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统计02
解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．从甲、乙两个班级各随机抽取10名同学的数学成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格。
(I）试完成甲班制取10名同学数学成绩频率分布表，并估计甲班的及格率。
(II）从每班抽取的同学中各抽取一人，求至少有一人及格的概率；
【答案】（Ⅰ）
估计甲班的及格率为0.2+0.2=0.4
(Ⅱ）甲班有6人不及格，编号为a,b,c,d,e,f; 乙班有5人不及格,编号为1,2,3,4,5.
从每班抽取的同学中各抽取一人，共有10×10=100个基本事件.
其中事件“从两班10名同学中各抽取一人，两人都不及格”记作，则的基本事件有: a1,a2,a3,a4,a5； b1,b2,b3,b4,b5； c1,c2,c3,c4,c5； d1,d2,d3,d4,d5； e1,e2,e3,e4,e5； f1,f2,f3,f4,f5.共30个基本事件，则
∴ 对立事件“从每班抽取的同学中各抽取一人，至少有一人及格”的概率为1-=.
18．某企业的某种产品产量与单位成本统计数据如下：
(用最小二乘法求线性回归方程系数公式
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注：，
）
(1)试确定回归方程；
(2)指出产量每增加1 件时，单位成本下降多少？
(3)假定产量为6 件时，单位成本是多少？单位成
本为70元/件时，产量应为多少件？
【答案】 (1)设x表示每月产量(单位：千件)，y表示单位成本(单位：元/件)，作散点图．由图知y与x间呈线性相关关系，设线性回归方程为y＝bx＋a.
由公式可求得b≈-1.818，a=77.364，∴回归方程为y=-1.818x+77.364.
(2)由回归方程知，每增加1 件产量，单位成本下降1.818元．
(3)当x＝6时，y＝－1.818×6＋77.364＝66.455；
当y＝70时，70＝－1.818x＋77.364，得
x≈4. 051千件．
∴ 产量为6 件时，单位成本是66.455元/件，单位成本是70元/件时，产量约为4 051件．
19．一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：
(1） 如果y对x有线性相关关系，求回归直线方程；
(2）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为89个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？(参考数值：，)
【答案】(1）
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∴，
∴回归直线方程为：
(1） ，解得
20．某项实验，在100次实验中，成功率只有10%，进行技术改革后，又进行了100次试验。若要有97.5%以上的把握认为“技术改革效果明显”，实验的成功率最小应为多少？（要求：作出）（设
【答案】设所求为x 作出 则 得x>21.52所求为22%
21．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析。
(1）如果按性别比例分层抽样，男、女生各抽取多少名才符合抽样要求？
(2）随机抽出8名，他们的数学、物理分数对应如下表：
(i) 若规定85分以上（包括85分）为优秀，在该班随机调查一名同学，他的数学和物理分数均为优秀的概率是多少？
(ii)根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱。如果有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关关系，说明理由。
参考公式：相关系数；
回归直线的方程是：，其中，，
是与对应的回归估计值。
参考数据：，，，
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，，，。
【答案】 (1)应选女生名，男生名。
(2) (i)由表中可以看出，所选的8名同学中，数学和物理分数均为优秀的有3人，
故所求概率是。
(ii)变量y与x的相关系数是。
可以看出，物理与数学成绩高度正相关。也可以数学成绩x为横坐标，物理成绩y为纵坐标做散点图（略）。从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理与数学成绩高度正相关。
设y与x的线性回归方程是，根据所给数据可以计算出，
，
所以y与x的线性回归方程是。
22．为了考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校的高中生中随机地抽取了300名学生进行调查，得到如下列联表：
由表中数据计算，判断高中生的性别与是否喜欢数学课程之间是否有关系，并说明理由.
【答案】可以有95%的把握认为“高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系”，作出这种判断的依据是独立性检验的基本思想，具体过程为：
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分别用a,b,c,d表示喜欢数学的男生数、不喜欢数学的男生数、喜欢数学的女生数、不喜欢数学的女生数。如果性别与是否喜欢数学有关系，则男生中喜欢数学的比例与女生中喜欢数学的比例应该相差很多，即应很大，将上式等号右边的式子乘以常数因子，然后平方计算得：，其中因此，越大，“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”成立的可能性就越大。
另一方面，假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”，由于事件“”的概率为因此事件A是一个小概率事件。而由样本计算得，这表明小概率事件A发生了，由此我们可以断定“性别与是否喜欢数学之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性为5%，约有95%的把握认为“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”。
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