2013学年第一学期期末质量检测
初三数学试卷
（测试时间：100分钟，满分：150分） 2014.01
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．两个相似三角形的面积比为1∶4，那么这两个三角形的周长比为（ ）
（A）1∶2； （B）1∶4； （C）1∶8； （D）1∶16．
2．如果向量与单位向量方向相反，且长度为，那么向量用单位向量表示为（ ）
（A）； （B）； （C）； （D）．
3．将抛物线向右平移个单位，所得新抛物线的函数解析式是（ ）
（A）； （B）；
（C）； （D）．
4．在Rt△ABC中，∠A=90°，如果把这个直角三角形的各边长都扩大2倍，那么所得到的直角三角形中，∠B的正切值（ ）
（A）扩大2倍； （B）缩小2倍； （C）扩大4倍； （D）大小不变 ．
5．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=，BC=m，那么AB的长为（ ）
（A）； （B）； （C）； （D）．
6．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是点P，对称轴与x轴相交于点Q，以点P为圆心，PQ长为半径画⊙P，那么下列判断正确的是（ ）
（A）x 轴与⊙P相离； （B）x 轴与⊙P相切；
（C）y 轴与⊙P与相切； （D）y 轴与⊙P相交．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．如果，那么= ▲ ．
8．已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，，那么的值等于
▲ ．
9．计算： ▲ ．
10．抛物线的对称轴是 ▲ ．
11．二次函数的图像向下平移2个单位后经过点（1，3），那么 ▲ ．
12．已知在△ABC中，∠C=90°，AB=12，点G为△ABC的重心，那么CG= ▲ ．
13．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，那么∠A= ▲ 度．
14．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=3，那么AC= ▲ ．
15．已知内切两圆的圆心距为6，其中一个圆的半径为4，那么另一个圆的半径为 ▲ ．
16．如果正n边形的每一个内角都等于144°，那么n= ▲ ．
17．正六边形的边长为，面积为，那么关于的函数关系式是 ▲ ．
A
C
B
B'
A'
D
第18题图
18．在Rt△ABC中，∠C=90°，，
把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到
Rt△A'B'C，其中点B' 正好落在AB上，
A'B'与AC相交于点D，那么 ▲ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
计算：
20．（本题满分10分, 其中第（1）小题6分，第（2）小题4分）
已知一个二次函数的图像经过点（4，1）和（，6）．
（1）求这个二次函数的解析式；
O
C
A
B
（2）求这个二次函数图像的顶点坐标和对称轴．
21．（本题满分10分）
如图，已知AB是⊙O的弦，点C在线段AB上，OC=AC=4，CB=8．
求⊙O的半径．
22．（本题满分10分）
如图，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，右图是侧面示意图。已知自动扶梯AB的坡度为1:2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，求二楼的层高BC（精确到0.1米）．
（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
M
N
A
B
C
P
Q
23．（本题满分12分，每小题各6分）
如图，在□ABCD中，E是AB的中点，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点G．
（1）求证：AB=3FG；
A
B
C
D
E
F
G
（2）若AB : AC=:，求证：．
24．（本题满分12分，每小题各4分）
y
x
O
1
1
-1
-1
A
B
已知，二次函数的图像经过点和点B，其中点B在第一象限，且OA=OB，cot∠BAO=2．
（1）求点B的坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）过点B作直线BC平行于x轴，直线BC与二次函数图像的另一个交点为C，联结AC，如果点P在x轴上，且△ABC和△PAB相似，求点P的坐标．
25．（本题满分14分，其中第（1）小题8分，第（2）小题6分）
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点E．
（1）如图1，若点E在线段BC的延长线上，设AP=x，CE=y，
① 求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
② 当以BE为直径的圆和⊙P外切时，求AP的长；
（2）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点I，若CI=AP，求AP的长．
A
C
B
A
P
D
C
B
E
图1
参考答案和评分标准
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．A； 2．C； 3．B； 4．D； 5．C； 6．B．
二．填空题：（本大题共12题，满分48分）
