2018.1高三文科数学期末试题(海淀区附答案)
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资料简介
海淀区高三年级第一学期期末练习 数学(文科) 2018.1‎ 第一部分(选择题 共40分)‎ 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。‎ ‎(1)已知是虚数单位,若,则实数的值为 A. B. C. D. ‎ ‎(2)已知,若,则 A. B. C. D. ‎ ‎(3)执行如图所示的程序框图,输出的值为 A.4 ‎ B.5 ‎ C.6 ‎ D.7‎ ‎(4)下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5各同学在一次 数学测试中的选择题的成绩(单位:分,每道题5分,共8道题):‎ 已知两组数据的平均数相等,则的值分别为 A. B. C. D. ‎ ‎(5)已知直线与圆相交于两点,且为正三角形,则实数的值为 A. B. C. 或 D. 或 ‎(6)设,则“”是“直线与直线平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,‎ ‎(7)在中,是的中点,则的取值范围是 13‎ A. B. C. D. ‎ ‎(8)已知正方体的棱长为2,点分别是棱的中点,点在平面内,点在线段上,若,则长度的最小值为 A. B. C. D. ‎ 第二部分(非选择题 共110分)‎ 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。‎ ‎(9)已知双曲线的一条渐近线方程为,则实数的值为 .‎ ‎(10)若变量满足约束条件,则的最大值是 .‎ ‎(11)中, 且的面积为,则 .‎ ‎(12)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的四个面的面积中最大的值是 .‎ 13‎ ‎(13)函数的最大值为 ;若函数的图像与直线有且只有一个公共点,则实数的取值范围是 .‎ ‎(14)某次高三英语听力考试中有5道选择题,每题1分,每道题在三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 得分 甲 C C A B B ‎4‎ 乙 C C B B C ‎3‎ 丙 B C C B B ‎2‎ 则甲同学答错的题目的题号是 ,其正确的选项是 .‎ 三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。‎ ‎(15)(本小题13分)‎ 已知等差数列的前项和,且.‎ ‎(Ⅰ)数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若,求数列前项和.‎ ‎(16)(本小题13分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求函数的定义域;‎ ‎(Ⅱ)求函数的值域.‎ 13‎ ‎(17)(本小题14分)‎ 据中国日报网报道:2017年11月13日,TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示,中国超算在前五名中占据两席,其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。为了了解国产品牌处理器打开文件的速度,某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试,结果如下(数值越小,速度越快,单位是MIPS)‎ 测试1‎ 测试2‎ 测试3‎ 测试4‎ 测试5‎ 测试6‎ 测试7‎ 测试8‎ 测试9‎ 测试10‎ 测试11‎ 测试12‎ 品牌A ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎12‎ ‎17‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎14‎ 品牌B ‎2‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎15‎ ‎5‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎21‎ 设分别表示第次测试中品牌A和品牌B的测试结果,记 ‎(Ⅰ)求数据的众数;‎ ‎(Ⅱ)从满足的测试中随机抽取两次,求品牌A的测试结果恰好有一次大于品牌B的测试结果的概率;‎ ‎(Ⅲ)经过了解,前6次测试是打开含有文字和表格的文件,后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据,运用所学的统计知识,对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.‎ ‎(18)(本小题13分)‎ 如图,三棱柱侧面底面,‎ ‎,分别为棱的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)求三棱柱的体积;‎ ‎(Ⅲ)在直线上是否存在一点,使得平面?若存在,求出的长;若不存在,说明理由.‎ 13‎ ‎(19)(本小题14分)‎ 已知椭圆,直线与椭圆相交于两点,与轴交于点,点与点不重合.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的离心率;‎ ‎(Ⅱ)当时,求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅲ)过原点作直线的垂线,垂足为.若,求的值.‎ ‎(20)(本小题13分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)求证:“”是“函数有且只有一个零点” 的充分必要条件.‎ 13‎ 海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案 数学(文科)‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 选项 A D B B D C A C 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.(有两空的小题第一空3分)‎ ‎9.10.11.或 ‎12.13.114.5 A 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.‎ ‎15(本题共13分)‎ 解:(Ⅰ)设等差数列的首项为,公差为 ‎,解得,------------------------3分 由,则------------------------5分 因此,通项公式为.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知:,则 ‎------------------------7分 因为,------------------------8分 所以是首项为8,公比为的等比数列.------------------------9分 记的前项和为,则 ‎------------------------10分 ‎------------------------12分 ‎---------------------13分 13‎ ‎16(本题共13分)‎ 解:(Ⅰ),------------------------2分 解得:,------------------------3分 所以,函数的定义域为------------------------4分 ‎(Ⅱ)‎ ‎------------------------6分 ‎------------------------8分 ‎------------------------9分 因为,所以,‎ 所以,------------------------11分 所以,函数的值域为.