操作探究
1.(2013.昌平一模22)
(1)人教版八年级数学下册92页第14题是这样叙述的:如图1,□ABCD中,过对角线BD上一点P作EF∥BC,HG∥AB,图中哪两个平行四边形的面积相等?为什么?
根据习题背景,写出面积相等的一对平行四边形的名称为 和 ;
(2)如图2,点P为□ABCD内一点,过点P分别作AD、AB的平行线分别交□ABCD的四边于点E、F、G、H. 已知S□BHPE = 3,S□PFDG = 5,则 ;
(3)如图3,若①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH(不重复、无缝隙).已知①②③④四个平行四边形面积的和为14,四边形ABCD的面积为11,则菱形EFGH的周长为 .
2.(2013.燕山一模22)阅读下列材料:
问题:如图⑴,已知正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD边上的点,且∠EAF =45°. 判断线段BE、EF、FD之间的数量关系,并说明理由.
小明同学的想法是:已知条件比较分散,可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起,于是他将△DAF绕点A顺时针旋转90°,得到△BAH,然后通过证明三角形全等可得出结论.
请你参考小明同学的思路,解决下列问题:
⑴ 图⑴中线段BE、EF、FD之间的数量关系是 ;
⑵ 如图⑵,已知正方形ABCD边长为5,E、F分别是BC、CD边上的点,且
∠EAF=45°,AG⊥EF于点G,则AG的长为 ,△EFC的周长为 ;
⑶ 如图⑶,已知△AEF中,∠EAF=45°,AG⊥EF于点G,且EG=2,GF=3,则△AEF的面积为 .
3.(2013.朝阳一模22)阅读下面材料:
小雨遇到这样一个问题:如图1,直线l1∥l2∥l3 ,l1与l2之间的距离是1,l2与l3之间的距离是2,试画出一个等腰直角三角形ABC,使三个顶点分别在直线l1、l2、l3上,并求出所画等腰直角三角形ABC的面积.
小雨是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法利用平行线之间的距离,根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题.具体作法如图2所示:在直线l1任取一点A,作AD⊥l2于点D,作∠DAH=90°,在AH上截取AE=AD,过点E作EB⊥AE交l3于点B,连接AB,作∠BAC=90°,交直线l2于点C,连接BC,即可得到等腰直角三角形ABC.
请你回答:图2中等腰直角三角形ABC的面积等于 .
参考小雨同学的方法,解决下列问题:
如图3,直线l1∥l2∥l3, l1与l2之间的距离是2,l2与l3之间的距离是1,试画出一个等边三角形ABC,使三个顶点分别在直线l1、l2、l3上,并直接写出所画等边三角形ABC的面积(保留画图痕迹).
4.(2013.海淀一模22)问题:如图1,、、、是同一平面内的一组等距平行线(相邻平行线间的距离为1).画出一个正方形,使它的顶点、、、分别在直线、、、上,并计算它的边长.
图1 图2
小明的思考过程:
他利用图1中的等距平行线构造了的正方形网格,得到了辅助正方形,如图2所示, 再分别找到它的四条边的三等分点、、、,就可以画出一个满足题目要求的正方形.
请回答:图2中正方形的边长为 .
请参考小明的方法,解决下列问题:
(1)请在图3的菱形网格(最小的菱形有一个内角为,边长为1)中,画出一个等边△,使它的顶点、、落在格点上,且分别在直线a、b、c上;
(3)如图4,、、是同一平面内的三条平行线,、之间的距离是,、之间的距离是,等边△的三个顶点分别在、、上,直接写出△的边长.
图3 图4
5.(2013.东城一模22)如图,在菱形纸片ABCD中,AB=4cm,∠ABC=120°,按下列步骤进行裁剪和拼图:
第一步:如图1,在线段AD上任意取一点E,沿EB,EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用);
第二步:如图2,沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分,并在线段GH上任意取一点M,线段BC上任意取一点N,沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分;
第三步:如图3,将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°,使线段GB与GE重合,将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°,使线段HC与HE重合,再与三角形纸片EGH拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片.