7．2； 8．； 9．； 10．直线； 11．3； 12．4；
13．60°； 14．9； 15．10； 16．10； 17．； 18．．
三、（本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）
19. 解：原式 ……………………………………（6分）
．……………………………………………………………（4分）
．……………………………………………………………（4分）
20．解：（1）由题意，得
………………………………………………（2分）
解这个方程组，得…………………………………………（3分）
∴所求二次函数的解析式是．………………………（1分）
（2）顶点坐标是（2，-3）．…………………………………………（2分）
对称轴是直线．……………………………………………（2分）
21．解：联结OA， 过 点O作OD⊥AB， 垂足为点D．…………………（1分）
∵AC=4，CB=8，∴AB=12．
∵OD⊥AB，∴AD=DB=6，…………………………………………（3分）
∴CH=2．………………………………………………………………（1分）
在中，，OC=4 ，CH=2，
∴．…………………………………………………………（2分）
在中，，
．……………………………………………………………（2分）
∴⊙O的半径是．…………………………………………（1分）
22．解：延长CB交PQ于点D．…………………………………………………（1分）
∵MN∥PQ， BC⊥MN，∴BC⊥PQ．……………………………………（1分）
∵自动扶梯AB的坡度为1:2.4，∴．…………………（1分）
设米，米,则米．
∵AB=13米，∴ ，∴ 米，米．…………………（3分）
在中，，，
∴米，…………………………（3分）
∴米．………………………………………………………………（1分）
答：二楼的层高BC约为5.8米．
23．证明：（1）在□中，AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，
又∵E是AB的中点，∴，………………………………（2分）
∵FG∥AB， ∴FG∥CD， ∴，……………………（2分）
∴， ∴AB=3FG．………………………………………………（2分）
（2）设，，
则，．
∴，，
∴．……………………………………………………（1分）
又∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴∠AEF=∠ACB．…………（2分）
∵FG∥AB，AD∥BC；∴∠AEF=∠DFG，∠ACB=∠DAF，
∴∠DFG=∠DAF． ………………………………………………………（1分）
又∵∠FDG=∠ADF， ∴△FDG∽△ADF，
∴， ∴．…………………………………（2分）
24． 解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为点D
在中，，
． ………………………………………………………（1分）
设BD=x，AD=2x，由题意，得OA=0B=5，∴OD=2x-5．
在中，，∴，
解得，（不合题意，舍去）．…………………………………（2分）
∴BD=4，OD=3， ∴点B的坐标是（3，4）． ……………………………（1分）
（2）由题意，得，………………………………………………（2分）
解这个方程组，得 …………………………………………（1分）
∴二次函数的解析式是．…………………………（1分）
（3）∵直线BC平行于x轴，∴C点的纵坐标为4，设C点的坐标为（m，4）．
由题意，得， 解得（不合题意，舍去），．
∴C点的坐标为（-8，4）， BC=11， AB= ．……………………………（1分）
∵，
①如果∽，那么，
∴AP=11，点P的坐标为（6，0）．…………………………………………（1分）
②如果∽，那么，
∴AP=，点P的坐标为（，0）．……………………………………（1分）
综上所述，点P的坐标为（6，0）或（，0）．………………………（1分）
注：只写出答案没有解题过程得2分．
25．解：（1）①∵AP=DP，∴∠PAD=∠PDA．
∵∠PDA=∠CDE，∴∠PAD=∠CDE．
∵∠ACB=∠DCE=90°，∴△ABC∽△DEC．…………………………………（1分）
∴∠ABC=∠DEC，．
∴PB=PE．
Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5．
又AP=x，∴PB=PE=5-x，DE=5-2x，
∴
∴（）．……………………………………………………（3分）
注：其中x取值范围1分．
②设BE的中点为Q，联结PQ．
∵PB=PE，∴PQ⊥BE，又∵∠ABC=90°，∴PQ∥AC，
∴，∴，
∴，．……………………………………………（2分）
当以BE为直径的圆和⊙P外切时， ．……………（1分）
解得，即AP的长为．……………………………………………（2分）
（2）如果点E在线段BC延长线上时，
由（1）②的结论可知，………（1分）
．…………………………………（1分）
在Rt△CQI中，
．…（1分）
∵CI=AP，∴，
解得，（不合题意，舍去）．
∴AP的长为．…………………………………………………………（1分）
同理，如果点E在线段BC上时，
，
．
在Rt△CQI中，．
∵CI=AP，
∴，解得（不合题意，舍去），．
∴AP的长为4．……………………………………………………………（2分）
综上所述，AP的长为或．
注：1、只有答案没有过程时写出得1分，写出4得2分．
2、有过程但没有进行分类讨论就得出或得4分．
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