第九章 几何综合
1.（2013.昌平一模24）在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．
（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；
（2）如图2，连接AA1，CC1．若△CBC1的面积为3，求△ABA1的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，直接写出线段EP1长度的最大值与最小值．
2.（2013.朝阳一模24）在Rt△ABC中，∠A=90°，D、E分别为AB、AC上的点．
（1）如图1，CE=AB，BD=AE，过点C作CF∥EB，且CF=EB，连接DF交EB于点G，连接BF，请你直接写出的值；
（2）如图2，CE=kAB，BD=kAE，，求k的值．
图1
图2
3.（2013.大兴一模24）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；
（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，请直接写出S与x的函数关系式，并求出S的最小值 ．
4.（2013.东城一模24）问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN=∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；
问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若∠MBN=∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.
5.（2013.房山一模24）（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，联结AD、BE相交于点P，求证： BE = AD.
（2）如图2，在△BCD中，∠BCD＜120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，联结AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是 （只填序号即可）
①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；
（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE.
第24题图2
第24题图1
6.（2013.海淀一模24）在△中，∠＝．经过点的直线l（l不与直线重合）与直线的夹角等于，分别过点、点作直线l的垂线，垂足分别为点、点．
（1）若，=（如图），则的长为 ；
（2）写出线段、之间的数量关系，并加以证明；
（3）若直线、交于点， ，=4，求
的长．
7.（2013.怀柔一模24）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC,AB=AN,连结CD、BN,CD的延长线交BN于点F．
（1）当∠ADN等于多少度时，∠ACE=∠EBF,并说明理由；
（2）在（1）的条件下，设∠ABC=，∠CAD =，试探索、满足什么关系时，△ACE≌△FBE，并说明理由．
8.（2013.门头沟一模24）已知：在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，点M在线段DF上，且∠BAE＝∠BDF，∠ABE＝∠DBM．
（1） 如图1，当∠ABC＝45°时，线段 DM 与AE之间的数量关系是 ；
（2） 如图2，当∠ABC＝60°时，线段 DM 与AE之间的数量关系是 ；
（3）① 如图3，当（）时，线段 DM 与AE之间的数量关系是 ；
② 在（2）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连结CP，若AB＝7，AE＝，
图1
图2
图3
求sin∠ACP的值．
9.（2013.密云一模24）如图1，在等腰梯形中，，E是AB的中点，过点E作交CD于点F．， .
（1）点E到BC的距离为 ；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作交BC于点M，过M作交折线ADC于点N，连结PN，设.
①点N在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；
若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.
A
D
E
B
F
C
P
N
M
A
D
E
B
F
C
图1
图2
A
D
E
B
F
C
P
N
M
A
D
E
B
F
C
（备用）
图3
A
D
E
B
F
C
（备用）
10.（2013.平谷一模24）（1）如图(1)，△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且，连接AE、CD相交于点P.请你补全图形，并直接写出∠APD的度数；=
（2）如图（2）,Rt△ABC中，∠B=90°，M、N分别是
AB、BC上的点，且，连接AN、CM相
图1
交于点P，请你猜想∠APM= °，并写出你的推理过程.
图2
11.（2013.石景山一模24）如图，△中，∠, ，以为边向右侧作等边三角形．
（1）如图24-1,将线段绕点逆时针旋转，得到线段，联结，
则与长度相等的线段为 （直接写出结论）；
（2）如图24-2，若是线段上任意一点（不与点重合），点绕点逆时针旋转得到点,求的度数；
（3）画图并探究：若是直线上任意一点（不与点重合），点绕点逆时针旋转得到点,是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是梯形，若存在,请指出点的位置，并求出的长；若不存在，请说明理由．
图24-1 图24-2
备用图
备用图
12.（2013.西城一模24）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=，点P在△ABC的内部．
(1) 如图1，AB=2AC，PB=3，点M、N分别在AB、BC边上，则cos=_______，
△PMN周长的最小值为_______；
(2) 如图2，若条件AB=2AC不变，而PA=，PB=，PC=1，求△ABC的面积；
(3) 若PA=，PB=，PC=，且，直接写出∠APB的度数．
13.（2013.顺义一模24）如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形 的顶点重合．三角板的一边交于点，另一边交的延长线于点
（1）求证：；
（2）如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若，，求的值．
14.（2013.通州一模24）已知：，，以AB为一边作等边三角形ABC.使C、D两点落在直线AB的两侧.
