第11章 几何证明初步检测题
【本试卷满分100分，测试时间90分钟】
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列语句中，不是命题的是（ ）
A．若两角之和为90°，则这两个角互补 B．同角的余角相等
C．作线段的垂直平分线 D．相等的角是对顶角
2. 下列语句中属于定义的是（ ）
A．直角都相等 B．作已知角的平分线
C．连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离 D．两点之间，线段最短
3. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A．若＞0，则＞0，＞0 B．若＜0，则＜0，＜0
C．若=0，则=0且=0 D．若=0，则=0或=0
4. 下面关于公理和定理的联系说法不正确的是（ ）
A．公理和定理都是真命题
B．公理就是定理，定理也是公理
C．公理和定理都可以作为推理论证的依据
D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明
5. 下列命题正确的是（ ）
A．两直线与第三条直线相交，同位角相等 B．两直线与第三条直线相交，内错角相等
C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同旁内角相等
第6题图
6. 对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到∥的是（ ）
A．∠1=∠2 B. ∠2=∠4 C. ∠3=∠4 D．∠1+∠4=180°
7.如图，用两个相同的三角板按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是（ ）
A．同位角相等两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行
第7题图
C．内错角相等两直线平行 D．平行于同一条直线的两直线平行
8. 如图所示，直线被第三条直线所截，现给出下列四个条件： ①∠1=∠5；②∠1=∠7；③∠2=∠6；④∠4+∠7=180°.
其中能说明∥的条件有（ ）个．
A.1 B.2 C.3 D.4
9. 如图，直线AB、CD交于点O，OT⊥AB于O，CE∥AB交CD于点C，若∠ECO=30°，则∠DOT等于（ ）
第9题图
A．30° B．45° C．60° D．120°
第10题图
10. 图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列选项正确的是（ ）
A．∠2=∠4+∠7 B．∠3=∠1+∠6
C．∠1+∠4+∠6=180° D．∠2+∠3+∠5=360°
二、填空题（每小题3分，共24分）
第12题图
11. 写一个与直角三角形有关的定理 .
12. 如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2= 度．
13. 如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2=80°，则∠B=
度．
14. 若一个三角形的三个内角之比为4∶3∶2，则这个三角形的最大内角为 度.
15.“两条直线被第三条直线所截，同位角相等”的题设是 ，结论是 .
16. 如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠3=20°，则∠2= .
第16题图
第13题图
17. 珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，则∠CDE= 度.
18. 如图所示，AB∥CD，∠ABE=66°，∠D=54°，则∠E为 度．
第17题图
第18题图
三、解答题（共46分）
19.（6分） 下列句子是命题吗？若是，把它改写成“如果……那么……”的形式，并判断是否正确．
（1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？
（2）垂线段最短，对吗？
（3）等角的补角相等．
（4）两条直线相交只有一个交点．
（5）同旁内角互补．
（6）邻补角的角平分线互相垂直．
第20题图
20. （6分）如图，在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE，给出下列五个关系式：①AD∥BC；②DE=CE；③∠1=∠2；④∠3=∠4；⑤AD+BC=AB.将其中的三个关系式作为题设，另外两个作为结论，便构成一个命题．
（1）用序号写出一个真命题（书写形式：如果×××，那么×××），并给出证明．
（2）用序号再写出三个真命题（不要求证明）.
