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‎ 北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测 ‎ 数学试卷（理工类） 2018.1‎ ‎（考试时间120分钟 满分150分）‎ 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ 1. 已知集合，，则是 A. B.‎ C. D.‎ ‎2. 已知为虚数单位，设复数满足，则=‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式表示的平面区域内的是 A. B. C. D. ‎ ‎4.“”是“”的 ‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6. 已知圆的圆心为.直线过点且与轴不重合，交圆于两点，点在点，之间.过作直线的平行线交直线于点，则点的轨迹是 A. 椭圆的一部分 B. 双曲线的一部分 ‎ ‎ C. 抛物线的一部分 D. 圆的一部分 12‎ ‎7. 已知函数的图象与直线的公共点不少于两个，则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ 图1‎ ‎8. 如图1，矩形中，.点在边上， 且. 如图2，沿直线向上折起成．记二面角的平面角为，当时， ‎ 图2‎ ① 存在某个位置，使；‎ ② 存在某个位置，使；‎ ③ 任意两个位置，直线和直线所成的角都不相等. ‎ 以上三个结论中正确的序号是 A. ① B. ①② C. ①③ D. ②③‎ 开始 i=1，S=2‎ 结束 i=i+1‎ i>4?‎ 输出S 是 否 S=iS 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. ‎ ‎9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 .‎ ‎10. 执行如图所示的程序框图，输出的值为 .‎ ‎11.中，分别为边中点，若 ‎ ‎（），则_________.‎ ‎12. 已知数列满足（），，().设，则 ; .（用含的式子表示）‎ 12‎ ‎13. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：的一种“图形证明”.‎ 证明思路：‎ ‎（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；‎ ‎（2）左图中阴影区域的面积为，右图中，设，右图阴影区域的面积可表示为_________（用含，的式子表示）；‎ ‎（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式. 当且仅当满足条件__________________时，等号成立.‎ ‎14. 如图，一位同学从处观测塔顶及旗杆顶，得仰角分别为和. 后退 (单位m)至点处再观测塔顶，仰角变为原来的一半，设塔和旗杆都垂直于地面，且，，三点在同一条水平线上，则塔的高为 m；旗杆的高为 m.（用含有和的式子表示）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.‎ ‎15. (本小题满分13分)‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）在中,为角的对边，且满足，‎ 12‎ 且，求的取值范围. ‎ ‎16. (本小题满分13分)‎ 为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI）（AQI指数越小，空气质量越好）统计表.‎ 表1：2016年12月AQI指数表：单位（）‎ 日期 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ AQI ‎47‎ ‎123‎ ‎232‎ ‎291‎ ‎78‎ ‎103‎ ‎159‎ ‎132‎ ‎37‎ ‎67‎ ‎204‎ 日期 ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ AQI ‎270‎ ‎78‎ ‎40‎ ‎51‎ ‎135‎ ‎229‎ ‎270‎ ‎265‎ ‎409‎ ‎429‎ ‎151‎ 日期 ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ ‎31‎ AQI ‎47‎ ‎155‎ ‎191‎ ‎64‎ ‎54‎ ‎85‎ ‎75‎ ‎249‎ ‎329‎ 表2：2017年12月AQI指数表：单位（）‎ 日期 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ AQI ‎91‎ ‎187‎ ‎79‎ ‎28‎ ‎44‎ ‎49‎ ‎27‎ ‎41‎ ‎56‎ ‎43‎ ‎28‎ 日期 ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ AQI ‎28‎ ‎49‎ ‎94‎ ‎62‎ ‎40‎ ‎46‎ ‎48‎ ‎55‎ ‎44‎ ‎74‎ ‎62‎ 日期 ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ ‎31‎ AQI ‎50‎ ‎50‎ ‎46‎ ‎41‎ ‎101‎ ‎140‎ ‎221‎ ‎157‎ ‎55‎ 根据表中数据回答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；‎ ‎（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为，求的分布列及数学期望；‎ ‎（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.‎ 12‎ ‎17. (本小题满分14分)‎ A C B B1‎ C1‎ A1‎ D 如图，在三棱柱中，，是线段的中点，且 平面．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）若，，求二面角 的余弦值.