2014年蔡襄中学“庆元旦”九年数学竞赛试题
满 分:150分 时间:120分
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．一套《少儿百科全书》总价为270元，张老师只用20元和50元两种面值的人民币正好全额付清了书款，则他可能的付款方式一共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
2．设为实数，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
3. 如图，将一块边长为4cm的正方形纸片ABCD，叠放在一块足够大的直角三角板上（并使直角顶点落在A点），设三角板的两直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E，那么四边形AECF的面积为（ ）
A．12cm2 B．14cm2
C．16cm2 D．18cm2
4. 若关于的方程的两个解是，则关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
5.三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于P．则与三角形PBC的面积相等的长方形是（ ）
A． B．
C． D．
6． 公司职员小王和小陈在同一办事处工作，某天下午2点整要参加公司总部的西部大开发研讨会．下午小陈1点整从办事处出发，乘出租车于1点50分提前到达公司总部；小王因忙于搜集资料，1点25分才出发，为了赶时间，他让出租车从小路走，虽然路程比小陈走的路程缩短了10千米，但由于路况问题，出租车的平均速度比小陈乘坐的出租车的平均速度每小时慢6千米，所以小王还是迟到了5分钟．设小陈乘坐的出租车的平均速度为x千米/时，小陈从办事处到公司总部的距离为y千米，那么（ ）
A．x=30，y=36 B．x=3，y=36
C．x=36，y=30 D．x=3.6，y=30
P2012
P1
P2
P3
P4
1
2
3
4
2012
…
S1
S2
S3
S2012
O
7．如图，在反比例函数y=（x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，…，Pn，…，它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，Pn，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，Sn，…，则S1+S2+S3 +…+S2012 的结果为( )
A． B．
C． D．
8．如图，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作正△BCE、正△ABF和正△ACD，
已知BC=3，高AH=1，则五边形BCDEF的面积是（ ）
A． B．
C．6 D．
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．如图是二次函数y=ax2+bx的图象，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则实数m的最大值为 ．
第9题图 第10题图 第11题图
10．如图，直线(＞0)与双曲线在第一象限内的交点为R，与轴的交点为P，与轴的交点为Q；作RM⊥轴于点M，若△OPQ与△PRM的面积之比是4∶1，则 .
11. 抛物线与及轴所围成图形的面积（即图中阴影部分的面积）是 。
A’
第12题图 第14题图
12．正方形对角线BD长为10，BG是∠DBC的角平分线，点E是BC边上的动点，在BG上找一点F，使CF+EF的值最小，则EF= 。
13．在平面直角坐标系中，如果直线y＝kx与函数y＝ 的图象恰有3个不同的交点，则k的取值范围是______________．
14．如图,在长和宽分别是8和7矩形内,放置了如图中了BCDCR如如5个大小相同的正方形,则正方形的边长是 .
三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）
15．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…，叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为，第二个三角形数记为，…，第n个三角形数记为，…，求的值。
16.
绿都超市对顾客实行优惠购物，规定如下：
（1）若一次购物少于200元，则不予优惠；
（2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；
（3）若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠．
小明两次去该超市购物，分别付款198元和554元．现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少元？
17. 已知AB是⊙O的直径，C、E是⊙O上的点， CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为D、F，过点E作 EG⊥0C，垂足为G，延长EG交OA于H。
求证：
（1）HO·HF=HG·HE；
（2）FG=CD
A
O
B
A′
C
18．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△A如图放置，点A、B′
B的坐标分别为(0，3)、(1，3)，将此直角三角形绕点顺时针旋转90°，得到Rt△，若抛物线过点A，，与轴的另一个交点为C。
(1)求点C的坐标；
(2) 设抛物线的顶点为D,过点D作直线 P为线段BM上一动点,求以A,B,P为顶点的三角形和以C,P,M为顶点的三角形相似时点P的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点E,使得△和△的面积相等?若存在,请求出点E的坐标,若不存在,请说明理由.
2014年蔡襄中学“庆元旦”九年数学竞赛试题
评分意见与参考答案
一、选择题
1．B 2．C 3．C 4．D 5．B 6．C 7．D 8． A
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9． 3 10． 11． 12． 13． 14．
三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）
15．解：由题意，得：
＝３－１＝２ ---------------------- 1分
＝６－３＝３ ---------------------- 1分
＝１０－６＝４
……
---------------------- 4分
以上各式相加，得：
---------------------- 2分
∴ ---------------------- 2分
∴ ＝20100 ---------------------- 2分
16．解：根据题意可知函数解析式为：
y=x（0≤x＜200），y=0.9x（200≤x＜500），y=0.8x+450（x≥500）
------------------------- 3分
∵200×0.9=180
∴小明付款198元所购的实际价值有两种情况，
即198元或198÷0.9=220元 ------------------------- 4分
∵554＞500
∴小明付款554元所购的实际价值设为x元，则450+0.8（x-500）=554
解得x=630 -------------------------------------------------- 2分
∴小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，实际价值为198+630=828（元）或220+630=850（元） --------------------- 2分
即所付款数为450+（828-500）×0.8=712.4（元）或450+（850-500）×0.8=730（元）． --------------------- 1分
答：小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款712.4元或730元．
17. 解：（1）证明：∵ EG⊥0C， EF⊥AB
∴ ∠HGO=∠HFE=90 --------------------- 2分
又 ∵ ∠GHO=∠FHE ∴△HGO∽△HFE ------------ 2分
∴ 即HO·HF=HG·HE --------------------- 2分
（2）过点G作 GM⊥0H，垂足为M，连结OE
∵ ，∠EHO=∠FHG
∴ △HGF∽△HOE --------------- 2分
∴ ∠HFG=∠HEO
∴ Rt△FGM∽Rt△EOG ----------- 2分
∴
又 GM∥CD ∴ 即
∴ 由OE=OC，得GF=CD --------------------- 2分
方法二：如图添加辅助线，则
KL=2GF，CN=2CD
∵ ∠HEL=∠AOC，
∴ KL= CN， ∴ GF= CD
18. 解：
(1)∵Rt△由Rt△A旋转得到，且点A的坐标为(0，3)，
点的坐标为(3，0)。
∵抛物线过A (0，3)，(3，0)
∴解得 -------------------------------- 2分
∴过点A，的抛物线的解析式为 ----------1分
∴ -------------------------- 1分
（2）由（1）得D点坐标为（1，4），∴点B在直线DM上，
设点P的坐标为（1，），则AB=1，PM=，BP=3-
B′
A
O
B
A′
C
D
M
P
以A,B,P为顶点的三角形和以C,P,M为顶点的三角形相似有两种情况:
① 若△ABP∽△CMP,
则
△ABP∽△CMP. --------------- 2分
② 若△ABP∽△PMC,则
△ABP∽△PMC. --------------- 4分
故
以A,B,P为顶点的三角形和以C,P,M为顶点的三角形相似.
B′
A
O
B
A′
C
D
M
E
Q
H
F
(3)存在,理由如下:
易得直线A的解析式为,D(1,4).
设对称轴与A交于点H,显然H(1,2)则DH=
设E(m,),过点E作
EF∥交于F, 交A于Q,
则Q(m,-m+3).
若
①
-------------------------- 2分
2分
②
------------------2分
2分
综上所述E点坐标为,或
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