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考点跟踪突破28 图形的轴对称
一、选择题
1.(2017·绵阳)下列图案中,属于轴对称图形的是( A )
2.(2017·山西)如图,将矩形纸片ABCD沿BD折叠,得到△BC′D,C′D与AB交于点E.若∠1=35°,则∠2的度数为( A )
A.20° B.30° C.35° D.55°
,第2题图) ,第4题图)
3.(2017·遵义)把一张长方形纸片按如图①,图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③,再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔,则重新展开后得到的图形是( C )
4.(2017·安徽)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,动点P满足S△PAB=S矩形ABCD,则点P到A,B两点距离之和PA+PB的最小值为( D )
A. B. C.5 D.
5.(导学号:65244146)(2017·台州)如图,矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上,BE=BF,将△AEH,△CFG分别沿边EH,FG折叠,当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的时,则为( A )
A. B.2 C. D.4
二、填空题
6.(2016·赤峰)下列图标是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的,其中是轴对称图形的是__①②③④.(填序号)
7.(2017·白银)如图,一张三角形纸片ABC,∠C=90°,AC=8 cm,BC=6 cm.现将纸片折叠:使点A与点B重合,那么折痕长等于____cm.
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,第7题图) ,第8题图)
8.(2017·咸宁)如图,点O是矩形纸片ABCD的对称中心,E是BC上一点,将纸片沿AE折叠后,点B恰好与点O重合.若BE=3,则折痕AE的长为__6__.
9.(2017·内江)如图,已知直线l1∥l2,l1,l2之间的距离为8,点P到直线l1的距离为6,点Q到直线l2的距离为4,PQ=4,在直线l1上有一动点A,直线l2上有一动点B,满足AB⊥l2,且PA+AB+BQ最小,此时PA+BQ=__16__.
,第9题图) ,第10题图)
10.(2017·河南)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B′始终落在边AC上,若△MB′C为直角三角形,则BM的长为__+或1__.
三、解答题
11.如图,在边长为6的菱形ABCD中,∠DAB=60°,E为AB的中点,F为AC上的一个动点,求EF+BF的最小值.
解:连接BD,∵四边形ABCD是菱形,∴AC垂直平分BD.连接DE交AC于点F,连接BF,则BF=DF,又∵∠DAB=60°,AD=AB,∴△ABD是等边三角形,∴DE⊥AB,在Rt△AED中,由勾股定理有:DE===3,而DE=DF+EF=EF+BF=3,即EF+BF的最小值是3
12.如图①,将矩形ABCD沿DE折叠,使顶点A落在DC上的点A′处,然后将矩形展平,沿EF折叠,使顶点A落在折痕DE上的点G处.再将矩形ABCD沿CE折叠,此时顶点B恰好落在DE上的点H处,如图②.
(1)求证:EG=CH;
(2)已知AF=,求AD和AB的长.
解:(1)由折叠知AE=AD=EG,BC=CH,∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,∴EG=CH
(2)∵∠ADE=45°,∠FGE=∠A=90°,AF=,∴DG=,DF=2,∴AD=AF+DF=+2;由折叠知∠AEF=∠GEF,∠BEC=∠HEC,∴∠GEF+∠HEC=90°,∠AEF+∠BEC=90°,∵∠AEF+∠AFE=90°,∴∠BEC=∠AFE,在△AEF与△BCE中,
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∴△AEF≌△BCE(AAS),∴AF=BE,∴AB=AE+BE=+2+=2+2
13. (导学号:65244147)(2016·十堰)如图,将矩形纸片ABCD(AD>AB)折叠,使点C刚好落在线段AD上,且折痕分别与边BC,AD相交,设折叠后点C,D的对应点分别为点G,H,折痕分别与边BC,AD相交于点E,F.
(1)判断四边形CEGF的形状,并证明你的结论;
(2)若AB=3,BC=9,求线段CE的取值范围.
解:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠GFE=∠FEC,∵图形翻折后点G与点C重合,EF为折线,∴∠GEF=∠FEC,∴∠GFE=∠FEG,∴GF=GE,∵图形翻折后EC与GE完全重合,∴GE=EC,∴GF=EC,∴四边形CEGF为平行四边形,∴四边形CEGF为菱形
,图①) ,图②)
(2)如图①,当D与F重合时,CE取最小值,由(1)得四边形CEGF是菱形,∴CE=CD=AB=3;如图②,当G与A重合时,CE取最大值,由折叠的性质得AE=CE,∵∠B=90°,∴AE2=AB2+BE2,即CE2=32+(9-CE)2,∴CE=5,∴线段CE的取值范围3≤CE≤5
14.(导学号:65244148)(2017·济宁)实验探究:
(1)如图①,对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展开;再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN,MN.请你观察图①,猜想∠MBN的度数是多少,并证明你的结论.
(2)将图①中的三角形纸片BMN剪下,如图②,折叠该纸片,探究MN与BM的数量关系,写出折叠方案,并结合方案证明你的结论.
解:(1)猜想:∠MBN=30°.理由:如图①中,连接AN,∵直线EF是AB的垂直平分线,∴NA=NB,由折叠可知,BN=AB,∴AB=BN=AN,∴△ABN是等边三角形,∴∠ABN=60°,∴NBM=∠ABM=∠ABN=30° (2)结论:MN=BM.折纸方案:如图②中,折叠△BMN,使得点N落在BM上O处,折痕为MP,连接OP.理由:由折叠可知△MOP≌△MNP,∴MN=OM,∠OMP=∠NMP=∠OMN=30°=∠B,∠MOP=∠MNP=90°,∴∠BOP=∠MOP=90°,∵OP=OP,∴△MOP≌△BOP,∴MO=BO=BM,∴MN=BM
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