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初三第一学期期末学业水平调研
数 学 2018.1
学校 姓名 准考证号
考
生
须
知
1.本试卷共8页,共三道大题,28道小题,满分100分。考试时间120分钟。
2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级和准考证号。
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。
4.在答题卡上,选择题、作图题用2B铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5.考试结束,将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题(本题共16分,每小题2分)
第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.
1.抛物线的对称轴是
A. B. C. D.
2.在△ABC中,∠C90°.若AB3,BC1,则的值为
A. B. C. D.
3.如图,线段BD,CE相交于点A,DE∥BC.若AB4,AD2,DE1.5,
则BC的长为
A.1 B.2
C.3 D.4
4.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转100°,得到△ADE.若点D在线段
BC的延长线上,则的大小为
A.30° B.40°
C.50° D.60°
5.如图,△OAB∽△OCD,OA:OC3:2,∠Aα,∠Cβ,△OAB与△OCD的面积分别是和,△OAB与△OCD的周长分别是和,则下列等式一定成立的是
A. B.
C. D.
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6.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A从(3,4)出发,绕点O顺时针旋转一周,则点A不经过
A.点M
B.点N
C.点P
D.点Q
7.如图,反比例函数的图象经过点A(4,1),当时,x的取值
范围是
A.或
B.
C.
D.
C
D
A
O
B
8.两个少年在绿茵场上游戏.小红从点A出发沿线段AB运动到点B,小兰从点C出发,以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C,两人的运动路线如图1所示,其中ACDB.两人同时开始运动,直到都停止运动时游戏结束,其间他们与点C的距离y与时间x(单位:秒)的对应关系如图2所示.则下列说法正确的是
图1 图2
A.小红的运动路程比小兰的长
B.两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇
C.当小红运动到点D的时候,小兰已经经过了点D
D.在4.84秒时,两人的距离正好等于⊙O的半径
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二、填空题(本题共16分,每小题2分)
9.方程的根为 .
10.已知∠A为锐角,且,那么∠A的大小是 °.
11.若一个反比例函数图象的每一支上,y随x的增大而减小,则此反比例函数表达式可以是 .(写出一个即可)
12.如图,抛物线的对称轴为,点P,点Q是抛物线与x
轴的两个交点,若点P的坐标为(4,0),则点Q的坐标为 .
13.若一个扇形的圆心角为60°,面积为6π,则这个扇形的半径为 .
14.如图,AB是⊙O的直径,PA,PC分别与⊙O相切于点A,点C,若∠P60°,PA,则AB的长为 .
15.在同车道行驶的机动车,后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离.如图,在一个路口,一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处,小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶.设小张距大巴车尾x m,若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m,红灯下沿高于小张的水平视线3.2m,若小张能看到整个红灯,则x的最小值为 .
16.下面是“作一个30°角”的尺规作图过程.
已知:平面内一点A.
求作:∠A,使得∠A30°.
作法:如图,
(1)作射线AB;
(2)在射线AB上取一点O,以O为圆心,OA为半径作圆,与射线AB相交于点C;
(3)以C为圆心,OC为半径作弧,与⊙O交于点D,作射线AD.
∠DAB即为所求的角.
请回答:该尺规作图的依据是 .
三、解答题(本题共68分,第17~22题,每小题5分;第23~26小题,每小题6分;第27~28小题,每小题7分)
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解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.计算:°°.
18.已知是关于x的方程的一个根,求的值.
19.如图,在△ABC中,∠B为锐角, AB,AC5,,求BC的长.
20.码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物,装载完毕恰好用了8天时间.轮船到达目的地后开始卸货,记平均卸货速度为v(单位:吨/天),卸货天数为t.
(1)直接写出v关于t的函数表达式:v= ;(不需写自变量的取值范围)
(2)如果船上的货物5天卸载完毕,那么平均每天要卸载多少吨?
21.如图,在△ABC中,∠B90°,AB4,BC2,以AC为边作△ACE,∠ACE90°,AC=CE,延长BC至点D,使CD5,连接DE.求证:△ABC∽△CED.
22.古代阿拉伯数学家泰比特·伊本·奎拉对勾股定理进行了推广研究:如图(图1中为锐角,图2中为直角,图3中为钝角).
