四边形
1.（2013顺义一模19）已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，，，，，求AC和BD的长.
2.（2013石景山一模19）已知：如图，在四边形中，，△是等边三角形，，.求四边形的周长.
3.（2013西城一模19）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，
AC⊥AB，AB=2，且AC︰BD=2︰3．
(1) 求AC的长；
(2) 求△AOD的面积．
4.（2013平谷一模19）已知：如图，四边形ABCD中，，，E是AD上一点，∠BED=135°，，,．
求(1)点C到直线AD的距离；
（2）线段BC的长．
A
D
F
E
B C
5.（2013通州一模20）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC＝，△DCE是等边三角形，DE交AB于点F，求△BEF的周长．
6.（2013密云一模19）如图，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF
（1）证明：四边形AECF是矩形；
（2）若AB=8，求菱形的面积。
D
7.（2013门头沟一模19）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ADC=120º，
AB=AD，E是BC的中点，DE=15，DC=24，
求四边形ABCD的周长．
8.（2013丰台一模19）如图，四边形ABCD中，AB = AD，∠BAD=90°，∠CBD=30°，∠BCD=45°，
若AB=.求四边形的面积．
A
B
C
D
9.（2013海淀一模19）
如图，在四边形中，对角线,相交于点,==,=,∠=,.求的长和△的面积．
10.（2013怀柔一模19）将一副三角板如图拼接：含30°角的三角板（△ABC）的长直角边与含45°角的三角板（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝2，P是AC上的一个动点，连接DP．
（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，求DP的长；
（2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数；
11.（2013房山一模19）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°,
∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长．
第19题图
12.（2013朝阳一模19）如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，∠B=60°，AD=6，AB=，
AB⊥AC,在CD上选取一点E，连接AE，将△ADE沿AE翻折，使点
D落在AC上的点F处．
求（1）CD的长；
（2）DE的长．
13.（2013昌平一模21）已知：如图，在□ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AE，DF分别与线段BC相交于点E，F，AE与DF相交于点G．
（1）求证：AE⊥DF；
（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长．
14.（2013大兴一模19）已知：如图，过正方形ABCD的顶点B作直线BE平行于对角线AC，AE=AC（E，C均在AB的同侧）.
求证：∠CAE=2∠BAE .
15.（2013东城一模20）如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，
∠AED=2∠CED，点G是DF的中点．
（1）求证：∠CED=∠DAG；
（2）若BE=1，AG=4，求的值．
16.（2013燕山一模19）如图，四边形ABCD中，∠ADC ＝∠B ＝90°，∠C ＝ 60°，AD＝，E为DC 中点，AE∥BC．求BC的长和四边形ABCD的面积．
第五章 四边形参考答案
1.（2013顺义一模19）解：∵
∴
∵ ，，
∴
∴ ， …………………………………………1分
∴ ……………………………………………………… 2分-
∴ ………………………………………………3分
过点作,垂足为
∵
∴
………………………………………………4分
∵
∴
∴ …………………………5分
2.（2013石景山一模19）解：过点作于点………1分
∵
∴
∵△是等边三角形
∴
∴ ………………… 2分
在Rt△中，
∴
由勾股定理得： ………………………………3分
在Rt△中，
∴
∴ ………………………………4分
∴
∴
∴…………5分
即四边形的周长为.
3.（2013西城一模19）解：（1）如图2.
图2
∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，
∴OA= AC，OB= BD . …………… 1分
∵AC︰BD=2︰3，
∴OA︰OB=2︰3 .
设OA=2x (x >0)，则OB=3x.
∵AC⊥AB，
∴∠BAC =90°.
在Rt△OAB中，OA2+AB2=OB2. …………………………………… 2分
∵AB=2，
∴(2x)2+22=(3x)2 .
解得x=±(舍负).
∴AC=2OA= . …………………………………………………… 3分
（2）∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，
∴OB=OD.
∴S△AOD= S△AOB= AO·AB = ××2= . ……………………… 5分
4.（2013平谷一模19）解：（1）作CF⊥AD交AD的延长线于F. …………..1分
∵ ∠ADC=120°，
∴ ∠CDF=60°.
在Rt△CDF中，………………………………………2分
即点C到直线AD的距离为3.
（2）∵ ∠BED=135°，，
∴ ∠AEB=45°.
