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‎ 北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷 ‎ 高三数学（文科） 2018.1‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的 四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．若集合，，则 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎2．在复平面内，复数对应的点的坐标为 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎3．下列函数中，在区间上单调递增的是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，输出的值为 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎5．若，则有 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎6．一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的 三视图如图所示，则截去的几何体是 ‎（A）三棱锥 ‎（B）三棱柱 ‎（C）四棱锥 ‎（D）四棱柱 第 11 页 共 11 页 ‎7．函数的图象记为曲线C．则“”是“曲线C关于直线 对称”的 ‎（A）充分而不必要条件 ‎（B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 ‎（D）既不充分也不必要条件 ‎8．已知，是函数的图象上的相异两点．若点，到直线的距离相等，‎ 则点，的横坐标之和的取值范围是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．若函数是偶函数，则实数____． ‎ ‎10．已知双曲线的一个焦点是，其渐近线方程为，该双曲线的方程是____． ‎ ‎11．向量在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格 的边长为1，那么____． ‎ ‎12．在△中，，，△的面积为，则____；____． ‎ ‎ ‎ ‎13．已知点的坐标满足条件 设为原点，则的最小值是____．‎ ‎14．已知函数 若，则的值域是____；若的值域是，则实数的取值范围是____．‎ 第 11 页 共 11 页 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求证：当时，．‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 已知数列是公比为的等比数列，且是和的等差中项．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列的前项之积为，求的最大值．‎ 第 11 页 共 11 页 ‎17．（本小题满分13分）‎ 某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A，B两类（评定标准见表1）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了名学生的得分数据，其中等级为的学生中有是男生，等级为的学生中有一半是女生．等级为和的学生统称为类学生，等级为和的学生统称为类学生．整理这名学生的得分数据，得到如图2所示的频率分布直方图．‎ 类别 得分 B A 表1 图2‎ ‎（Ⅰ）已知该市高中学生共万人，试估计在该项测评中被评为类学生的人数；‎ ‎（Ⅱ）某5人得分分别为．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组 成乙组，求“甲、乙两组各有1名类学生”的概率；‎ ‎（Ⅲ）在这名学生中，男生占总数的比例为，类女生占女生总数的比例为， 类男生占男生总数的比例为．判断与的大小．（只需写出结论）‎ 第 11 页 共 11 页 ‎18．（本小题满分14分）‎ 如图，在三棱柱中，平面，.过的平面交于点，交于点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：；‎ ‎（Ⅲ）记四棱锥的体积为，三棱柱的体积为.若，求 的值.‎ ‎19．（本小题满分14分） ‎ 已知椭圆过，两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；‎ ‎（Ⅱ）设点在椭圆上．试问直线上是否存在点，使得四边形是平 行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．‎ 第 11 页 共 11 页 ‎20．（本小题满分13分）‎ 已知函数． ‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为 ‎；‎ ‎（Ⅲ）比较与的大小，并加以证明．‎ 第 11 页 共 11 页 北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末 高三数学（文科）参考答案及评分标准 ‎ ‎ 2018.1‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1．A 2．B 3．D 4．C ‎ ‎5．C 6．B 7．C 8．B ‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. ‎ ‎9． 10． 11． ‎ ‎12．； 13． 14．；‎ 注：第12，14题第一空2分，第二空3分. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. ‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）因为 ‎ [ 4分]‎ ‎ [ 5分]‎ ‎ ， [ 7分]‎ 所以的最小正周期 ． [ 8分]‎ ‎（Ⅱ）因为 ，所以 ． [10分]‎ 所以 ， [12分]‎ 所以 ． [13分]‎ 第 11 页 共 11 页 ‎16．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）因为 是和的等差中项，‎ 所以 ． [ 2分]‎ 因为数列是公比为的等比数列，‎ 所以 ， [ 4分]‎ 解得 ． [ 6分]‎ 所以 ． [ 8分]‎ ‎（Ⅱ）令，即，得， [10分]‎ 故正项数列的前项大于1，第项等于1，以后各项均小于1． [11分]‎ 所以 当，或时，取得最大值， [12分]‎ 的最大值为 ． [13分]‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）依题意得，样本中类学生所占比例为， [ 2分]‎ 所以类学生所占比例为． [ 3分]‎ 因为全市高中学生共万人，‎ 所以在该项测评中被评为类学生的人数约为8万人． [ 4分]‎ ‎（Ⅱ）由表1得，在5人（记为）中，类学生有2人（不妨设为）．‎ ‎ 将他们按要求分成两组，分组的方法数为种． [ 6分]‎ ‎ 依次为： ． [ 8分]‎ ‎ 所以“甲、乙两组各有一名类学生”的概率为． [10分]‎ ‎（Ⅲ）． [13分]‎ 第 11 页 共 11 页 ‎18．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ） 因为 平面，所以 ． [ 2分]‎ 在三棱柱中，因为 ，所以 四边形为菱形，‎ 所以 ． [ 3分]‎ ‎ 所以 平面． [ 5分]‎ ‎（Ⅱ）在 三棱柱中， ‎ 因为 ，平面， [ 6分]‎ 所以 平面． [ 8分]‎ ‎ 因为 平面平面，‎ 所以 ． [10分]‎ ‎（Ⅲ）记三棱锥的体积为，三棱柱的体积为.‎ 因为三棱锥与三棱柱同底等高，‎ 所以 ， [11分]‎ 所以 . ‎ 因为 ， 所以 . [12分]‎ 因为 三棱柱与三棱柱等高， ‎ 所以 △与△的面积之比为， [13分]‎ 所以 ． [14分]‎ ‎ ‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）由题意得，，． [ 2分]‎ 所以椭圆的方程为． [ 3分]‎ 设椭圆的半焦距为，则 ， [ 4分]‎ 所以椭圆的离心率． [ 5分]‎ 第 11 页 共 11 页 ‎（Ⅱ）由已知，设，． [ 6分]‎ 若是平行四边形，则 ， [ 8分]‎ 所以 ，‎ 整理得 ． [10分]‎ 将上式代入 ，‎ 得 ， [11分]‎ 整理得 ，‎ 解得 ，或． [13分]‎ 此时 ，或．经检验，符合四边形是平行四边形，‎ 所以存在 ，或满足题意． [14分]‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）函数的定义域是，‎ 导函数为． [ 1分]‎ 所以， 又，‎ 所以曲线在点处的切线方程为． [ 3分]‎ ‎（Ⅱ）由已知． [ 4分]‎ 所以只需证明方程 在区间有唯一解．‎ 即方程 在区间有唯一解． [ 5分] ‎ 设函数 ， [ 6分] ‎ ‎ 则 ．‎ 当 时，，故在区间单调递增． [ 7分]‎ 又 ，，‎ 第 11 页 共 11 页 所以 存在唯一的，使得． [ 8分]‎ 综上，存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为 ‎． [ 9分]‎ ‎（Ⅲ）．证明如下： [10分]‎ 首先证明：当时，．‎ 设 ， [11分]‎ 则 ．‎ 当 时，，，‎ 所以 ，故在单调递增， [12分]‎ 所以 时，有，‎ 即当 时，有．‎ 所以 ． [13分]‎ 第 11 页 共 11 页