2013年北京中考数学一、二模拟考试代几综合试题汇编
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资料简介
‎ 代几综合 ‎ ‎ ‎1.(2013.昌平一模25)如图,在平面直角坐标系xOy中,点B,C在x轴上,点A,E在y轴上,OB︰OC=1︰3,AE=7,且tan∠OCE=3,tan∠ABO=2.‎ ‎(1)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;‎ ‎(2)点D在(1)中的抛物线上,四边形ABCD是以BC为一底边的梯形,求经过B、D两点的一次函数解析式;‎ ‎(3)在(2)的条件下,过点D作直线DQ∥y轴交线段CE于点Q ,在抛物线上是否存在点P,使直线PQ与坐标轴相交所成的锐角等于梯形ABCD的底角,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. ‎ ‎ ‎ ‎2.(2013.朝阳一模25)如图,二次函数y=ax2+2ax+4的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,∠CBO的正切值是2.‎ ‎(1)求此二次函数的解析式.‎ ‎(2)动直线l从与直线AC重合的位置出发,绕点A顺时针旋转,与直线AB重合时终止运动,直线l与BC交于点D,P是线段AD的中点.‎ ‎①直接写出点P所经过的路线长.‎ ‎②点D与B、C不重合时,过点D作DE⊥AC于点E、作DF⊥AB于点F,连接PE、PF,在旋转过程中,∠EPF的大小是否发生变化?若不变,求∠EPF 的度数;若变化,请说明理由.‎ ‎③在②的条件下,连接EF,求EF的最小值.‎ ‎3.(2013.大兴一模25)小明同学在研究某条抛物线的性质时,将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点,两直角边与该抛物线交于、两点,请你帮小明解答以下问题:‎ ‎(1)若测得(如图1),求的值;‎ ‎(2)对同一条抛物线,小明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时,过作 ‎ ‎ 轴于点,测得,写出此时点的坐标,并求点的横坐标;‎ ‎(3)对该抛物线,小明将三角板绕点旋转任意角度时惊奇地发现,交点、所连的线段总经过一个固定的点,试说明理由并求出该点的坐标.‎ ‎4.(2013.东城一模25)在平面直角坐标系xOy中,抛物线与轴交于A,B两点(点A在点B的左侧,且OA<OB),与y轴的交点坐标为(0,-5).点M是线段AB上的任意一点,过点M(a,0)作直线MC⊥x轴,交抛物线于点C,记点C关于抛物线对称轴的对称点为D(C,D不重合),点P是线段MC上一点,连结CD,BD,PD.‎ ‎(1)求此抛物线的解析式;‎ ‎(2)当时,问点P在什么位置时,能使得PD⊥BD;‎ ‎(3)若点P满足,作PE⊥PD交x轴于点E,问是否存在这样的点E,使得PE=PD,若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎5.(2013.房山一模25)已知:半径为1的⊙O1与轴交、两点,圆心O1的坐标为(2, 0),二次函数的图象经过、两点,与轴交于点 ‎(1)求这个二次函数的解析式; ‎ ‎(2)经过坐标原点O的直线与⊙O1相切,求直线的解析式;‎ ‎(3)若为二次函数的图象上一点,且横坐标为2,点是轴上的任意一点,分别联结、.试判断与的大小关系,并说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(第25题图)‎ ‎6.(2013.丰台一模25)如图,在平面直角坐标系xOy中,⊙C的圆心坐标为(-2,-2),半径为.函数y=-x+2的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,点P为直线AB上一动点.‎ ‎(1)若△POA是等腰三角形,且点P不与点A、B重合,直接写出点P的坐标;‎ ‎(2)当直线PO与⊙C相切时,求∠POA的度数;‎ y ‎(3)当直线PO与⊙C相交时,设交点为E、F,点M为线段EF的中点,令PO=t,MO=s,求s与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围.‎ AD BAD x O ‎·‎ CFEBAD ‎7.(2013.海淀一模25)在平面直角坐标系中,抛物线的顶点为.‎ ‎(1)求点的坐标(用含的代数式表示);‎ ‎(2)直线与抛物线交于、两点,点在抛物线的对称轴左侧.