(注:裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)
(1)请你在图3中画出拼接成的四边形;
(2)直接写出拼成的四边形纸片周长的最小值为________cm,最大值为________cm.
6.(2013.怀柔一模22) 理解与应用:
我们把对称中心重合、四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”,易知方形环四周的宽度相等.
一条直线l与方形环的边线有四个交点、、、.小明在探究线段与 的数量关系时,从点、向对边作垂线段、,利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题.请你参考小明的思路解答下列问题:
(1)直线l与方形环的对边相交时(22题图1),直线l分别交、、、于、、、,小明发现与相等,请你帮他说明理由;
(2)直线l与方形环的邻边相交时(22题图2),l分别交、、、于、、、,l与的夹角为,请直接写出的值(用含的三角函数表示).
7.(2013.门头沟一模22)操作与探究:
在平面直角坐标系xOy中,点P从原点O出发,且点P只能每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度.
(1)实验操作:
在平面直角坐标系xOy中,点P从原点O出发,
平移1次后可能到达的点的坐标是,;
点P从原点O出发,平移2次后可能到达的点的
坐标是,,;点P从原点O出
发,平移3次后可能到达的点的坐标是
;
(2)观察发现:
任一次平移,点P可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上,如:平移1次后在函数的图象上;平移2次后在函数的图象上,….若点P平移5次后可能到达的点恰好在直线上,则点P的坐标是 ;
(3)探究运用:
点P从原点O出发经过次平移后,到达直线上的点Q,且平移的路径长不小于30,不超过32,求点Q的坐标.
8.(2013.平谷一模22)对于平面直角坐标系中的任意两点,我们把叫做两点间的直角距离,记作.
(1)已知点,那么两点间的直角距离=_____________;
(2)已知O为坐标原点,动点满足,请写出x与y之间满足的关系式,并在所给的直角坐标系中画出所有满足条件的图形;
(3)设是一定点,是直线上的动点,
我们把的最小值叫做点到直线的直角距离.
试求点到直线的直角距离.
.
9.(2013.石景山一模22)问题解决:
已知:如图,为上一动点,分别过点、作于点,于点,联结、.
(1)请问:点满足什么条件时,的值最小?
(2)若,,,设.用含的代数式表示的长(直接写出结果).
拓展应用:
参考上述问题解决的方法,请构造图形,
并求出代数式的最小值.
来源:学,科,网]
10.(2013.顺义一模22)如图1,在四边形中,,分别是的中点,连结并延长,分别与的延长线交于点,则(不需证明).
小明的思路是:在图1中,连结,取的中点,连结,根据三角形中位线定理和平行线性质,可证得.
问题:如图2,在中,,点在上,,分别是的中点,连结并延长,与的延长线交于点,若,连结,判断的形状并证明.
11.(2013.通州一模22)如图所示,在4×4的菱形斜网格图中(每一个小菱形的边长为1,有一个角是60°),菱形的边长为2,是的中点,沿将菱形剪成①、②两部分,用这两部分可以分别拼成直角三角形、等腰梯形、矩形,要求所拼成图形的顶点均落在格点上.
(1)在下面的菱形斜网格中画出示意图;
(2)若所拼成的直角三角形、等腰梯形、矩形的面积分别记为、、,周长分别记为、、,判断所拼成的三种图形的面积、周长的大小关系(用“=”、“>”、“<”、“≤”或“≥”连接):
面积关系是 ;
周长关系是 .
12.(2013.西城一模22)先阅读材料,再解答问题:
小明同学在学习与圆有关的角时了解到:在同圆或等圆中,
同弧(或等弧)所对的圆周角相等.如图,点A、B、C、D均
为⊙O上的点,则有∠C=∠D.
