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建邺区2016－2017学年度第一学期期末调研测试卷
九年级数学
注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列函数中，二次函数的是
A．y＝2x2＋1
B．y＝2x＋1
C．y＝
D．y＝x2－(x－1)2
2． 下列说法中，正确的是
A．任意两个矩形都相似
B．任意两个菱形都相似
C．相似图形一定是位似图形
D．位似图形一定是相似图形
3．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则 cos A的值是
A．
B．
C．
D．
4．已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则其侧面积为
A．6π
B．8π
C．16π
D．32π
5．某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运会射击比赛．在选拔赛中，每人
射击10次，他们10次成绩的平均数及方差如下表所示:
甲
乙
丙
丁
平均数/环
9.7
9.5
9.5
9.7
方差/环2
5.1
4.7
4.5
4.5
请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
6．若二次函数y＝x2＋(m＋1)x－m的图像与坐标轴只有两个交点，则满足条件的m的值有
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
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7．请写出一个关于x的一元二次方程，且有一个根为2： ▲ ．
8．一组数据：6，2，－1，5的极差为 ▲ ．
9．若△ABC∽△A'B'C'，相似比为1:2，则△ABC与△A'B'C'的面积比为 ▲ ．
10．一元二次方程x2－6x＋5＝0的两根分别是x1、x2，则x1·x2的值是 ▲ ．
11．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，2次抛掷的结果都是正面朝上的概率是 ▲ ．
12．将二次函数y＝x2的图像向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的新图像的函数表达式是 ▲ ．
13．已知扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则它的半径为 ▲ ．
14．已知二次函数y＝x2－2x＋2的图像上有两点A（－3，y1）、B（－2，y2），则y1 ▲ y2．（填“＞”“＜”或“＝”号）
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E＋∠F＝80°，则∠A＝ ▲ °．
A
B
C
E
F
D
O
（第15题）
E
F
C
D
P
B
A
（第16题）
16．如图，AB＝5，P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边，在线段AB的同侧作正方形APCD和正方形BPEF，连接CF，则CF的最小值是 ▲ ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）解方程：x2－4x＋2＝0； （2）计算：sin30°－cos245°＋tan60°·sin60°．
18．（6分）已知关于x的方程(k－2)x2－(k－2)x＋＝0有两个相等的实数根．求k的值．
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19．（7分）某校九年级有24个班，共1 000名学生，他们参加了一次数学测试．学校统计了所有学生的成绩，得到下列统计图．
某校九年级男女生的
人数分布扇形统计图
女生
40%
男生
60%
某校九年级数学测试
男女生成绩的平均数条形统计图
平均数/分
群体
76
80
82
78
女生
82.5
男生
80
0
84
（1）求该校九年级学生本次数学测试成绩的平均数；
（2）下列关于本次数学测试说法正确的是（ ▲ ）
A．九年级学生成绩的众数与平均数相等
B．九年级学生成绩的中位数与平均数相等
C．随机抽取一个班，该班学生成绩的平均数等于九年级学生成绩的平均数
D．随机抽取300名学生，可以用他们成绩的平均数估计九年级学生成绩的平均数
20．（7分）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取环保志愿者．求下列事件的概率：
（1）抽取1名，恰好是甲；
（2）抽取2名，甲在其中．
O
A
C
B
D
（第21题）
21．（7分）如图，点C在⊙O上，弦AB⊥OC，垂足为D，AB＝8，CD＝2.求⊙O的半径.
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22．（7分）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，且＝，求∠ACB的大小．
C
B
D
A
（第22题）
23．（8分）已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点（0，3）、（－1，0）．
（1）求二次函数的表达式；
x
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
y
1
2
3
4
O
－1
－2
－3
－4
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图像；
（3）根据图像，直接写出当x满足什么条件时，y＞0．
24．（8分）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距40m．在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为37°，测得铁塔顶部的仰角为26.6°．求铁塔的高度．
C
D
A
B
（第24题）
26.6°
37°
（参考数据：sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
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25．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，O是BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，恰好经过点A，并与BC交于点D．
（1）求证： CA是⊙O的切线．
（2）若AB＝2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
A
O
D
C
B
（第25题）
26．（9分）2016年巴西里约奥运会期间，南京某奥运特许经营商店以每件10元的价格购进了一批奥运纪念玩具，定价为20元时，平均每天可售出80个.经调查发现，奥运纪念玩具的单价每降1元，每天可多售出40个；奥运纪念玩具的单价每涨1元，每天要少售出5个．如何定价才能使每天的利润最大？求出此时的最大利润．
