杭州市萧山区2013-2014学年第一学期期中学习质量检测
八年级数学试卷
(试卷总分120分 考试时间：90分钟)
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
(下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案。)
1.亲爱的同学们，你一定喜欢QQ吧?以下这四个QQ表情 中哪个不是轴对称图形（ ）
A.第一个 B.第二个 C.第三个 D.第四个
2. 如图，△ABC中，延长BC到点D，若∠ACD=123°，∠B=45°，则∠A为（ ）
A.12° B. 88° C.78° D. 68°
3.一个三角形三个内角的度数之比为2：3：5，这个三角形一定是（ ）
A. 直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
4、如图，在△ABC和△DEF中，已有条件AB=DE ，还需要添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（ ）
A. ∠B=∠E，BC=EF B. BC=EF，AC=DF
C. ．∠A=∠D，∠B=∠E D. ∠A=∠D，BC=EF
5、下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是( )
A.a=6 ,b=8 , c= 10; B. a=1.5 ,b=2 , c=2.5 ;
C. a= ,b=2 , c=; D. a= 15,b=8 , c=17
6、 如图，这是我国古代一个数学家构造的“勾股圆方图”（见课本第76页），他第一个利用此图证明了“勾股定理”。这个数学家是（ ）
A.祖冲之 B. 杨辉 C.赵爽 D. 华罗庚
7、如图，△ABC中，AB=AC，E为AB的中点，BD⊥AC，若∠DBC=α，则∠
BED为（ ）
A.3α B. 4α C.90°+ α D. 180°-2α
8. 设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（ ）
A．B．C．D．
9、如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，AB=2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A.1 B.1.5 C. D.
10、下列命题：（1）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（2）若三角形一个外角的平分线平行于第三边，则这个三角形是等腰三角形；（3）三角形的外角必大于任一个内角；（4）若直角三角形斜边上一点（除两个端点外）到直角顶点的距离是斜边的一半，则这个点必是斜边的中点.其中是真命题的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C.3个 D.4个
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
(要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案。)
11.已知两条线段长分别为2cm和5cm，请再给一个线段等于 cm,使它们能组成一个三角形.
12. 已知OP平分∠AOB，点C在OP上，且CD⊥OA，CE⊥OB，若CD=3，OD=4，则CE= .
13. 如图作一个直角三角形，使它的两条直角边分别为1和2。以斜边长为半径画弧，交数轴正半轴于点A处，则点A表示的数是 ；这种研究和解决问题的方式，体现了 的数学思想方法。
第13题图 第14题图 第16题图
14. 如图，工匠们用这个工具检测屋梁是否水平.当重锤线经过等腰三角尺底边的中点时,可以确定三角形的底边于梁是水平的；否则梁就不是水平的.这是利用了什么几何性质： .
15. 如图，已知△ABC，∠C=90°，DE垂直平分AB，交AB于D，交AC于E，且AC=4，BC=3，则AE= .
16.如图：长方形ABCD中，AD=10，AB=4，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，当△APQ是等腰三角形时，AP的长为 .
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）
(解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。如果觉得有的题目有困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以。)
17. （本题6分）如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=36°，∠C=76°，求∠DAE的度数。
18. （本题8分）小明想测一块泥地AB的长度（如图所示），它在AB的垂线BM上分别取C、D两点，使CD=BC，再过D点作出BM的垂线DN，并在DN上找一点E，使A、C、E三点共线，这使所测得的DE的长度就是这块泥地AB的长度，你能说明原因吗？
17. （本题8分）如图，已知线段a,b及∠α，用直尺和圆规作△ABC，使得BC=α，AC=b，∠ACB=∠α.并作出角平分线BE和AB边的中垂线.
20. （本题10分）在下图的网格中，每个小正方形的顶点叫格点，以下要求画的三角形的顶点都必须在格点上。
请在图(1)中画一个等腰三角形ABC;
请在图(2)中画一个非等腰的直角三角形ABC；
请在图(3)中画一个以AB为腰的等腰直角三角形ABC；
请在图(4)中画一个以AB为底的等腰直角三角形ABC；
请在图(5)中画一个与前面三个直角三角形不全等的直角三角形ABC.