小明还发现,若点E在⊙O外,且与点D在直线AB同侧,
则有∠D>∠E.
请你参考小明得出的结论,解答下列问题:
(1) 如图1,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,7),点B的坐标为(0,3),
点C的坐标为(3,0) .
①在图1中作出△ABC的外接圆(保留必要的作图痕迹,不写作法);
②若在轴的正半轴上有一点D,且∠ACB =∠ADB,则点D的坐标为 ;
(2) 如图2,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,m),点B的坐标为(0,n),
其中m>n>0.点P为轴正半轴上的一个动点,当∠APB达到最大时,直接写出此时点P的坐标.
13.(2013.延庆一模22)阅读下面材料:
将正方形ABCD(如图1)作如下划分:
第1次划分:分别联结正方形ABCD对边的中点(如图2),得线段HF和EG,它们交于点M,此时图2中共有5个正方形;
第2次划分:将图2左上角正方形AEMH按上述方法再作划分,得图3,则图3中共有_______个正方形;
若每次都把左上角的正方形依次划分下去,则第100次划分后,图中共有_______个正方形;
继续划分下去,能否将正方形ABCD划分成有2013个正方形的图形?需说明理由.
14.(2013.昌平二模22)(1)【原题呈现】如图,要在燃气管道l上修建一个泵站分别向A、B两镇供气. 泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?
解决问题:请你在所给图中画出泵站P的位置,并保留作图痕迹;
(2)【问题拓展】已知a>0,b>0,且a+b=2,写出的最小值;
(3)【问题延伸】已知a>0,b>0,写出以、、为边长的三角形的面积.
15.(2013.朝阳二模22)阅读下列材料:
小华遇到这样一个问题,如图1, △ABC中,∠ACB=30º,BC=6,AC=5,在△ABC
内部有一点P,连接PA、PB、PC,求PA+PB+PC的最小值.
小华是这样思考的:要解决这个问题,首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离,然后再将它们连接成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据“两点之间,线段最短”,就可以求出这三条线段和的最小值了.他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,发现通过旋转可以解决这个问题.他的做法是,如图2,将△APC绕点C顺时针旋转60º,得到△EDC,连接PD、BE,则BE的长即为所求.
(1)请你写出图2中,PA+PB+PC的最小值为 ;
(2)参考小华的思考问题的方法,解决下列问题:
①如图3,菱形ABCD中,∠ABC=60º,在菱形ABCD内部有一点P,请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段(保留画图痕迹,画出一条即可);②若①中菱形ABCD的边长为4,请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长.
16.(2013.大兴二模22)在三角形纸片ABC中,已知∠ABC=90°,AB=6,BC=8.过点A作直线平行于BC,折叠三角形纸片ABC,使直角顶点B落在直线上的T处,折痕为MN.当点T在直线上移动时,折痕的端点M、N也随之移动.若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动(点M可以与点A重合,点N可以与点C重合),求线段AT长度的最大值与最小值的和(计算结果不取近似值).
17.(2013.东城二模22)阅读并回答问题:
数学课上,探讨角平分线的作法时,李老师用直尺和圆规作角平分线,方法如下:
作法:①在OA,OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.
②分别以D,E为圆心,以大于为半径作弧,
两弧在内交于点C.
③作射线OC,则OC就是的平分线
小聪只带了直角三角板,他发现利用三角板也可以作角平分线,方法如下:
作法: ①利用三角板上的刻度,在OA,OB上分别截取OM,ON,使OM=ON.
②分别过以M,N为OM,ON的垂线,交于点P.
③作射线OP,则OP就是的平分
线.
小颖的身边只有刻度尺,经过尝试,她发现利用刻度尺也可以作角平分线.根据以上情境,解决下列问题:
(1) 小聪的作法正确吗?请说明理由;
(2) 请你帮小颖设计用刻度尺作平分线的方法.(要求:不与小聪方法相同,请画出图形,并写出画图的方法,不必证明).