（1）如图，当∠ADB=60°时，求AB及CD的长；
（2）当∠ADB变化，且其它条件不变时，求CD 的 最大值，及相应∠ADB的大小.
A
D B
C
15.（2013.海淀二模24）如图1，在△ABC中，AB＝AC，. 过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．
图1 图2
（1）求证：；
（2）点为线段延长线上一点，将射线GC绕着点G逆时针旋转，与射线BD交于点E．
①若，，如图2所示，求证：；
②若,，请直接写出的值（用含的代数式表示）．
第九章 几何综合参考答案
1.（2013.昌平一模24）解：（1）如图1，依题意得：△A1C1B≌△ACB.……… 1分
∴BC1=BC，∠A1C1B =∠C=30°.
∴∠BC1C = ∠C=30°.
∴∠CC1A1 = 60°.…………………………… 2分
（2）如图2，由（1）知：△A1C1B≌△ACB.
∴A1B = AB，BC1 = BC，∠A1BC1 =∠ABC.
∴∠1 = ∠2，
∴ △A1BA∽△C1BC ………………… 3分
∴. ………………4分
∵，
∴. ……………………………5分
（3）线段EP1长度的最大值为8，EP1长度的最小值1. ………… 7分
2.（2013.朝阳一模24）解：(1). ………………………………………………………………………2分
(2)过点C作CF∥EB且CF=EB，连接DF交EB于点G, 连接BF.
∴四边形EBFC是平行四边形. …………………………………………………3分
∴CE∥BF且CE=BF.
∴∠ABF=∠A=90°.
∵BF=CE=kAB.∴.
∵BD=kAE，
∴.… ……………………………………………………………………4分
∴.
∴∽. ……………………………………………………………5分
∴,∠GDB=∠AEB.
∴∠DGB=∠A=90°.
∴∠GFC=∠BGF=90°.
∵.
∴.
∴k=.…………………………………………………………………………7分
3.（2013.大兴一模24）（1）证明：
∵PE=BE ，
∴EBP=EPB .
又∵EPH=EBC=90°,
∴EPH-EPB=EBC-EBP .
即PBC=BPH .
又∵AD∥BC ,
∴APB=PBC .
∴APB=BPH . ………………………………………2分
A
B
C
D
E
F
G
H
P
Q
（2）△PHD的周长不变，为定值 8 ………………………3分
证明：过B作BQ⊥PH，垂足为Q
由（1）知APB=BPH
又∵ A=BQP=90°，BP=BP
∴ △ABP≌△QBP
∴ AP=QP, AB=BQ
又∵ AB=BC
∴ BC = BQ
又∵ C=BQH=90°，BH=BH
∴ △BCH≌△BQH
∴ CH=QH
∴ △PHD的周长为：
PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8………………5分
（3）
配方得，，
∴当x=2时，S有最小值6 …………………………………7分
4.（2013.东城一模24）（本小题满分7分）
解：（1）猜想的结论：MN=AM+CN ． ……………1分
（2）猜想的结论：MN=CN-AM． ……………3分
证明: 在 NC截取 CF= AM，连接BF．
∵ ∠ABC+∠ADC=180°，
∴ ∠DAB+∠C=180°．
又∵ ∠DAB+∠MAB=180°，
∴ ∠MAB=∠C．
∵ AB=BC AM=CF，
∴ △AMB≌△CFB ．
∴ ∠ABM=∠CBF ， BM=BF．
∴ ∠ABM +∠ABF =∠CBF+∠ABF．
即 ∠MBF =∠ABC．
∵ ∠MBN=∠ABC，
∴∠MBN=∠MBF．
即∠MBN=∠NBF．
又∵ BN=BN BM=BF，
∴ △MBN≌△FBN．
∴ MN=NF．
∵ NF=CN-CF，
∴ MN=CN-AM ． ……………… …7分
5.（2013.房山一模24）
(1)证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠BCE=∠ACD
∴△BCE≌△ACD（SAS）
∴BE=AD --------------1分
（2）①②③都正确 --------------4分
（3）证明：在PE上截取PM=PC，联结CM
由（1）可知，△BCE≌△ACD（SAS）
∴∠1=∠2
设CD与BE交于点G,,在△CGE和△PGD中
∵∠1=∠2，∠CGE=∠PGD
∴∠DPG=∠ECG=60°同理∠CPE=60°
∴△CPM是等边三角形--------------5分
∴CP=CM，∠PMC=60°
∴∠CPD=∠CME=120°
∵∠1=∠2,∴△CPD≌△CME（AAS）---6分
∴PD=ME
∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD. -------7分
即PB+PC+PD=BE.
