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专题五 一次函数、反比例函数与实际应用
年份
题型
考点
题号
分值
难易度
2017
选择题、解答题
一次函数综合题、反比例函数的图像
15、24
2＋10＝12
中等题
2016
选择题、解答题
一次函数图像的判断、反比例函数的表达式的确定
5、24、26(1)
3＋10＋3＝16
容易题、中等题
2015
选择题、解答题
一次函数的图像及性质、应用、实际问题中反比例函数图像的判断
10、14、23
3＋2＋10＝15
容易题、中等题
命题规律
纵观河北中考，此专题为必考内容，有一定难度，通常以大题形式出现，多与方程(组)、不等式(组)、三角形相结合；还可考查平移、旋转、翻折三种位置变换，2017年24(3)题目新颖，适合爱动脑筋的学生．体现了教学的批判思想，预测2018年在解答题中还会出现.
此专题内容多出在中档题中，主要有以下三种题型：(1)待定系数法求表达式；(2)应用题找等量关系建立函数模型；(3)两种函数的混搭．
,重难点突破)
一次函数与反比例函数综合题
【例1】一次函数y＝mx＋5的图像与反比例函数y＝(k≠0)在第一象限的图像交于A(1，n)和B(4，1)两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△OAM的面积S；
(3)在y轴上求一点P，使PA＋PB最小．
【解析】(1)根据待定系数法分别求出反比例函数与一次函数表达式即可；(2)根据反比例函数的性质，直接求出面积即可；(3)作点A关于y轴的对称点N，连接BN交y轴于点P，则点P即为所求．
【答案】解：(1)将B(4，1)代入y＝，得1＝.∴k＝4，∴y＝.将B(4，1)代入y＝mx＋5，得1＝4m＋5，∴m＝－1，∴y＝－x＋5；
(2)在y＝中，令x＝1，解得y＝4，∴A(1，4)，∴S＝×1×4＝2；
(3)作点A关于y轴的对称点N，则N(－1，4)，连接BN交y轴于点P，点P即为所求．设直线BN的关系式为y＝kx＋b，由解得y＝－x＋，∴P.
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1．(泰安中考)一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝的图像相交于A(－1，4)，B(2，n)两点，直线AB交x轴于点D.
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)过点B作BC⊥y轴，垂足为C，连接AC交x轴于点E，求△AED的面积S.
解：(1)将A(－1，4)代入y＝，得4＝，∴m＝－4，
∴y＝－.
将x＝2代入y＝－，得y＝－2，
∴B(2，－2)．将A(－1，4)，B(2，－2)代入y＝kx＋b，得解得
∴y＝－2x＋2；
(2)∵△AED的高为4，△ACB的高为：4＋2＝6.∵ED∥BC，∴△AED∽△ACB，
∴＝()2＝，
∴S△AED＝××2×6＝.
【方法指导】
先综合考虑两者之间的联系，再利用待定系数法求一次函数及反比例函数的表达式．
一次函数的实际应用
【例2】(2016邯郸二十三中模拟)山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投入市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%.
A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：
A型车
B型车
进货价格(元)
1 100
1 400
销售价格(元)
今年的销售价格
2 000
(1)今年A型车每辆售价多少元？(用列方程的方法解答)
(2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
【解析】(1)把卖出的数量相同作为等量关系列方程；(2)建立获利的函数关系式，然后用一次函数的性质回答问题．
【答案】(1)设今年A型车每辆售价为x元，则去年每辆售价为(x＋400)元．
由题意，得＝.
解得x＝1 600.
经检验，x＝1 600是所列方程的根．
答：今年A型车每辆售价为1 600元；
(2)设车行新进A型车m辆，则B型车为(60－m)辆，获利y元．
由题意，得y＝(1 600－1 100)m＋(2 000－1 400)(60－m)，
即y＝－100m＋36 000.
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的2倍．
∴60－m≤2m.∴m≥20.
∵－100＜0，y的值随m的值增大而减小．
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∴当m＝20时，获利最大，
∴60－m＝60－20＝40(辆)．
即当新进A型车20辆，B型车40辆时获利最大．
2.
(2017鄂州中考)小东家与学校之间是一条笔直的公路，早饭后，小东步行前往学校，途中发现忘带画板，停下给妈妈打电话，妈妈接到电话后，带上画板马上赶往学校，同时小东沿原路返回，两人相遇后，小东立即赶往学校，妈妈沿原路返回16 min到家，再过5 min小东到达学校．小东始终以100 m/min的速度步行，小东和妈妈的距离y(单位：m)与小东打完电话后的步行时间t(单位：min)之间的函数关系如图所示，下列四种说法：
(1)打电话时，小东和妈妈距离是1 400 m；
(2)小东与妈妈相遇后，妈妈回家速度是50 m/min；
(3)小东打完电话后，经过27 min到达学校；
(4)小东家离学校的距离为2 900 m.