18.(2013.房山二模22)如图1,在矩形MNPQ中,点E,F,G,H分别在边NP,PQ,QM,MN上,
当时,我们称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形.
已知:矩形ABCD的四个顶点均为边长为1的正方形网格的格点,请解决下列问题:
(1)在图2中,点E,F分别在BC,CD边上,请作出矩形ABCD的反射四边形EFGH,并求出反射四边形EFGH的周长.
(2)在图3中作出矩形ABCD的所有反射四边形,并判断它们的周长之间的关系.
19.(2013.密云二模22)实践与操作:如图1是以正方形两顶点为圆心,边长为半径,画两段相等的圆弧而成的轴对称图形,图2是以图1为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形.
(1) 请你仿照图1,用两段相等圆弧(小于或等于半圆),在图3中重新设计一个不同的轴对
称图形.
(2)以你在图3中所画的图形为基本图案,经过图形变换在图4中拼成一个中心对称图形.
20.(2013.石景山二模22)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点M、N、分别在BC、AB上,将矩形ABCD沿MN折叠,设点B的对应点是点E.
(1)若点E在AD边上,BM=,求AE的长;
(2)若点E在对角线AC上,请直接写出AE
的取值范围: .
解:
21.(2013.丰台二模22)操作探究:
一动点沿着数轴向右平移5个单位,再向左平移2个单位,相当于向右平移3个单位.用实数加法表示为 5+()=3.
若平面直角坐标系xOy中的点作如下平移:沿x轴方向平移的数量为a(向右为正,向左为负,平移个单位),沿y轴方向平移的数量为b(向上为正,向下为负,平移个单位),则把有序数对{a,b}叫做这一平移的“平移量”.规定“平移量”{a,b}与“平移量”{c,d}的加法运算法则为.
(1)计算:{3,1}+{1,2};
(2)若一动点从点A(1,1)出发,先按照“平移量”{2,1}平移到点B,再按照“平移量”
{-1,2}平移到点C;最后按照“平移量”{-2,-1}平移到点D,在图中画出四边形ABCD,并直接写出点D的坐标;
(3)将(2)中的四边形ABCD以点A为中心,顺时针旋转90°,点B旋转到点E,连结AE、BE若动点P从点A出发,沿△AEB的三边AE、EB、BA平移一周. 请用“平移量”加法算式表示动点P的平移过程.
22.(2013.海淀二模22)如图1,四边形ABCD中,、为它的对角线,E为AB边上一动点(点E不与点A、B重合),EF∥AC交BC于点F,FG∥BD交DC于点G,GH∥AC交AD于点H,连接HE.记四边形EFGH的周长为,如果在点的运动过程中,的值不变,则我们称四边形ABCD为“四边形”, 此时的值称为它的“值”.经过探究,可得矩形是“四边形”.如图2,矩形ABCD中,若AB=4,BC=3,则它的“值”为 .
图1 图2 图3
(1)等腰梯形 (填“是”或 “不是”)“四边形”;
(2)如图3,是⊙O的直径,A是⊙O上一点,,点为上的一动点,将△沿的中垂线翻折,得到△.当点运动到某一位置时,以、、、、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多,最多有 个.
23.(2013.怀柔二模22)探究与应用
已知点P的坐标为(m,0),在x轴上存在点Q(不与P点重合),以PQ为边作正方形PQMN,使点M落在反比例函数y = 的图象上.小明对上述问题进行了探究,发现不论m取何值,符合上述条件的正方形只有两个,且一个正方形的顶点M在第四象限,另一个正方形的顶点M1在第二象限.
(1)如图,若反比例函数解析式为y= ,P点坐标为(1, 0),图中已画出一符合条件的一个正方形PQMN,请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ1M1N1;
(2)请你通过改变P点坐标,对直线M1 M的解析式
y﹦kx+b进行探究可得 k﹦ ,若点P的坐标为(m,0)时,则b﹦ ;
(3)依据(2)的规律,如果点P的坐标为(6,0),请你直接写出点M1和点M的坐标.
