期末检测题
（本检测题满分：120分，时间：120分钟）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1.下列关于两个三角形全等的说法：
①三个角对应相等的两个三角形全等；
②三条边对应相等的两个三角形全等；
③有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；
④有两边和一个角对应相等的两个三角形全等．
正确的有（ ）
第2题图
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图，在△中，，平分∠，⊥，⊥，为垂足，则下列四个结论：（1）∠=∠；（2）； （3）平分∠；（4）垂直平分．其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.已知实数x，y满足+=0，则x-y等于（ ）
A.3 B.-3 C.1 D.-1
4.已知等腰三角形的两边，b，满足+(2+3-13)2=
0，则此等腰三角形的周长为( )
A.7或8 B.6或10 C.6或7 D.7或10
第5题图
5.如图所示，直线是的垂直平分线且交于点，其中
．甲、 乙两人想在上取两点，使得
，其作法如下：
（甲）作∠、∠的平分线，分别交于点
则点即为所求；
（乙）作的垂直平分线，分别交于点，则点即
为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（ ）
A.两人都正确 B.两人都错误
C.甲正确，乙错误 D.甲错误，乙正确
6.（2013·临沂中考）计算-9的结果是( )
第7题图
A.-
C.-
7.如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QPS中（ ）
A.全部正确 B.仅①和②正确 C.仅①正确 D.仅①和③正确
8.(2013·聊城中考)不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A B
C D
二、填空题（每小题3分，共24分）
9.化简的结果是 .
10.若分式方程的解为正数，则的取值范围是 .
11.（2013·青岛中考）计算：+÷＝ .
12.(2013·烟台中考)不等式组的最小整数解是 .
13.如图所示，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，连接AD、CE，若∠BAD=39°，那么∠BCE= 度.
第14题图
14.如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点
P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是 .
15.（2013·安徽中考）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 .
16.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为 ．
三、解答题（共72分）
17.(8分)(2013·菏泽中考)解不等式组并指出它的所有的非负整数解.
18.（8分）（2013·广东中考）从三个代数式：①-2ab+,②3a-3b,③中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当a=6，b=3时该分式的值.
19.（6分）（2013·绵阳中考）解方程：-1=.
20.（8分）先将代数式化简，再从-1，1两数中选取一个适当的数作为的值代入求值.
21.(8分)如图所示：已知BD=CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：点D在∠BAC的平分线上．
第21题图
22.（8分）如图所示，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于点G．求证：GD=GE．
23.（8分）（2013·娄底中考）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4 800元.已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元.
（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？
（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？
24.（8分）如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点且∠ABD=60°，∠ADB=90°-
∠BDC．求证：AC=BD+CD．
第24题图
25.（10分）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，
BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．
求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．
期末检测题参考答案
1.B 解析：①不正确，因为判定三角形全等必须有边的参与；
②正确，符合判定方法SSS；
③正确，符合判定方法AAS；
④不正确，此角应该为两边的夹角才能符合SAS．
所以正确的说法有2个．故选B．
2.C 解析：∵，平分∠，⊥，⊥，
∴ △是等腰三角形，⊥，，∠=∠=90°，
∴ ，∴ 垂直平分，∴（4）错误.
又∵ 所在直线是△的对称轴，
∴（1）∠=∠；（2）；（3）平分∠都正确．
故选C．
3. A 解析:根据题意得 ∴ 则x-y=2-(-1)=3.
4.A 解析：由绝对值和平方的非负性可知，解得
分两种情况讨论：
①当2为底边时，等腰三角形三边长分别为2，3，3，2+3＞3，满足三角形三边关系，此时三角形周长为2+3+3=8；
②当3为底边时，等腰三角形三边长分别为3，2，2，2+2＞3，满足三角形三边关系，此时，三角形周长为3+2+2=7.
第5题答图
∴ 这个等腰三角形的周长为7或8.故选A.
5.D 解析：甲错误，乙正确．
∵ 是线段的垂直平分线，
∴ △是等腰三角形，即，∠=∠.
作的垂直平分线分别交于点，连接CD、CE，
则 ∠=∠，∠=∠.
∵ ∠=∠，∴ ∠=∠.
∵ ，∴ △≌△，∴ .
∵ ，∴ ．故选D．
6. B 解析：-9=4-3=.
点拨：二次根式的运算一般是先化简,再合并同类二次根式.
7.B 解析：∵ PR=PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，AP=AP，
∴ △ARP≌△ASP（HL），∴ AS=AR，∠RAP=∠SAP.
∵ AQ=PQ，∴ ∠QPA=∠QAP，∴ ∠RAP=∠QPA，∴ QP∥AR.
而在△BPR和△QPS中，只满足∠BRP=∠QSP=90°和PR=PS，找不到第3个条件，
所以无法得出△BPR≌△QPS.故本题仅①和②正确．故选B．
8.A 解析：先解不等式3x-12，得x1, 解不等式4-2x≥0，得x≤2,再将它们的解集表示在数轴上，如选项A所示.
点拨：本题考查一元一次不等式组的解法.解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀（同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解））求出这些解集的公共部分.
9.1 解析：原式=÷（+2）=×=1．
10.＜8且≠4 解析：解分式方程，得，得=8-.