6.（2013.海淀一模24）（1）.………………………1分
（2）线段、之间的数量关系为.………………………2分
证明：如图1，延长与直线交于点．
依题意，可得∠1＝∠2．
∵∠＝，
∴∠3=∠4.
∴.
∴＝．………………………3分
∵⊥，⊥，
∴∥．
∴△∽△．
∴ ．
∴．………………………4分
（3）解：当点在线段上时，如图2，
过点作∥交于点，交于点．
∴∠2＝∠．
图2
∵∠1=∠2，
∴∠1＝∠．
∴．
∵∠＝，
∴∠3+∠1＝∠HCB+∠4 =．
∴∠3＝∠4．
∴．
∵∥，
∴△∽△．
∴ ．
设，则．
图3
∴在△中，∠＝，．
由（2）得，．
∵,
∴.
∴.
∴．
∵∥，
∴△∽△．
∴．
∴．………………………5分
∴．
∵∥，∥,
∴四边形为平行四边形.
∴.
∴．……………………6分
当点在线段的延长线上时，如图3，
同理可得,,.
∴=．
∴ ．
∴或8．……………………7分
7.（2013.怀柔一模24）（1）解：
当∠ADN等于90度时，∠ACE=∠EBF. ……………………………1分
理由如下：
∵∠ACB=∠ADN =90°，
∴△ABC 和△AND均为直角三角形
又∵AC=AD，AB=AN
∴△ABC≌△AND ……………………………2分
∴∠CAB=∠DAN
∴∠CAD=∠BAN
又∠ACD=∠ADC, ∠ABN=∠ANB
∴∠ACD= ∠ABN 即∠ACE=∠EBF……………………………3分
（2）解：当时，△ACE≌△FBE． ……………………………4分
在△ACD中，∵AC=AD，
∴……………………………5分
在Rt△ABC中，
∠ACD+∠BCE=90°，即，
∴∠BCE=．
∵∠ABC=，
∴∠ABC=∠BCE ……………………6分
∴CE=BE
由（1）知：∠ACE=∠EBF,又∠AEC=∠BEF
∴△ACE≌△FBE．………………………7分
8.（2013.门头沟一模24）
解：（1）．………………………………………………………………………2分
（2）． ………………………………………………………………3分
（3）① ． …………………………………………………………4分
② 如图，连结AD、EP．
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形．
又∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠DAC=30°，BD=DC=BC=．
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，∴△ABE∽△DBM．
∴．∴EB=2BM．
又∵PB =2BM，∴EB=PB．
∵,
∴△BEP为等边三角形．
∴EM⊥BP．∴∠BMD=90°．
∵D为BC的中点，M为BP的中点，∴DM∥PC．∴∠BPC=∠BMD= 90°．
∵，，∠ABE＝∠DBM，
∴△ABE≌△CBP．
∴，∠BPC=∠BEA= 90°．
在Rt△AEB中，∵∠BEA=90°，AE=，AB=7， ∴．
∴．………………………………………………5分
在图2
Rt△ABD中，，
在Rt△NDC中，，
∴．
∴．
过点N作NH⊥AC于H．
∴．…………………………………………………………6分
∴．……………………………………………………7分
9.（2013.密云一模24）（1）如图1，过点E作EG⊥BC于点G．
∵E为AB的中点，
∴BE= AB=2
在Rt△EBG中，∠B=60°，∴∠BEG=30度．
∴BG= BE=1，EG=
即点E到BC的距离为 …………………………1分（2）①当点N在线段AD上运动时，周长不变．
∵PM⊥EF，EG⊥EF，
∴PM∥EG．
∵EF∥BC，
∴EP=GM，PM=EG=
同理MN=AB=4．
如图2，过点P作PH⊥MN于H，
∵MN∥AB，
∴∠NMC=∠B=60°，∠PMH=30度．
∴PH= PM=
∴MH=3/2.
则NH=MN-MH=4- 3/2=5/2.
在Rt△PNH中，PN=
∴△PMN的周长=PM+PN+MN=
②当点N在线段DC上运动时，存在．
当PM=PN时，如图3，作PR⊥MN于R，则MR=NR．
类似①，MR= 3/2.
