‎∴∠ACB=∠FDB=90°.‎ ‎∵∠F=30°,∴∠A=∠F=30°.‎ 又AB的垂直平分线DE交AC于点E,‎ ‎∴∠EBA=∠A=30°.‎ ‎∴Rt△DBE中,BE=2DE=2.‎ ‎11.导学号99804035如图,已知AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证:AD垂直平分EF.‎ 证明∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.‎ ‎∴点D在EF的垂直平分线上.‎ 在Rt△ADE和Rt△ADF中,AD=AD,DE=DF,∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL).‎ ‎∴AE=AF.‎ ‎∴点A在EF的垂直平分线上.‎ ‎∵两点确定一条直线,∴直线AD是线段EF的垂直平分线.‎ 6‎