图1 图2 图3
在△ABC的边BC上取,两点,使,则∽∽,
,,进而可得 ;(用表示)
若AB=4,AC=3,BC=6,则 .
23.如图,函数()与的图象交于点A(-1,n)和点B(-2,1).
(1)求k,a,b的值;
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(2)直线与()的图象交于点P,与的图象交于点Q,当时,直接写出m的取值范围.
24.如图,A,B,C三点在⊙O上,直径BD平分∠ABC,过点D作DE∥AB交弦BC于点E,在BC的延长线上取一点F,使得EFDE.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)连接AF交DE于点M,若 AD4,DE5,求DM的长.
25.如图,在△ABC中,,°,点D是线段BC上的动点,将线段AD绕点A顺时针旋转50°至,连接.已知AB2cm,设BD为x cm,B为y cm.
小明根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究,下面是小明的探究过程,请补充完整.(说明:解答中所填数值均保留一位小数)
(1)通过取点、画图、测量,得到了与的几组值,如下表:
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0.5
0.7
1.0
1.5
2.0
2.3
1.7
1.3
1.1
0.7
0.9
1.1
(2)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象.
(3)结合画出的函数图象,解决问题:
线段的长度的最小值约为__________;
若,则的长度x的取值范围是_____________.
26.已知二次函数.
(1)该二次函数图象的对称轴是x ;
(2)若该二次函数的图象开口向下,当时,的最大值是2,求当时,的最小值;
(3)若对于该抛物线上的两点 ,,当,时,均满足,请结合图象,直接写出的最大值.
27.对于⊙C与⊙C上的一点A,若平面内的点P满足:射线AP与⊙C交于点Q(点Q可以与点P重合),且
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,则点P称为点A关于⊙C的“生长点”.
已知点O为坐标原点,⊙O的半径为1,点A(-1,0).
(1)若点P是点A关于⊙O的“生长点”,且点P在x轴上,请写出一个符合条件的点P的坐标________;
(2)若点B是点A关于⊙O的“生长点”,且满足,求点B的纵坐标t的取值范围;
(3)直线与x轴交于点M,与y轴交于点N,若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”,直接写出b的取值范围是_____________________________.
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28.在△ABC中,∠A90°,ABAC.
(1)如图1,△ABC的角平分线BD,CE交于点Q,请判断“”是否正确:________(填“是”或“否”);
(2)点P是△ABC所在平面内的一点,连接PA,PB,且PBPA.
①如图2,点P在△ABC内,∠ABP30°,求∠PAB的大小;
②如图3,点P在△ABC外,连接PC,设∠APCα,∠BPCβ,用等式表示α,β之间的数量关系,并证明你的结论.
图1 图2 图3
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数学参考答案及评分标准 2018.1
一、选择题(本题共16分,每小题2分)
1
2
3
4
5
6
7
8
B
A
C
B
D
C
A
D
二、填空题(本题共16分,每小题2分)
9.或 10.60 11.(答案不唯一) 12.(,0)
13.6 14.2 15.10
16.三条边相等的三角形是等边三角形,等边三角形的三个内角都是60°,一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半;
或:直径所对的圆周角为直角,三条边相等的三角形是等边三角形,等边三角形的三个内角都是60°,直角三角形两个锐角互余;
或:直径所对的圆周角为直角,,为锐角,.
三、解答题(本题共68分,第17~22题,每小题5分;第23~26小题,每小题6分;第27~28小题,每小题7分)
17.解:原式 = ………………3分
=
= ………………5分
18.解:∵ 是关于x的方程的一个根,
∴ .
∴ . ………………3分
∴ . ………………5分
19.解:作AD⊥BC于点D,
∴ ∠ADB=∠ADC=90°.
∵ AC=5,,
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∴ . ………………2分
∴ 在Rt△ACD中,. ………………3分
∵ AB,
∴ 在Rt△ABD中,. ………………4分
∴ . ………………5分
20.解:
(1). ………………3分
(2)由题意,当时,. ………………5分
答:平均每天要卸载48吨.
21.证明:∵ ∠B=90°,AB=4,BC=2,
∴ .
∵ CE=AC,
∴ .
∵ CD=5,
∴ . ………………3分
∵ ∠B=90°,∠ACE=90°,
∴ ∠BAC+∠BCA=90°,∠BCA+∠DCE=90°.
∴ ∠BAC=∠DCE.