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27．（11分）
问题提出
若一个四边形的两组对边乘积之和等于它的两条对角线的乘积，则称这个四边形为巧妙四边形．
初步思考
（1）写出你所知道的四边形是巧妙四边形的两种图形的名称： ▲ ， ▲ ．
（2）小敏对巧妙四边形进行了研究，发现圆的内接四边形一定是巧妙四边形．
如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形．
求证：AB·CD＋BC·AD＝AC·BD．
小敏在解答此题时，利用了“相似三角形”进行证明，她的方法如下：
在BD上取点M，使∠MCB＝∠DCA．
（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）
图①
D
M
O
A
B
C
A
B
C
D
图②
（第27题）
推广运用
如图②，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AD＝，AB＝，CD＝2．求AC的长．
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九年级数学参考答案及评分标准
说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
一、选择题（每小题2分，共计12分）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
A
D
C
B
D
C
二、填空题（每小题2分，共计20分）
7．x2＝4（答案不惟一）．
8．7．
9．1：4．
10．5．
11．．
12．y＝(x－1) 2＋3．
13．6．
14．＞．
15．50．
16．．
三、解答题（本大题共11小题，共计88分）
17．(本题10分)
解：（1）x2－4x＝－2， 1分
(x－2)2＝2， 3分
x－2＝±，
x1＝2＋，x2＝2－． 5分
（2） sin30°－cos245°＋tan60°·sin60°
＝ －()2＋×
＝ －＋ 9分
＝ ． 10分
18．(本题6分)
解：因为方程(k－2)x2－(k－2)x＋＝0有两个相等的实数根，
所以(k－2) 2－4×·(k－2)＝0． 2分
解方程，得k 1＝2，k 2＝3． 5分
又因为k－2≠0，
所以k ＝3． 6分
19．(本题7分)
解：（1）80×60%＋82.5×40%＝81（分）． 4分
（2）D． 7分
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20．(本题7分)
解：（1）随机抽取1名学生，可能出现的结果有4种，即甲、乙、丙、丁，并且它们
出现的可能性相等．恰好抽取1名恰好是甲（记为事件A）的结果有1种，
所以P（A）＝． 3分
（2）随机抽取2名学生，可能出现的结果有6种，即甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、
乙丁、丙丁，并且它们出现的可能性相等．恰好抽取2名甲在其中（记为事
件B）的结果有3种，即甲乙、甲丙、甲丁，所以P（B）＝＝． 7分
21．(本题7分)
解：连接OB．
∵ 在⊙O中，弦AB⊥OC，垂足为D，
∴ AD＝BD＝AB＝4．． 2分
设⊙O的半径为r．
在Rt△BOD中，BD2＋OD2＝OB2，
即42＋(r－2) 2＝r 2． 5分
解方程，得r＝5．
所以⊙O的半径为5． 7分
22．(本题7分)
解：∵ CD是边AB上的高，
∴ CD⊥AB．
∴ ∠CDA＝∠BDC＝90°． 1分
又 ＝，
∴ △CDA∽△BDC． 3分
∴ ∠A＝∠DCB． 4分
又 ∠A＋∠ACD＝90°．
∴ ∠DCB＋∠ACD＝90°， 6分
即 ∠ACB＝90°． 7分
23．(本题8分)
解：（1）将（0，3）、（－1，0）代入y＝－x2＋bx＋c，
解得b＝2，c＝3．
所以二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋3． 3分
（2）画图正确． 6分
（3）－1＜x＜3． 8分
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24．(本题8分)
解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，则∠AEC＝∠AED＝90°． 1分
由题意得：∠CAE＝26.6°，∠DAE＝37°，AE＝BD＝40 m． 3分
在Rt△AEC中，
∵ tan∠CAE＝，
∴ CE＝AE·tan26.6°．． 5分
同理可得 DE＝AE·tan37°．． 7分
所以 CD＝CE＋DE≈40×(0.50＋0.75)＝50 (m) ．
答：铁塔的高度约为50 m． 8分
O
D
C
B
A
（第25题）
25．(本题8分)
解：（1）如图，连接OA．
∵ AB＝AC，∠B＝30°，
∴ ∠C＝∠B＝30°，∠DOA＝2∠B＝60°．
∴ ∠CAO＝90°，
即 OA⊥CA．
又 OA是⊙O的半径，
∴ CA是⊙O的切线． 4分
（2）∵ AB＝2，AB＝AC，
∴ AC＝2． 5分
∵ OA⊥CA，∠C＝30°，
∴ OA＝AC·tan30°＝2·＝2． 6分
∴ S扇形OAD＝＝π． 7分
∴ S阴影＝S△AOC－S扇形OAD＝2－π． 8分
26．(本题9分)
解：在降价的情况下，设每件降价x元，则每天的利润为y1元．
y1＝(20－10－x)(80＋40x)，
即y1＝－40x2＋320x＋800＝－40(x－4) 2＋1440．
当x＝4元时，即定价为16元时，y1最大，即最大利润，最大利润是1440元． 4分
在涨价的情况下，设每件涨价x元，则每天的利润为y2元．
y2＝(20－10＋x)(80－5x)，
即y2＝－5x2＋30x＋800＝－5(x－3) 2＋845．
当x＝3元时，即定价为23元时，y2最大，即最大利润，最大利润是845元． 8分
综上所述，当定价为16元时，每天的利润最大，最大利润是1440元． 9分
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27．(本题11分)
解：（1）正方形，矩形（答案不惟一）． 2分
（2）∵ 在⊙O中，∠DAC和∠DBC是所对的圆周角，
∴ ∠DAC＝∠DBC．
又 ∠MCB＝∠DCA，
∴ △MCB∽△DCA．
∴ ＝，
即 BC·AD＝AC·BM． 4分
∵ 在⊙O中，∠CDB和∠CAB是所对的圆周角，
∴ ∠CDB＝∠CAB．
又 ∠DCM＝∠ACB，
∴ △DCM∽△ACB．
∴ ＝，
即 AB·CD＝AC·DM． 6分
∴ AB·CD＋BC·AD＝AC·DM＋AC·BM＝AC·(DM＋BM)．
即 AB·CD＋BC·AD＝AC·BD． 7分
（3）连接BD．取BD中点M，连接AM、CM．
在Rt△ABD中，BD＝＝3．
M
A
B
C
D
（第27题）
在Rt△BCD中，BC＝＝．
∵ 在Rt△ABD中，M是BD中点，
∴ AM＝BD．
∵ 在Rt△BCD中，M是BD中点，
∴ CM＝BD．
∴ AM＝CM＝MB＝MD．
∴ A、B、C、D四点在以点M为圆心，MA为半径的圆上，
即 四边形ABCD是⊙O的内接四边形．
由（2）的结论可知AB·CD＋BC·AD＝AC·BD．
∴ AC＝． 11分
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