‎ ‎①若为直线上一动点,求△的面积;‎ ‎②抛物线的对称轴与直线交于点,作点关于直线的对称点. 以为圆心,为半径的圆上存在一点,使得的值最小,则这个最小值为 .‎ ‎8.(2013.怀柔一模25)已知二次函数()的图象经过点,,,直线()与轴交于点D.‎ ‎(1)求二次函数的解析式;‎ ‎(2)在直线()上有一点(点在第四象限),使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似,求点坐标(用含的代数式表示);‎ ‎(3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点,使得四边形为平行四边形?若存在,请求出的值及四边形的面积;若不存在,请说明理由.‎ ‎9.(2013.门头沟一模25)在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,顶点为D,过点A的直线与抛物线交于点E,与y轴交于点F,且点B的坐标为(3,0),点E的坐标为(2,3).‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)若点G为抛物线对称轴上的一个动点,H为x轴上一点,当以点C、G、H、F四点所围成的四边形的周长最小时,求出这个最小值及点G、H的坐标;‎ ‎(3)设直线AE与抛物线对称轴的交点为P,M为直线AE上的任意一点,过点M作MN∥PD交抛物线于点N,以P、D、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形?‎ 若能,请求点M的坐标;若不能,请说明理由.‎ x y ‎1‎ ‎1‎ O ‎10.(2013.密云一模25)如图,经过原点的抛物线与轴的另一个交点为A.过点作直线轴于点M,交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C(B、C不重合).连结CB,CP。‎ ‎ (1)当时,求点A的坐标及BC的长;‎ ‎ (2)当时,连结CA,问为何值时?‎ ‎(3)过点P作且,问是否存在,使得点E落在坐标轴上?若存在,求出所 ‎ 有满足要求的的值,并定出相对应的点E坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎11.(2013.平谷一模25)如图1,在直角坐标系中,已知直线与y轴交于点A,‎ 图1‎ 与x轴交于点B,以线段BC为边向上作正方形ABCD. ‎ ‎(1)点C的坐标为( ),点D的坐标为( );‎ ‎(2)若抛物线经过C、D两点,‎ 求该抛物线的解析式;‎ ‎(3)若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线 BA向上平移,直至正方形的顶点C落在轴上时,‎ 正方形停止运动. 在运动过程中,设正方形落在y轴 右侧部分的面积为,求关于平移时间(秒)的函数关系式,‎ 并写出相应自变量的取值范围.‎ ‎12.(2013.石景山一模25)如图,把两个全等的Rt△AOB和Rt△ECD分别置于平面直角坐标系xOy中,使点E与点B重合,直角边OB、BC在y轴上.已知点D (4,2),过A、D两点的直线交y轴于点F.若△ECD沿DA方向以每秒个单位长度的速度匀速平移,设平移的时间为(秒),记△ECD在平移过程中某时刻为△, 与AB交于点M,与y轴交于点N, 与AB交于点Q,与y轴交于点P(注:平移过程中,点始终在线段DA上,且不与点A重合).‎ ‎(1)求直线AD的函数解析式;‎ ‎(2)试探究在△ECD平移过程中,四边形MNPQ的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及的取值;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)以MN为边,在的下方作正方形MNRH,求正方形MNRH与坐标轴有两个公共点时的取值范围.‎ O D A y C x B(E)‎ F J ‎13.(2013.西城一模25)如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线l:与轴、轴分别交于点A和点B(0,-1),抛物线经过点B,且与直线l的另一个交点为C(4,n).‎ ‎ (1) 求的值和抛物线的解析式;‎ ‎(2) 点D在抛物线上,且点D的横坐标为t(0< t 0,舍去)‎ 综上所述,当m=2时,点E的坐标是(2,0)或(0,4);‎ ‎ 当m=时,点E的坐标是(,0)‎ ‎11.