解:(1)如图
(2)k﹦ ,b﹦ ;
(3)M1的坐标为( , ),M的坐标为( , ).
24.(2013.西城二模22)在平面直角坐标系xOy中,点经过变换得到点,该变换记作,其中为常数.例如,当,且时,.
(1) 当,且时,= ;
(2) 若,则= ,= ;
(3) 设点是直线上的任意一点,点经过变换得到点.若点与点重合,求和的值.
第七章 操作探究参考答案
1.(2013.昌平一模22)解:(1)□AEPH 和□PGCF 或□ABGH 和□EBCF 或□AEFD 和□HGCD . … 1分
(2)1. ……………………………… 2分
(3)24. ……………………………… 4分
2.(2013.燕山一模22)⑴线段BE、EF、FD之间的数量关系是 EF=BE+FD ;…………1分
⑵AG的长为 5 ,△EFC的周长为 10 ; ………………………3分
⑶△AEF的面积为 15 . ………………………5分
3.(2013.朝阳一模22)解: 5;……………………………………………2分
如图; ………………………………………3分
. ………………………………………5分
4.(2013.海淀一模22)(1).………………………2分
(2)①如图:
(答案不唯一) …4分
②.………………………5分
5.(2013.东城一模22)解: (1)拼接成的四边形所图虚线所示; ………………2分
(2) ; . …………………………5分
(注:通过操作,我们可以看到最后所得的四边形纸片是一个平行四边形,其上下两条边的长度等于原来菱形的边AB=4,左右两边的长等于线段MN的长,当MN垂直于BC时,其长度最短,等于原来菱形的高的一半,于是这个平行四边形的周长的最小值为2(+4)=;当点E与点A重合,点M与点G重合,点N与点C重合时,线段MN最长,等于,此时,这个四边形的周长最大,其值为.)
6.(2013.怀柔一模22)理解与应用:
⑴解: 在方形环中,
∵∥
∴M’E=N’F…………………………………………1分
∠M’EM=∠N’FN=90°,∠EMM’=∠N’NF
∴△≌△ ……………………………2分
∴ ……………………………3分
⑵ 则 (或) ……………………………5分
7.(2013.门头沟一模22)解:(1)(0,6),(1,4),(2,2),(3,0).………………………2分
(2)平移5次后P在y=-2x+10上,又在y=3x上,联立方程组即可。(2,6).3分
(3)设点Q的坐标为(x,y).
由题意,得 解得 ∴ 点Q的坐标为.
∵平移的路径长为x+y,∴30≤≤32.∴22.5≤≤24.
∵点Q的坐标为正整数,∴点Q的坐标为(16,16). ………………………5分
8.(2013.平谷一模22)解:(1);…………………..1分
(2)由题意,得,……………2分
所以符合条件的点P组成的图形如图所示;…3分
(3)∵
………………………………………..
∴ 点到直线的直角距离为3. ……………………………………5分
9.(2013.石景山一模22)
解:(1)当点、、三点在一条直线上时,的值最小……1分
(2) ……………………2分
(3)如图,令,,,设,则,
……………………3分
∵、、三点在一条直线上时,的值最小
∴的长即为的最小值.
过点作的平行线交的延长线于点
∵于,于.
∴∥
∴四边形是矩形 ……………………4分
∴,
在Rt△中,, ……………5分
∴的最小值为5.
10.(2013.顺义一模22)判断是直角三角形
证明:如图连结,取的中点,连结,……………………1分
是的中点,
∴,,………………… 2分
∴.
同理,,
∴.
∴,
∴. …………………………………………3分
,
∴,
∴是等边三角形.………………………………4分
,
∴,
∴
∴
即是直角三角形.…………………………… 5分
11.(2013.通州一模22)(1)
画图正确;每图各1分,共3分;
(2)面积关系是 == ; ……………… 4分;
周长关系是 >>. ……………… 5分.