其中正确的个数是( D )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．(丽水中考)2016年3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某运动员从起点万地广场西门出发，途经紫金大桥，沿比赛路线跑回终点万地广场西门．设该运动员离开起点的路程s(km)与跑步时间t(min)之间的函数关系如图所示，其中从起点到紫金大桥的平均速度是0.3 km/min，用时35 min，根据图像提供的信息，解答下列问题：
(1)求图中a的值；
(2)组委会在距离起点2.1 km处设立一个拍摄点C，该运动员从第一次过点C到第二次过点C所用的时间为68 min.
①求AB所在直线的函数表达式；
②该运动员跑完赛程用时多少分钟？
解：(1)a＝0.3×35＝10.5；
(2)①∵直线OA经过点O(0，0)，A(35，10.5)，
∴直线OA的表达式为s＝0.3t(0≤t≤35)，
∴当s＝2.1时，0.3t＝2.1，解得t＝7.
∵该运动员从第一次过点C到第二次过点C所用时间为68 min，∴该运动员从起点到第二次过点C所用的时间是7＋68＝75(min)，
∴直线AB经过(35，10.5)，(75，2.1)两点，
设直线AB的表达式为s＝kt＋b，
则解得
∴s＝－0.21t＋17.85；
②∵该运动员跑完赛程所用的时间即为直线AB与横轴交点的横坐标的值．
∴当s＝0时，－0.21t＋17.85＝0，解得t＝85，
∴该运动员跑完赛程用时85 min.
4．(2017咸宁中考)
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某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试销售，售价为8元/件．工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成如图图像，图中的折线ODE表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．
(1)第24天的日销售量是________件，日销售利润是________元；
(2)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)日销售利润不低于640元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？
解：(1)330，660；
(2)设线段OD所表示的y与x之间的函数表达式为y＝kx.因为y＝kx的图像过点(17，340)，∴17k＝340，解得k＝20，∴线段OD所表示函数表达式为：y＝20x.根据题意，得线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为：y＝340－5(x－22)＝－5x＋450.∵D是线段OD与线段DE的交点，解方程组得∴D的坐标为(18，360)，∴y＝
(3)当0≤x≤18时，由题意得(8－6)×20x≥640，解得x≥16；当18＜x≤30时，由题意得(8－6)×(－5x＋450)≥640，解得x≤26，∴16≤x≤26，26－16＋1＝11(天)，∴日销售利润不低于640元的共有11天．∵D的坐标为(18，360)，∴日最大销售量为360件，(8－6)×360＝720(元)，∴试销售期间，日销售最大利润为720元．
【方法指导】
确定一次函数表达式，建立函数模型，再解决实际问题．
反比例函数与其他函数综合应用
【例3】某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x h之间的函数关系如图所示(当4≤x≤10时，y与x成反比例)．
(1)根据图像分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；
(2)问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时？
【解析】(1)分别利用正比例函数以及反比例函数表达式求法得出即可；(2)据y＝4分别求出相应的x的值，进而得出答案．
【答案】解：(1)由图像可知；当0≤x≤4时，y与x成正比例关系，设y＝kx.由图像可知，当x＝4时，y＝8，
∴4k＝8，解得k＝2.∴y＝2x(0≤x≤4)．
当4＜x≤10时，y与x成反比例，设y＝.
由图像可知，当x＝4时，y＝8，
∴m＝4×8＝32，∴y＝(4＜x≤10)．
∴血液中药物浓度上升阶段，y＝2x(0≤x≤4)；
血液中药物浓度下降阶段，y＝(4＜x≤10)．
(2)血液中药物浓度不低于4微克/毫升，即y≥4.
∴2x≥4且≥4，解得2≤x≤8.
∴持续时间为6 h.
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5．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5 h内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(h)的关系可近似地用二次函数y＝－200x2＋400x刻画；1.5 h后(包括1.5 h)y与x可近似地用反比例函数y＝刻画(如图)．
(1)根据上述数学模型计算：
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？
②当x＝5时，y＝45，求k的值；
(2)按国家规定，车辆驾驶人员血液中酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．
解：(1)①当x＝－＝1时，y＝200.
∴喝酒后1 h血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200毫克/百毫升；
②把x＝5，y＝45代入反比例函数y＝，得
k＝5×45＝225；
(2)把y＝20代入反比例函数y＝，得
x＝11.25.
∴喝完酒经过11.25 h为第二天早上7：15.
∴第二天早上7：15以后才可以驾车，7：00不能驾车去上班．
【方法指导】
确定反比例函数表达式，建立函数模型，再解决与其他函数有关的实际问题．
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