------------------------13分 ‎17.(本题共13分)‎ 解:(Ⅰ)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎7‎ 所以等于1有2次,=2有3次,=4有4次,=6有2次,=7有1次,‎ 则数据的众数为4------------------------5分 ‎(Ⅱ)设事件D=“品牌的测试结果恰有一次大于品牌的测试结果”.‎ 满足的测试共有4次,其中品牌的测试结果大于品牌的测试结果有2次即测试3和测试7,不妨用M,N表示.品牌的测试结果小于品牌的测试结果有2次即测试6和测试11,不妨用P,Q表示.从中随机抽取两次,共有MN,MP,MQ,NP,NQ,PQ六种情况,其中事件D发生,指的是MP,MQ,NP,NQ四种情况.‎ 故. ------------------------10分 ‎(Ⅲ)本题为开放问题,答案不唯一,在此给出评价标准,并给出可能出现的答案情况,阅卷时按照标准酌情给分.‎ 给出明确结论,1分,结合已有数据,能够运用以下两个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由,2分.‎ 标准1: 分别比较两种不同测试的结果,根据数据进行阐述 13‎ 标准2:会用测试结果的平均数进行阐述 ‎------------------------13分 可能出现的作答情况举例,及对应评分标准如下:‎ 结论一:,品牌处理器对含有文字与表格的文件的打开速度快一些,品牌处理器对含有文字与图片的文件的打开速度快一些。‎ 理由如下:从前6次测试(打开含有文字与表格的文件)来看,对于含有文字与表格的相同文件,品牌的测试有两次打开速度比品牌快(数值小),品牌有四次比品牌快,从后6次测试(打开含有文字与图片的文件)来看,对于含有文字与图片的相同文件,品牌有四次打开速度比品牌快(数值小).‎ 结论二:从测试结果看,这两种国产品牌处理器的文件的打开速度结论:品牌打开文件速度快一些 理由如下:品牌处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为,品牌处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为,所以品牌打开文件速度快一些.(且品牌方差较小)‎ 其他答案情况,比照以上情况酌情给分.‎ ‎18.(本题共14分)‎ ‎(Ⅰ)证明:三棱柱中,‎ 侧面底面,,‎ 又因为侧面底面,底面,‎ 所以平面,-----------------------3分 又因为平面,‎ 所以;------------------------4分 ‎(Ⅱ)解:连接 ,因为三棱柱中,所以.‎ 因为,所以.又因为,且.‎ 所以△是边长为2的正三角形.因为是棱的中点,所以,‎ 又因为,,所以.‎ 因为,底面,‎ 所以底面.------------------------6分 所以三棱柱的体积为 13‎ ‎; …………………………8分 ‎(Ⅲ)在直线上存在点,使得平面.------------------------9分 证明如下:连接并延长,与的延长线相交,设交点为.连接.‎ 因为,所以,故----------------------10分 由于为棱的中点,所以,故有----------------------11分 又为棱的中点,‎ 故为的中位线,所以.------------------------12分 又平面,平面,‎ 所以平面. ------------------------13分 故在直线上存在点,使得平面.‎ 此时,. -------------------------14分 ‎19.(本题共14分)‎ 解:(Ⅰ),,,------------------------2分 ‎,故.------------------------4分 ‎(Ⅱ)设,‎ 13‎ ‎,得到,‎ 依题意,由得.‎ 且有,------------------------6分 ‎,------------------------7分 原点到直线的距离------------------------8分 所以------------------------9分 解得>1,‎ 故椭圆方程为.------------------------10分 ‎(Ⅲ)直线的垂线为,------------------------11分 由解得交点,------------------------12分 因为,又 所以=,故的值为1.------------------------14分 ‎20.(本题共13分)‎ 解:(Ⅰ)依题意,-----------------------------1分 所以切线的斜率 又因为,-----------------------------2分 所以切线方程为.-----------------------------3分 ‎(Ⅱ)先证不必要性.‎ 13‎ 当时,,‎ 令,解得.-----------------------------4分 此时,有且只有一个零点,故“有且只有一个零点则”不成立.‎ ‎-----------------------------5分 再证充分性.‎ 方法一:‎ 当时,.‎ 令,解得.-----------------------------6分 ‎(i)当,即时,,‎ 所以在上单调增.‎ 又,‎ 所以有且只有一个零点.-----------------------------7分 ‎(ii)当,即时,‎ ‎,随的变化情况如下:‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 ‎-----------------------------8分 当时,,,所以-----------------------------9分 又 所以有且只有一个零点.-----------------------------10分 ‎(说明:如果学生直接写出时,要扣1分)‎ ‎(iii)当,即时,,随的变化情况如下:‎ ‎0‎ 13‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 ‎-----------------------------11分 因为,所以时,-----------------------------12分 令,则. ‎ 下面证明当时,.‎ 设,则.‎ 当时,在上单调递增;‎ 当时,在上单调递减 所以当时,取得极大值.‎ 所以当时,, 即.‎ 所以.‎ 由零点存在定理,有且只有一个零点.‎ 综上,是函数有且只有一个零点的充分不必要条件.-----------------------------13分 ‎(说明:如果学生写出下面过程,,时,有且只有一个零点.要扣1分)‎ 方法二:‎ 当时,注意到时,,,,‎ 因此只需要考察上的函数零点.-----------------------------7分 ‎(i)当,即时,时,,‎ 单调递增.-----------------------------8分 又 有且只有一个零点.-----------------------------10分 13‎ ‎(ii)当,即时,以下同方法一.‎ 13‎

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