第22题图
21.（6分）定理证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
22.（6分）已知：如图所示，E是AB、CD外一点，∠D=
∠B+∠E，求证：AB∥CD．
23.（6分） 如图，AB∥EF，问∠A、∠C、∠1有何等量关系？证明你的结论．
24.（8分）如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E．求证：AD∥BC．
25.（8分）已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB．
第25题图
第24题图
第23题图
第11章 几何证明初步检测题参考答案
1. C 解析：根据命题的定义，可知A、B、D都是命题，而C属于作图语言，不是命题．
故选C．
2. C 解析：A是直角的性质，不是定义；B是作图语言，不是定义；C是定义；D是公理，不是定义．故选C．
3. D 解析：A、＞0可得同号，可能同为正，也可能同为负，是假命题；
B、＜0可得异号，所以错误，是假命题；
C、=0可得中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零，是假命题；
D、真命题．故选D．
4. B 解析：根据公理和定理的定义，可知A，C，D是正确的，B是错误的．故选B．
5. C 解析：A、错误，两平行线与第三条直线相交，同位角相等；
B、错误，两平行线与第三条直线相交，内错角相等；
C、正确；
D、错误，两直线平行，同旁内角互补．故选C．
第7题答图
6. D 解析：A、∠1与∠2是邻角，不是被第三条直线所截得的同位角或内错角，不能推出平行；
B、∠2+∠3与∠4是被截得的同位角，而∠2与∠4不是，不能推出平行；
C、∠3与∠4，不是被截得的同位角，不能推出平行；
D、∠1+∠4=180°，∠1的对顶角与∠4是被截得的同旁内角，能推出平行．故选D．
7. C 解析：由图可知，∠ABD=∠BAC，故使用的原理为内错角相等，两直线平行．故选C．
第10题答图
8. D 解析：①根据同位角相等，两条直线平行，故正确；
②根据对顶角相等，得∠7=∠5，已知∠1=∠7，可得∠1=∠5，根据同位角相等，两条直线平行，故正确；
③根据内错角相等，两条直线平行，故正确；
④根据对顶角相等，得∠4=∠2，∠7=∠5，已知∠4+∠7=180°，可得∠2+∠5=180°，根据同旁内角互补，两条直线平行，故正确．故选D．
9. C 解析：∵ CE∥AB，∴ ∠DOB=∠ECO=30°.
∵ OT⊥AB，∴ ∠BOT=90°，
∴ ∠DOT=∠BOT-∠DOB=90°-30°=60°．故选C．
10. C 解析：四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角，∵ ∠1=∠AOB，∠AOB+∠4+∠6=180°，
∴ ∠1+∠4+∠6=180°．故选C．
11. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 解析：本题是一道开放型题目，只要保证命题是真命题即可.
第12题答图
12. 270 解析：如图，根据题意可知∠5=90°，∴ ∠3+∠4=90°，
∴ ∠1+∠2=180°+180°-（∠3+∠4）=360°-90°=270°.
第16题答图
13. 40 解析：∵ △ABC沿着DE翻折，
∴ ∠1+2∠BED=180°，∠2+2∠BDE=180°，
∴ ∠1+∠2+2（∠BED+∠BDE）=360°，
而∠1+∠2=80°，∠B+∠BED+∠BDE=180°，
∴ 80°+2（180°-∠B）=360°，
∴ ∠B=40°．
14. 80 解析：这个三角形的最大内角为180°×=80°．
15. 两条直线被第三条直线所截 同位角相等
16. 50° 解析：由三角形的外角性质可得∠4=∠1+
∠3=50°，∵ ∠2和∠4是两平行线间的内错角，∴ ∠2=∠4=50°．
17. 第17题答图
20 解析：过点C作CF∥AB，已知珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，∴ AB∥DE，∴ CF∥DE，∴ ∠BCF+ ∠ABC=180°，∴ ∠BCF=60°，∴ ∠DCF=20°，∴ ∠CDE= ∠DCF=20°．
18. 12 解析：∵ AB∥CD，∴ ∠BFC=∠ABE=66°.
在△EFD中利用三角形外角等于不相邻的两个内角的和，得到∠BFC=∠E+∠D,∴ ∠E=∠BFC-∠D=12°．
19. 分析：根据命题的定义先判断出哪些是命题，再把命题的题设写在“如果”后面，结论放在“那么”后面．
第20题答图
解：对一件事情做出判断的句子是命题，因为（1）（2）是问句，所以（1）（2）不是命题，其余4个都是命题．
（3）如果两个角相等，那么它们的补角相等，正确；
（4）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点，正确；
（5）如果两个角是同旁内角，那么它们互补，错误；
（6）如果两条射线是邻补角的角平分线，那么它们互相垂直，正确.