∵ ，
∴ ∠ABE=45°.
∴ ……………………3分
作BG⊥CF于G.可证四边形ABGF是矩形.
∴ FG=AB=2，CG=CFFG=1.
∵ ，
∴ ………………………………..4分
∴ ……………………………………………… 5分
5.（2013通州一模20） 解法一：∵矩形ABCD，△DCE是等边三角形，
∴，，
在Rt△中，，，
∴tan，
tan，
∴，
∴，， ……………… 1分；
∴， ……………… 2分；
过点E作，交CB的延长线于点G. ……………… 3分；
在Rt△中，，，，
∴，cos，
cos，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴（舍去负值） ……………… 4分；
∴△BEF的周长=. ……………… 5分.
解法二：∵矩形ABCD，△DCE是等边三角形，
∴，，
过点E作交CD于点H，交AB于点G. ……………… 1分；
∴点H是DC的中点，点G是AB的中点，
，，
在Rt△中，，，
∴sin，
sin，
∴，
∴.
在Rt△中，，，
∴sin，
sin，
∴， ……………… 2分；
∴，
∵点G是AB的中点，，
∴，
∴， ……………… 3分；
由勾股定理得，，
∴（舍去负值） ……………… 4分；
∴△BEF的周长=. ……………… 5分.
解法三：∵矩形ABCD，△DCE是等边三角形，
∴，，
在Rt△中，，，
∴tan，
tan，
∴，
∴，， ……………… 1分；
∴， ……………… 2分；
过点B作，交CE于点G. ……………… 3分；
在Rt△中，，，，
∴，cos，
cos，
∴，
∴，
由勾股定理得，，或BG是线段EC的垂直平分线，
∴（舍去负值）或BE=BC ， ………… 4分；
∴△BEF的周长=. ……………… 5分.
6.（2013密云一模19）（1）四边形ABCD是菱形
又
是BC的中点
……………………………….1分
E、F分别是AD、BC的中点
菱形AECF AD∥BC
AF∥EC
四边形AECF是平行四边形………………2分
又
四边形AECF是矩形………………………3分
（2）在中
……………………5分
7.（2013门头沟一模19）解：如图，过点A作AF⊥BD于F．
∵∠BAD=120°，AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=30°．
∵∠ADC=120°， ∴∠BDC=∠ADC－∠ADB==90°．
在Rt△BDC中，∠BDC=90°，DE=15，E是BC的中点，DC=24，
∴BC=2DE=30．…………………………………2分
∴．………3分
∵AD=AB，AF⊥BD，∴．
在Rt△AFD中，∵∠AFD=90°，∠ADB=30°，
∴．……………………………………4分
∴四边形ABCD的周长=AB+AD+DC+BC． ………5分
8.（2013丰台一模19）解：过点C作CE∥DB，交AB的延长线于点E．
∴∠ACE=∠COD=60°． -----------------1分
又∵DC∥AB， ∴四边形DCEB为平行四边形．---------------- 2分
∴BD=CE，BE = DC =3，AE=AB+BE=8+3=11． ---------------- 3分
又∵DC∥AB，AD=BC，
∴DB=AC =CE．
∴△ACE为等边三角形．
∴AC=AE=11， ∠CAB=60°． ----------- 4分
过点C作CH⊥AE于点H．在Rt△ACH中， CH=AC·sin∠CAB=11×=．
∴梯形ABCD的高为． ------------- 5分
9.（2013海淀一模19） 解：过点作⊥于.
∵∠=90°,∠1=30°,
∴∠2=∠3=60°. ………………………1分
在△中，∠=90°.
∵∠4=45°，,
∴==.………………………2分
在△中，∠AFE=90°.
∴.………………………3分
在△中，∠=90°.
∴.
