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自我检测(四) 三角形
(时间：80分钟 分值：90分)
一、选择题(每小题4分，共24分)
1．(2017·扬州)若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是(C)
A. 6 B. 7 C. 11 D. 12
2．(2017·乐山)含30°角的直角三角板与直线l1、l2的位置关系如图所示，已知l1∥l2，∠ACD＝∠A，则∠1＝(B)
A. 70° B. 60° C. 40° D. 30°
第2题图
第3题图
3．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝42°，则∠P的度数为(C)
A．44° B．66° C．96° D．92°
4．(2017·河池)已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是(C)
A．3 B．4 C．8 D．9
(导学号 12734079)
5．(2017·陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(A)
A. 3 B. 6 C. 3 D.
第5题图
第6题图
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6．(2016·达州)如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E.若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为(B)
A．2 B．3 C．4 D．5
(导学号 12734080)
二、填空题(每小题4分，共24分)
7．(2017·呼和浩特)如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C＝48°，则∠AED为114°.
第7题图
第8题图
8．如图，在△ABC中，∠A＝46°，∠C＝74°，BD平分∠ABC，交AC于点D，那么∠BDC的度数是76°.
9．(2017·常州)如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB＝6，AC＝9，则△ABD的周长是15.
第9题图
第10题图
10．(2017·陕西)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC.若AC＝6，则四边形ABCD的面积为18.
11．(2017·深圳)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝3.
第11题图
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第12题图
12．(2017·无锡)在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则tan∠BOD的值等于3.
三、解答题(共42分)
13．(6分)如图，△ADE与△CBF的边AE、CF在同一条直线上，DE∥BF，AD∥BC，AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF.
第13题图
证明：∵DE∥BF，AD∥BC，
∴∠DEA＝∠BFC，∠A＝∠C.
∵AF＝CE，∴AF＋FE＝FE＋CE，即AE＝CF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(ASA)．
第14题图
14．(2017·北京8分)在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点(与点B、C不重合)，连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.
(1)若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小(用含α的式子表示)；
(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．
第14题解图
解：(1)∠AMQ＝45°＋α；
(2)PQ＝MB，理由如下：
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如解图，连接AQ，作ME⊥QB，
∵AC⊥QP，CQ＝CP，
∴∠QAC＝∠PAC＝α，
∴∠QAM＝45°＋α＝∠AMQ，∴AP＝AQ＝QM，
在△APC和△QME中，
∴△APC≌△QME(AAS)，∴PC＝ME，
∴△MEB是等腰直角三角形，∴PQ＝MB，
∴PQ＝MB.
15．(2017·毕节市8分)如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D.
(1)求证：△ABF∽△BEC；
(2)若AD＝5，AB＝8，sinD＝，求AF的长．
第15题图
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠D＋∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC，
∵∠AFB＋∠AFE＝180°，
∵∠AFE＝∠D，
∴∠C＝∠AFB，
∴△ABF∽△BEC；
(2)解：∵AE⊥DC，AB∥DC，
∴∠AED＝∠BAE＝90°，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE＝＝＝4，
在Rt△ADE中，AE＝AD·sinD＝5×＝4，
∵BC＝AD＝5，
由(1)得：△ABF∽△BEC，
∴＝，即＝，解得：AF＝2.
16．(2017·黔东南州10分)如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数)
(参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81, ≈1.41, ≈1.73，≈2.24)
(导学号 12734081)
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第16题图
第16题解图
解：假设点D移到D′的位置时，恰好∠α＝39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，
∵CD＝12米，∠DCE＝60°，
∴DE＝CD·sin60°＝12×＝6米，CE＝CD·cos60°＝12×＝6米．
∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，
∴四边形DEE′D′是矩形，∴DE＝D′E′＝6米．
∵∠D′CE′＝39°，∴CE′＝≈≈12.8，
∴EE′＝CE′－CE＝12.8－6＝6.8≈7米．
答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．
17．(2017·重庆A卷10分)在△ABC中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC.
(1)如图①，若AB＝3，BC＝5，求AC的长；
(2)如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.
图①
图②
第17题图
解：(1)；
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第17题解图
(2)如解图，延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG.
由DM＝MC，∠BMD＝∠AMC，BM＝AM，∴△BMD≌△AMC(SAS)，∴AC＝BD，
又CE＝AC，因此BD＝CE，
由BF＝FC，∠BFG＝∠EFC，FG＝FE，∴△BFG≌△CFE，故BG＝CE，∠G＝∠E，所以BD＝CE＝BG，因此∠BDG＝∠G＝∠E.
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