‎ ‎18. (本小题满分13分)‎ 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线的斜率；‎ ‎（Ⅱ）判断方程（为的导数）在区间内的根的个数，说明理由；‎ ‎（Ⅲ）若函数在区间内有且只有一个极值点，求的取值范围.‎ 12‎ ‎19. (本小题满分14分)‎ 已知抛物线的焦点为,过抛物线上的动点（除顶点外）作的切线交轴于点.过点作直线的垂线（垂足为）与直线交于点.‎ ‎（Ⅰ）求焦点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）求证：；‎ ‎（Ⅲ）求线段的长.‎ ‎20. (本小题满分13分)‎ 已知集合，其中.表示中所有不同值的个数.‎ ‎（Ⅰ）若集合，求；‎ ‎（Ⅱ）若集合，求证：的值两两不同，并求；‎ ‎（Ⅲ）求的最小值.（用含的代数式表示）‎ 12‎ 北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测 ‎ 高三年级数学试卷答案（理工类） 2018.1‎ 一、选择题（40分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A C D A A B B C 二、填空题（30分）‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ 答案 ‎ ‎ ‎48‎ ‎ ‎ 题号 ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答案 ‎ ‎ ‎ ‎ 三、解答题（80分）‎ ‎15. （本小题满分13分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）由题知 ‎ ‎ ‎ .‎ 由（），‎ 解得 . ‎ 所以单调递增区间为（）. …………… 6分 ‎（Ⅱ）依题意，由正弦定理，.‎ 因为在三角形中，所以.‎ 即 当时，；‎ 当时，.‎ 由于，所以.‎ 12‎ 则.‎ 则.‎ 又，‎ 所以.‎ 由，‎ 则的取值范围是. ……………… 13分 ‎16. （本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）2017年12月空气质量指数的极差为194. …………………3分 ‎（Ⅱ）可取1，2，3‎ ‎；；.‎ 的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以 . ………………9分 ‎（Ⅲ）这些措施是有效的.可以利用空气质量指数的平均数，或者这两年12月空气质量指数为优的概率等来进行说明.‎ ‎………………13分 ‎17. （本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）证明：因为，所以．‎ ‎ 根据题意， 平面，平面，所以．‎ 因为，所以平面．‎ ‎ 又因为平面，所以平面平面． ………………4分 A C B B1‎ C1‎ A1‎ D E ‎（Ⅱ）证明：连接，设，连接．‎ 根据棱柱的性质可知，为的中点，‎ 12‎ 因为是的中点，‎ 所以．‎ 又因为平面，‎ 平面，‎ 所以平面． ………………8分 ‎（Ⅲ）如图，取的中点，则，‎ 因为，所以，‎ 又因为平面，‎ y x z A C B B1‎ C1‎ A1‎ D F 所以两两垂直．‎ ‎ 以为原点，分别以为 轴建立空间坐标系（如图）.‎ 由（Ⅰ）可知，平面,‎ 所以．‎ 又因为，,‎ 所以平面，所以，‎ 所以四边形为菱形．‎ 由已知，‎ ‎ 则，，，．‎ ‎ 设平面的一个法向量为，‎ 因为，，所以，即 设，则．‎ ‎ 再设平面的一个法向量为，‎ 因为，，所以，即 设，则．‎ 12‎ ‎ 故．‎ 由图知，二面角的平面角为锐角，‎ 所以二面角的余弦值为． …………14分 ‎18. （本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）.. …………3分 ‎（Ⅱ）设，.‎ 当时，，则函数为减函数.‎ 又因为，,‎ 所以有且只有一个，使成立.‎ 所以函数在区间内有且只有一个零点.即方程在区间内有且只有一个实数根. ……………7分 ‎（Ⅲ）若函数在区间内有且只有一个极值点，由于，即在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号.‎ 因为当时，函数为减函数，所以在上，，即成立，函数为增函数；‎ 在上， ，即成立，函数为减函数,‎ 则函数在处取得极大值.‎ 当时，虽然函数在区间内有且只有一个零点，但在 两侧同号，不满足在区间内有且只有一个极值点的要求.‎ 由于，显然.‎ 若函数在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号，‎ 则只需满足：‎ 即 12‎ 解得. ……………13分 ‎19. （本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ） ……………2分 ‎（Ⅱ）设.由，得，则过点的切线的斜率为.‎ 则过点的切线方程为.令，得，即.又点为抛物线上除顶点外的动点，，则.而由已知得，则.‎ 又，即与不重合，‎ 即. …………6分 ‎（Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线的方程为，.直线的方程为，.设和交点的坐标为则 由（1）式得，（由于不与原点重合，故）.代入（2），化简得.又，化简得, （）.‎ 即点在以为圆心，1为半径的圆上.（原点与除外）‎ 即. …………14分 ‎20. （本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）； ………… 3分 ‎（Ⅱ）形如和式共有项，所以.‎ 对于集合中的和式，：‎ 当时，时，；‎ 当时，不妨设，则.‎ 所以的值两两不同.‎ 12‎ 且. ………… 8分 ‎（Ⅲ）不妨设，可得 ‎ .‎ ‎ 中至少有个不同的数.‎ ‎ 即.‎ ‎ 设成等差数列，，‎ 则对于每个和式，其值等于（）或 中的一个.去掉重复的一个,‎ 所以对于这样的集合,.‎ 则的最小值为. ……………13分 12‎