∵ ＞0，∴ 8-＞0且-4≠0，∴ ＜8且8-4≠0，∴ ＜8且≠4．
11. 解析：本题考查了实数的运算法则，，或者
12.x3 解析：解这个不等式组，得∴ 解集为x2，
∴ 不等式组的最小整数解是x=3.
13.39 解析：∵ △ABC和△BDE均为等边三角形，
∴ AB=BC，∠ABC =∠EBD=60°，BE=BD.
∵ ∠ABD=∠ABC +∠DBC，∠EBC=∠EBD +∠DBC，
∴ ∠ABD=∠EBC，
∴ △ABD≌△CBE，∴ ∠BCE=∠BAD =39°．
14.3 解析：要使△PBG的周长最小，而BG=1一定，只要使BP+PG最短即可．
连接AG交EF于点M．
∵ △ABC是等边三角形，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，∴ AG⊥BC.
又EF∥BC，∴ AG⊥EF，AM=MG，∴ A、G关于EF对称，
∴ P点与E重合时，BP+PG最小，即△PBG的周长最小，
最小值是PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG=2+1=3．
15.x≤ 解析：要使在实数范围内有意义，需满足1-3x≥0,解得x≤
点拨：二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.
16.20°或120° 解析：设两内角的度数为、4.
当等腰三角形的顶角为时，+4+4=180°，=20°；
当等腰三角形的顶角为4时，4++=180°，=30°，4=120°.
因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．
17.解：
由①，得x＞-2.由②，得x≤.
∴ 原不等式组的解集是-2＜x≤.
∴ 它的非负整数解为0,1,2.
18.解：选取①②，得==.当=6,=3时，原式==1.
19.分析：因为+x－2=（x+2）（x－1），所以把方程两边同乘（x+2）(x-1),去分母化为整式方程求解.
解：原方程可化为=,去分母，得x+2=3,移项，合并同类项，得x＝1.
经检验，当x=1时，x-1=0，所以原方程无解.
点拨：解分式方程必须验根.
20.解：原式=（+1）×=，
当=-1时，分母为0，分式无意义，故不满足，
当=1时，成立，代数式的值为1．
21.分析：此题根据条件容易证明△BED≌△CFD，然后利用全等三角形的性质和角平分线的性质就可以证明结论．
证明：∵ BF⊥AC，CE⊥AB，∴ ∠BED=∠CFD=90°.
在△BED和△CFD中，
∴ △BED≌△CFD，∴ DE=DF.
又∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∴ 点D在∠BAC的平分线上．
22.分析：从图形看，GE，GD分别属于两个显然不全等的三角形：
△GEC和△GBD．此时就要利用这两个三角形中已有的等量条件，
结合已知添加辅助线，构造全等三角形．方法不止一种，下面证法
是其中之一．
证明：过点E作EF∥AB且交BC的延长线于点F．在△GBD 和
△GEF中， ∠BGD=∠EGF(对顶角相等)， ①
∠B=∠F(两直线平行，内错角相等)． ②
又∠B=∠ACB=∠ECF=∠F，所以，△ECF是等腰三
角形，从而EC=EF．
又因为EC=BD，所以BD=EF． ③
由①②③知△GBD≌△GFE (AAS)， 所以 GD=GE．
23.分析：（1）设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2x趟，根据总工作效率为得出方程+=求解.
（2）分别表示出甲、乙两车单独运每一趟所需费用，再根据关键语句“两车各运12趟可完成，需支付运费4 800元”可得方程，通过解方程求出甲、乙两车单独运每一趟所需费用，再分别计算出单独租用甲车或乙车所需费用，然后进行比较即可.
解：（1）设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2x趟，根据题意，得+=，解得x=18，则2x=36，经检验，x=18是原方程的解.
答： 甲车单独运完需18趟，乙车单独运完需36趟.
（2）设甲车每一趟的运费是a元，由题意，得12a+12（a-200）=4 800，解得a=300，
则乙车每一趟的费用是300-200=100（元），单独租用甲车总费用是18×300=5 400（元），
单独租用乙车总费用是36×100=3 600（元），3 600＜5 400，
故单独租用一台车，租用乙车合算.
点拨：
此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程求解.
24.分析：以AD为轴作△ABD的对称图形△AD，后证明C、D、三点在一条直线上，及△AC是等边三角形，继而得出答案．
第24题答图
证明：以AD为轴作△ABD的对称图形△AD（如图），
则有D=BD，A=AB=AC，
∠=∠ABD=60°，∠AD=∠ADB=∠BDC，
所以∠AD∠ADB∠BDC=∠BDC∠BDC
∠BDC=180°∠BDC∠BDC=180°，
所以C、D、三点在一条直线上，所以△AC是等边三角形，
所以CA=C=CD+D=CD+BD．
25.分析：（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可证出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．
（2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF即可．
证明：（1）∵ AD∥BC（已知），∴ ∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等）.
∵ E是CD的中点（已知），∴ DE=EC（中点的定义）．
∵ 在△ADE与△FCE中，∠ADC=∠ECF，DE=EC，∠AED=∠CEF，
∴ △ADE≌△FCE（ASA），∴ FC=AD（全等三角形的性质）．
（2）∵ △ADE≌△FCE，∴ AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等）.
又BE⊥AE，∴ BE是线段AF的垂直平分线，∴ AB=BF=BC+CF.
∵ AD=CF（已证），∴ AB=BC+AD（等量代换）．
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