21.（本题10分）写出命题“
如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角的角平分线所夹的锐角是45°”的逆命题，并证明这个命题是真命题.
22. （本题12分）《导学新作业》中有如下一道几何题目：
如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O，点P，D分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E，求证：△BPO≌△PDE．
（1）小明冥死苦想许久而不得解，只好去问老师。老师给他分析了如下的思路.
根据上述思路，小明终于会证明了.请你完整地书写本题的证明过程．
（2） 证明完后，老师又提出了如下问题让小明解答：
若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD．
23. （本题12分）我们提供如下定理：在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边是斜边的一半，如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC=AB.
请利用以上定理及有关知识，解决下列问题：
如图边长为6的等边三角形ABC中，点D从A出发，沿射线AB方向有A向B运动点F同时从C出发，以相同的速度沿着射线BC方向运动，过点D作DE⊥AC，DF交射线AC于点G.
（1） 当点D运动到AB的中点时，直接写出AE的长;
（2） 当DF⊥AB时，求AD的长及△BDF的面积；
（3）小明通过测量发现，当点D在线段AB上时，EG的长始终等于AC的一半，他想当点D运动到图3的情况时，EG的长始终等于AC的一半吗？若改变，说明理由，若不变，说明理由.
数 学 答 题 卷
一、仔细选一选（每小题3分，共30分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10[来源:zzstep.com]
答案
A
C
A
D
C
C
B
A
C
C
二、认真填一填（每小题4分，共24分）
11．3(答案不唯一，但必须选择大于3小于7的数) 12． 3
13．；数形结合 14． 三线合一
15． 16. 2或2.5或3或8
三、全面答一答（本题有7小题，共66分）
17．（本小题满分6分）
解：在△ABC中，∠B=36°，∠C=76°，则∠BAC=180°-∠B-∠C=68°．
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠EAC=∠BAC=34°．
∵AD是△ABC的高线，∠C=76°，
∴∠EAC=90°-∠C=14°，
∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=34°-14°=20°．
18． （本小题满分8分）
证明：∵AB⊥BC，CD⊥DE，
∴∠B=∠CDE=90°．
又∵BC=CD，∠ACB=∠DCE，
∴△ABC≌△EDC（ASA）．
所以AB=DE．
18． （本小题满分8分）
图略
20．（本小题满分10分）
图略
21．（本小题满分10分）
解：逆命题是：如果一个三角形的两个角的角平分线所夹的锐角是45°，那么这个三角是直角三角形．
已知，如图，△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，交AC于E，AD是∠CAB的角平分线，交BC于D，BE和AD相交于O点，且∠EOA=45°
求证：△ABC是直角三角形
证明：∵BE是∠ABC的角平分线，AD是∠CAB的角平分线
∴∠AOB=90°+∠C
又∵∠EOA=45°
∴∠AOB=135°=90°+∠C
∴∠C=90°
∴△ABC是直角三角形
22． （本小题满分12分）
（1）证明：∵PB=PD，
∴∠2=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠1=45°，
∴∠1=∠C=45°，
∵∠3=∠PBO﹣∠1，∠4=∠2﹣∠C，
∴∠3=∠4，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
在△BPO和△PDE中
∴△BPO≌△PDE（AAS）；
（2）证明：由（1）可得：∠3=∠4，
∵BP平分∠ABO，
∴∠ABP=∠3，
∴∠ABP=∠4，
在△ABP和△CPD中
∴△ABP≌△CPD（AAS），
∴AP=CD．
23．（本小题满分12分）
解：(1)AE=
(2) 设AD=x
∴CF=x
则BD=6-x，BF=6+x
∵∠B=60°，∠BDF=90°
∴BF=2BD
即6+x=2×(6-x)
∴x=2即AD=2
∴BD=4,DF=
∴S△BDF=×4×=
(3) 不变，理由如下
如图，过F作FM⊥AG延长线于M
易知△DEG≌△FMG,CM=AE,FG=GM
∴AC=AE+EC=CM+CE=FG+GM=2GE
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