12.(2013.西城一模22)解:(1)①如图5; ………………………… 1分
②点D的坐标为; ………………… 3分
(2)点P的坐标为. ……………… 5分
13.(2013.延庆一模22)解:第2次划分,共有9个正方形; ……………………1分
第100次划分后,共有401个正方形; ………………………………………2分
依题意,第n次划分后,图中共有4n+1个正方形, …………………………3分
而方程4n+1=2013有整数解,n = 503 …………………………………4分
所以,第503划分后次能得到2013个正方形. …………………………………5分
14.(2013.昌平二模22)解:(1)如图所示. ………… 1分
(2). …………………………………………… 2分
(3). ………………………………………… 5分
15.(2013.朝阳二模22)解:(1).……………………………………1分
(2)①如图, ………………………2分
BD; ………………………………………3分
(3) . ……………………………………………………5分
16.(2013.大兴二模22)解:当点M与点A重合时,AT取得最大值(如右上图).…1分
由轴对称可知,AT=AB=6. ……………………………2分
当点N与点C重合时,AT取得最小值(如右下图).……3分
过点C作CD^于点D,连结CT,
则四边形ABCD为矩形,
∴ CD=AB=6.
由轴对称可知,CT=BC=8.
∴ 在Rt△CDT中,
CD=6,CT=8,
∴ 由勾股定理,得DT=.
∴ AT=AD-DT=8-.…………………………………………4分
∴ 线段AT长度的最大值与最小值的和为.……5分
17.(2013.东城二模22)解:(1)小聪的作法正确. …………………1分
理由:∵PM⊥OM , PN⊥ON,
∴∠OMP=∠ONP=90°.
在Rt△OMP和Rt△ONP中,
∵OP=OP ,OM=ON,
∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL).
∴.
∴OP平分∠AOB. …………………2分
(2)解:如图所示. …………………3分
作法:①利用刻度尺在OA,OB上分别截取OG=OH.
②连结GH,利用刻度尺作出GH的中点Q.
③作射线OQ,则OQ为∠AOB的平分线. …5分
18.(2013.房山二模22)解:(1)如图,
∴四边形EFGH即为所求,且周长为 ------------------2分
(2)如图:
指明结果(略) ------------------4分
矩形ABCD的反射四边形的周长为定值. ---------------5分
19.(2013.密云二模22)(1)在图3中设计出符合题目要求的图形.……………2分
(2)在图4中画出符合题目要求的图形.………………5分
20.(2013.石景山二模22)解:(1)由题意,△BMN沿MN折叠得到△EMN
∴△BMN≌△EMN
∴EM=BM=.
过点M作MH⊥AD交AD于点H,则四边形ABMH为矩形
MH=AB=3, AH=BM=.
Rt△EHM中,
EH=
∴AE. ……………………………… 3分
(2) 1≤AE≤3. ……………………………… 5分
21.(2013.丰台二模22)
(1){4,3}. -------------------------1分
(2)①画图 -------------------------2分
②D(0,3). -------------------------3分
(3){1,-2}+{1,3}+{-2,-1}.-------------------------5分
22.(2013.海淀二模22)解: “值”为10.---------------------2分
(1)是;--------------------3分
(2)最多有5个.--------------------5分
23.(2013.怀柔二模22)探究与应用
解:(1)如图 ……………………1分
(2), ……………………3分
(3)M1的坐标为(,),M的坐标为(,)………5分
24.(2013.西城二模22)解:(1)=; …………… 1分
(2)=,=; ……………………………………… 3分
(3) ∵点经过变换得到的对应点与点重合,
∴.
∵点在直线上,
∴.
∴ ……………………………………… 4分
即
∵为任意的实数,
∴ 解得
∴,. ……………………………………… 5分