∴MN=2MR=3．
∵△MNC是等边三角形，
∴MC=MN=3．
此时，x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2．…………………………5分
当MP=MN时，如图4，这时MC=MN=MP=
此时，x=EP=GM=6-1- =5-
当NP=NM时，如图5，∠NPM=∠PMN=30度．
则∠PMN=120°，又∠MNC=60°，
∴∠PNM+∠MNC=180度．
因此点P与F重合，△PMC为直角三角形．
∴MC=PM•tan30°=1．
此时，x=EP=GM=6-1-1=4．………………………………7分
综上所述，当x=2或4或5-时，△PMN为等腰三角形．
10.（2013.平谷一模24）解：（1）60°……………..1分
（2）45° ………………………………..2分
证明：作AE⊥AB且.
可证. ……………………………..3分
∴
∵ ∴
图2
∴
∴ 是等腰直角三角形, ……………….5分
又△AEC≌△CAN（s， a， s）…………………………………………………………..6分
∴
∴ EC∥AN.
∴ …………………………………………………………………..7分
11.（2013.石景山一模24）解：(1) …………………………… 1分
（2由作图知，∠
∵△是等边三角形．
∴,
∴
在△和△中
∴△≌△
∴ …………………………… 3分
图3 图4
（3）如图3，同①可证△≌△ ，
当∥时，
∵
∴
∵
∴
∴且…………………………… 5分
∴此时四边形是梯形．
如图4，同理可证△≌△,
当∥时，
,
∵
∴
∴
此时与不平行，四边形是梯形．
综上所述，这样的点有两个，分别在点两侧，当点在点左侧时，；当点在点右侧时，.…………………………… 7分
12.（2013.西城一模24）解：（1）=，△PMN周长的最小值为 3 ； …………2分
图6
（2）分别将△PAB、△PBC、△PAC沿直线AB、BC、AC翻折，点P的对称点分别是点D、E、F，连接DE、DF，（如图6）
则△PAB≌△DAB，△PCB≌△ECB，△PAC≌△FAC.
∴AD=AP=AF， BD=BP=BE，CE=CP=CF.
∵由（1）知∠ABC=30°，∠BAC=60°，∠ACB=90°，
∴∠DBE=2∠ABC=60°，∠DAF=2∠BAC=120°，
∠FCE=2∠ACB=180°.
∴△DBE是等边三角形，点F、C、E共线.
∴DE=BD=BP=，EF=CE+CF=2CP=2.
∵△ADF中，AD=AF=，∠DAF=120°，
∴∠ADF=∠AFD=30°.
∴DF=AD =.
∴.
∴∠DFE=90°. ………………………………………………………4分
∵，
∴.
∴. ……………………………………………5分
（3）∠APB=150°. ………………………………………………………… 7分
说明：作BM⊥DE于M，AN⊥DF于N.（如图7）
由（2）知∠DBE=，∠DAF=.
图7
∵BD=BE=，AD=AF=，
∴∠DBM=，∠DAN=.
∴∠1=，∠3=.
∴DM =，DN=.
∴DE=DF=EF.
∴∠2=60°.
∴∠APB=∠BDA=∠1+∠2+∠3=150°.
13.（2013.顺义一模24）
（1）证明：∵
∴
又∵
∴
∴ ………………………………………………………2分
（2）成立.
证明：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为
则
∵
∴
∴
∴ …………………………………4分
（3）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，则
∴
∴ …………………………………5分
∴
∴
∴
∴ …………………………………7分
14.（2013.通州一模24）解：（1）过点A作于点G .
∵∠ADB=60°，，
∴，，
∴ ，
∴ tan，
∴，， ……………… 1分；
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ，， ……………… 2分；
由勾股定理得：. …… 3分；
（2）作，且使，连接ED、EB. ………… 4分；
∴△AED是等边三角形，
∴，，
∵ △ABC是等边三角形，
∴，，
∴，
即，
∴△EAB≌△DAC. ……………… 5分；
∴EB=DC .
当点E、D、B在同一直线上时，EB最大，
∴， ……………… 6分；
∴ CD 的最大值为6，此时. ……………… 7分.
另解：作，且使，连接DF、AF.
参照上面解法给分.
15.（2013.海淀二模24）解:(1) ∵平分，
∴．
∵∥，
∴．
∴．---------------1分
∴．
∵，
∴．---------------2分
（2）①证明：过作于点．
∴．
∵，，
∴．
∴．
由（1）得．
∴点、、在以为圆心，为半径的圆上．
∴．
∴.----------3分
∵==，
∴．
∴．
∴△∽△．------------------4分
∵，，
∴=4．
∵∥，
∴．
∴．----------------------5分
②． -------------------------7分
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