20. 分析：（1）如果①②③，那么④⑤．过E点作EF∥AD，与AB交于点F，根据平行线的性质推出EF为梯形ABCD的中位线，根据平行线的性质和等量代换，即可推出∠4=∠3，AB=2EF，通过2EF=AD+BC，即可推出AB=AD+BC.（2）根据真命题的定义，写出命题即可．
解：（1）如果①②③，那么④⑤．
证明如下：过E点作EF∥AD，与AB交于点F，
∵ AD∥BC，∴ EF∥BC.∵ DE=CE，∴ AF=BF.
即EF为梯形ABCD的中位线，∴ 2EF=AD+BC，
∴ ∠1=∠AEF，∠4=∠FEB.
∵ ∠1=∠2，∴ ∠2=∠AEF，∴ AF=EF.
∵ AF=BF，∴ BF=EF，∴ ∠3=∠FEB，∴ ∠4=∠3.
∵ AB=AF+BF，∴ AB=2EF.∵ 2EF=AD+BC，∴ AB=AD+BC．
（2）如果①②④，那么③⑤；
如果①③④，那么②⑤；如果①③⑤，那么②④．
21. 分析：如图所示，连接BD，根据AB∥CD可得∠ABD=∠CDB，然后证明△ABD和△CDB全等，得出∠ADB=∠CBD，从而证明出四边形是平行四边形．
第21题答图
证明：如图所示，AB∥CD,且AB=CD,连接BD，∵ AB∥CD，∴ ∠ABD=∠CDB.
在△ABD和△CDB中，
∴ △ABD≌△CDB（SAS），∴ ∠ADB=∠CBD，∴ AD∥BC．
又AB∥CD，∴ 四边形ABCD是平行四边形．
22. 分析：欲证AB∥CD，已知∠D=∠B+∠E，且∠BFD=∠B+∠E，∴ ∠D=∠BFD，故可根据内错角相等，两直线平行求证．
证明：∵ ∠D=∠B+∠E（已知），
∠BFD=∠B+∠E（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴ ∠D=∠BFD（等式的性质）．
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
23. 分析：延长AC交EF于G，由三角形的外角性质和平行线的性质进行求解．
第23题答图
解：等量关系为：∠A+∠ACE-∠1=180°．
证明如下：延长AC交EF于G，则∠ACE=∠2+∠1（三角形外角定理），
∵ AB∥EF，
∴ ∠A+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补），
将∠2=180°-∠A代入∠ACE=∠2+∠1，得∠ACE=180°-
∠A+∠1，即∠A+∠ACE-∠1=180°．
24. 分析：首先利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于AD∥BC的条件，内错角∠2和∠E相等，得出结论．
证明：∵ AE平分∠BAD，∴ ∠1=∠2.∵ AB∥CD，∠CFE=∠E，∴ ∠1=∠CFE=∠E，
∴ ∠2=∠E，∴ AD∥BC．
25. 分析：灵活运用垂直的定义，注意由垂直可得90°角，由90°角可得垂直，结合平行线的判定和性质，只要证得∠ADC=90°，即可得CD⊥AB
．
证明：∵ DG⊥BC，AC⊥BC（已知），
∴ ∠DGB=∠ACB=90°（垂直定义），∴ DG∥AC（同位角相等，两直线平行）.
∴ ∠2=∠ACD（两直线平行，内错角相等）.
∵ ∠1=∠2（已知），∴ ∠1=∠ACD（等量代换），∴ EF∥CD（同位角相等，两直线平行）.
∴ ∠AEF=∠ADC（两直线平行，同位角相等）.
∵ EF⊥AB（已知），又 ∠AEF=90°（垂直定义），∴ ∠ADC=90°（等量代换）.
∴ CD⊥AB（垂直定义）．
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