(2013.平谷一模25)解:(1)C(-3,2),D(-1,3)…………………………2分 ‎(2)抛物线经过(-1,3)、(-3,2),则  解得  ‎∴ ……………….…3分 图1‎ ‎(3)①当点D运动到y轴上时,t=. …………..…4分 当0<t≤时,如图1设D′A′交y轴于点E.‎  ∵tan∠BAO==2,又∵∠BAO=∠EAA′‎  ∴tan∠EAA′=2, 即=2‎  ∵AA′=, ∴EA’=.‎ ‎∴S△EA’A=AA′·EA′=t×t=5 t2………5分  当点B运动到点A时,t=1.………………………………………………6分 图2‎ 当<t≤1时,如图2‎ 设D′C′交y轴于点G,过G作GH⊥A′B′于H.‎ 在Rt△AOB中,AB=‎ ∴ GH=,AH=GH=‎ ∵ AA′=t,∴HA′=t-,GD′=t- . ‎  ∴S梯形AA′D′G=(t-+t) =5t-……………………………7分  当点C运动到y轴上时,t=. ‎  当1<t≤时,如右图所示  设C′D′、C′B′分别交y轴于点M、N  ∵AA′=t,A′B′=,‎ ‎∴AB′=t-,∴B′N=2AB′=t-‎ ‎∵B′C′=,∴C′N=B′C′-B′N=-t ∴=C′N=(-t)‎  ∴=(-t)·(-t)=5t2-15t+ ‎  ∴S五边形B′A′D′MN=S正方形B′A′D′C′-S△MNC′=(5t2-15t+)=-5t2+15t-‎  综上所述,S与x的函数关系式为:当0<t≤时, S=5‎ 当<t≤1时,S=5t 当1<t≤时,S=-5t2+15t………………………………………………..8分 ‎ ‎ ‎12.(2013.石景山一模25)解:(1)由题意A(2.0) …………………………………………………………………1分 ‎ 由D(4,2),‎ ‎ 可得直线AD解析式: …………………………………………………2分 ‎ ‎ 由B(0,4),‎ ‎ 可得直线AB解析式:,直线BD解析式:,J().‎ ‎(2)在△ECD平移秒时,由∠CDF=45°,‎ ‎ 可得D’(),N()‎ 设直线E’D’解析式为:‎ ‎ 可得M(),…………………………………………………3分 Q(),P()‎ 由△MQD’∽△BJD,得,可得 S△MQD’ …………………………………………………4分 S梯形E’C’ PN………………………………………5分 S四边形MNPQ= S△E’C’D’― S△MQD’― S梯形E’C’ PN ‎ ‎ ‎∴当时,S最大=…………………………………………………6分 ‎(3)当点H在x轴上时,有M()横纵坐标相等 即 ‎∴‎ ‎∴.…………………………………………………8分 ‎13.(2013.西城一模25)解:(1)∵直线l:经过点B(0,),‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴直线l的解析式为. ‎ ‎ ∵直线l:经过点C(4,n),‎ ‎∴. ………………………………………………1分 ‎ ∵抛物线经过点C(4,2)和点B(0,),‎ ‎ ∴ ‎ ‎ 解得 ‎ ‎ ∴抛物线的解析式为. …………………………2分 ‎ ‎ ‎(2)∵直线l:与x轴交于点A,‎ 图8‎ ‎ ∴点A的坐标为(,0). ‎ ‎∴OA=.‎ 在Rt△OAB中,OB=1,‎ ‎ ∴AB==. ‎ ‎ ∵DE∥轴,‎ ‎ ∴∠OBA=∠FED.‎ ‎ ∵矩形DFEG中,∠DFE=90°,‎ ‎ ∴∠DFE=∠AOB=90°.‎ ‎ ∴△OAB∽△FDE.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴,‎ ‎ . …………………………………………4分 ‎ ∴=2(FD+ FE)=. ‎ ‎ ∵D(,),E(,),且,‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴. …………………………… 5分 ‎ ∵,且,‎ ‎ ∴当时,有最大值. …………………………………… 6分 ‎ (3)点A1的横坐标为或. ……………………………………………8分 图9‎ 图10‎ B ‎1‎ O ‎1‎ A ‎1‎ l C A B O x y y x O B A C l A ‎1‎ O ‎1‎ B ‎1‎ ‎ 说明:两种情况参看图9和图10,其中O1B1与轴平行,O‎1A1与轴平行.‎ ‎ ‎

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