∴.………………………4分
∴.………………………5分
10.（2013怀柔一模19）
解：（1）在Rt△ABC中，AB＝2，∠BAC＝30°
∴BC＝，AC＝3．
如图（1），作DF⊥AC
∵Rt△ACD中，AD＝CD
∴DF＝AF＝CF＝ ………………………………………… 1分
∵BP平分∠ABC
∴∠PBC＝30°
∴CP＝BC·tan30°＝1
∴PF＝
∴DP＝＝． ………………………………………… 2分
（2）当P点位置如图（2）所示时，根据（1）中结论，DF＝，∠ADF＝45°
又PD＝BC＝
∴cos∠PDF＝＝
∴∠PDF＝30°………………………………………… 3分
∴∠PDA＝∠ADF－∠PDF＝15°………………………………………… 4分
当P点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF＝30°．
∴∠PDA＝∠ADF＋∠PDF＝75°………………………………………… 5分
11.（2013房山一模19）解：过点B作BM⊥FD于点M． -------------------------1分
在△ACB中，∠ACB=90°, ∠A=60°,AC=10,
∴∠ABC=30°, BC=AC tan60°=10, --------------------------------2分
∵AB∥CF，∴∠BCM=30°．
∴ ----------------------------3分
-------4分
在△EFD中，∠F=90°, ∠E=45°,
∴∠EDF=45°,
∴．
∴． ----------5分
12.（2013朝阳一模19）解：（1）∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°.
∵∠B=60°，AB=，
∴AC=10. ………………………………………………………………………1分
∵∠D=90°,AD=6，
∴CD=8. ………………………………………………………………………2分
（2）由题意，得∠AFE=∠D=90°，AF=AD=6， EF=DE.
∴∠EFC=90°,
∴FC=4. … ……………………………………………………………………3分
设DE=x,则EF=x,CE=8-x.
在Rt△EFC中，由勾股定理,得 .………………………4分
解得x=3.
所以DE=3. ……………………………………………………………………5分
13.（2013昌平一模21）(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC .
∴∠BAD+∠ADC=180°. ……………………………1分
∵AE、DF分别平分∠BAD、∠ADC，
∴ .
∴ .
∴∠AGD=90°.
∴AE⊥DF . ……………………………………………2分
(2)由（1）知：AD∥BC,且BC= AD= 10，DC =AB=6，∠1=∠3,∠2=∠4 .
∴∠1=∠AEB,∠2=∠DFC.
∴∠3=∠AEB,∠4=∠DFC.
∴BE=AB=6，CF=DC=6.
∴BF=4.
∴EF=2. ……………………………………3分
∵AD∥BC,
∴△EFG∽△ADG.
∴.
∴.
∴EG=.
∴AG=. ……………………………………4分
由（1）知∠FGE=∠AGD=90°，
由勾股定理，得DG= ，FG= .
∴DF= . ……………5分
14.（2013大兴一模19）证明：过A作AG⊥BE于G，连结BD交AC于点O，………………1分
∴ AGBO是正方形.………………………………………………………2分
∴ AG=AO=AC =AE
G
O
∴ ∠AEG=30°. ………………………………………………………3分
∵ BE∥AC，
∴ ∠CAE =∠AEG = 30 º.
∴ ∠BAE = 45º – 30º = 15º .
∴ ∠CAE = 2∠BAE .……………………………………………………5分
15.（2013东城一模20）（本小题满分5分）
解：（1）证明：∵ 矩形ABCD，
∴ AD∥BC.
∴ ∠CED =∠ADE.
又∵点G是DF的中点，
∴ AG=DG.
∴ ∠DAG =∠ADE.
∴ ∠CED =∠DAG. …………………………2分
(2) ∵ ∠AED=2∠CED，∠AGE=2∠DAG，
∴ ∠AED=∠AGE.
∴ AE=AG.
∵ AG=4，
∴ AE=4.
在Rt△AEB中，由勾股定理可求AB=.
∴ . …………………………5分
16.（2013燕山一模19）解： 过E作EF⊥BC于F，
∵∠B＝90°，∴AB∥EF，
∵AE∥BC，∠B＝90°，∴四边形 ABCD是矩形．
∵AE∥BC，∴∠AED＝∠C＝60°．
在Rt△ADE中，∠ADC＝90°，AD＝，
∴DE＝＝1，AE＝＝2． ………………………1分
又∵E为DC 中点，∴CE＝DE＝1，
在Rt△CEF中，∠CFE＝90°，∠C＝60°，
∴CF＝CE·cos 60°＝，EF＝CE·sin 60°＝．………………………2分
∴BC＝BF＋CF＝AE＋CF＝2＋＝． ………………………3分
∴四边形ABCD的面积＝＋
＝AD·DE＋(AE ＋ BC)·EF
＝××1＋×(2＋)×
＝． ………………………5分
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