∴ △ABC∽△CED. ………………5分
22.BC,BC, ………………3分
………………5分
23.解:
(1)∵ 函数()的图象经过点B(-2, 1),
∴ ,得. ………………1分
∵ 函数()的图象还经过点A(-1,n),
∴ ,点A的坐标为(-1,2). ………………2分
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∵ 函数的图象经过点A和点B,
∴ 解得 ………………4分
(2)且. ………………6分
24.(1)证明:∵ BD平分∠ABC,
∴ ∠ABD=∠CBD.
∵ DE∥AB,
∴ ∠ABD=∠BDE.
∴ ∠CBD=∠BDE. ………………1分
∵ ED=EF,
∴ ∠EDF=∠EFD.
∵∠EDF+∠EFD+∠EDB+∠EBD=180°,
∴ ∠BDF=∠BDE+∠EDF=90°.
∴ OD⊥DF. ………………2分
∵OD是半径,
∴ DF是⊙O的切线. ………………3分
(2)解: 连接DC,
∵ BD是⊙O的直径,
∴ ∠BAD=∠BCD=90°.
∵ ∠ABD=∠CBD,BD=BD,
∴ △ABD≌△CBD.
∴ CD=AD=4,AB=BC.
∵ DE=5,
∴ ,EF=DE=5.
∵ ∠CBD=∠BDE,
∴ BE=DE=5.
∴ ,.
∴ AB=8. ………………5分
∵ DE∥AB,
∴ △ABF∽△MEF.
∴ .
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∴ ME=4.
∴ . ………………6分
25.(1)0.9. ………………1分
(2)如右图所示. ………………3分
(3)0.7, ………………4分
. ………………6分
26.解:
(1)2. ………………1分
(2)∵ 该二次函数的图象开口向下,且对称轴为直线,
∴ 当时,y取到在上的最大值为2.
∴ .
∴ ,. ………………3分
∵ 当时,y随x的增大而增大,
∴ 当时,y取到在上的最小值.
∵ 当时,y随x的增大而减小,
∴ 当时,y取到在上的最小值.
∴ 当时,y的最小值为. ………………4分
(3)4. ………………6分
27.解:
(1)(2,0)(答案不唯一). ………………1分
(2)如图,在x轴上方作射线AM,与⊙O交于M,且使得,并在AM上取点N,使AM=MN,并由对称性,将MN关于x轴对称,得,则由题意,线段MN和上的点是满足条件的点B.
作MH⊥x轴于H,连接MC,
∴ ∠MHA=90°,即∠OAM+∠AMH=90°.
∵ AC是⊙O的直径,
∴ ∠AMC=90°,即∠AMH+∠HMC=90°.
∴ ∠OAM=∠HMC.
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∴ .
∴ .
设,则,,
∴ ,解得,即点M的纵坐标为.
又由,A为(-1,0),可得点N的纵坐标为,
故在线段MN上,点B的纵坐标t满足:. ………………3分
由对称性,在线段上,点B的纵坐标t满足:.………………4分
∴ 点B的纵坐标t的取值范围是或.
(3)或. ………………7分
28.解:
(1)否. ………………1分
(2)① 作PD⊥AB于D,则∠PDB=∠PDA=90°,
∵ ∠ABP=30°,
∴ . ………………2分
∵ ,
∴ .
∴ .
由∠PAB是锐角,得∠PAB=45°. ………………3分
另证:作点关于直线的对称点,连接,则.
∵∠ABP=30°,
∴.
∴△是等边三角形.
∴.
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∵,
∴. ………………2分
∴.
∴.
∴. ………………3分
② ,证明如下: ………………4分
作AD⊥AP,并取AD=AP,连接DC,DP.
∴ ∠DAP=90°.
∵ ∠BAC=90°,
∴ ∠BAC+∠CAP=∠DAP+∠CAP,
即 ∠BAP=∠CAD.
∵ AB=AC,AD=AP,
∴ △BAP≌△CAD.
∴ ∠1=∠2,PB=CD. ………………5分
∵ ∠DAP=90°,AD=AP,
∴ ,∠ADP=∠APD=45°.
∵ ,
∴ PD=PB=CD.
∴ ∠DCP=∠DPC.
∵ ∠APCα,∠BPCβ,
∴ ,.
∴ .
∴ .
∴ . ………………7分
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