第二节 平移与旋转
,河北五年中考命题规律)
年份
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2017
23
图形旋转的相关计算
以扇形为背景：(1)证明全等；(2)求弧长；(3)考查外心
9
9
2016年未考查
2015
26
图形旋转的探究
以矩形和半圆为背景：(1)点的位置；(2)两点间的最小值
14
14
2014
23
图形旋转的相关计算
以三角形旋转为背景：(1)证明全等；(2)求角度；(3)证明菱形
11
11
2013
24(1)
图形旋转的相关证明
以圆为背景，涉及线段旋转：(1)证明两条线段相等
5
5
命题规律
图形的平移与旋转在河北中考中每年最多设置2道题，所占分值为5～14分，题型以解答题为主，选择、填空题中也有所涉及，综合性较强．分析近五年河北中考试题可以看出，本课时的常考类型有：(1)图形平移的相关计算；(2)图形旋转的相关计算．但2016年河北中考没单独在此考点命题.
,河北五年中考真题及模拟)
图形平移的相关计算
1．(2017保定中考模拟)边长为1和2的两个正方形的一边在同一水平线上，小正方形沿水平线自左向右匀速平移穿过大正方形，如图反映了这个运动的全过程．设小正方形的运动时间为t，两正方形重叠部分为s，则s与t的函数图像大约为( B )
,A) ,B) ,C) ,D)
2．(2016保定十七中一模)如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于__4或8__.
图形旋转的相关计算
3．(2016沧州十三中一模)如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝20°，则∠B的度数是( B )
A．70° B．65° C．60° D．55°
4．(2016张家口中考模拟)如图，线段OA垂直射线OB于点O，OA＝4，⊙A的半径是2.将OB绕点O沿顺时针方向旋转，当OB与⊙A相切时，OB旋转的角度为__60°或120°__．
,(第4题图)) ,(第5题图))
5．(2016邯郸中考模拟)如图所示，在正方形ABCD中，AD＝1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD交于点E，则DE的长度为__2－__．
6．(2014河北中考)如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，连接BD，CE交于点F.
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)求∠ACE的度数；
(3)求证：四边形ABFE是菱形．
解：(1)根据图形旋转的性质可得△ABC≌△ADE，且AB＝AC，∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AC＝AD＝AE.∵∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)；
(2)根据图形旋转的性质可知，∠CAE＝100°，且AC＝AE，∴∠ACE＝∠AEC＝(180°－100°)÷2＝40°，∴∠ACE的度数为40°；
(3)∵∠BAC＝∠ACE＝40°，∴BA∥CE.由(1)知∠ABD＝∠ACE＝40°，∠BAE＝∠BAC＋∠CAE＝140°，∴∠BAE＋∠ABD＝180°，∴AE∥BD.∴四边形ABFE是平行四边形．又∵AB＝AE，∴平行四边形ABFE是菱形．
,中考考点清单)
图形的平移
1．定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．
2．三大要素：一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．
3．性质：
(1)平移前后，对应线段__平行且相等__、对应角相等；
(2)各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；
(3)平移前后的图形全等．
4．作图步骤：
(1)根据题意，确定平移的方向和平移的距离；
(2)找出原图形的关键点；
(3)按平移方向和平移距离、平移各个关键点，得到各关键点的对应点；
(4)按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．
图形的旋转
5．定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．
6．三大要素：旋转中心、旋转方向和__旋转角度__．
7．性质：
(1)对应点到旋转中心的距离相等；
(2)每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前后的图形全等．
8．作图步骤：
(1)根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；
(2)找出原图形的关键点；
(3)连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；
(4)按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．
【方法技巧】坐标系中的旋转问题：
1．关于原点对称的点的坐标的应用．其基础知识为：点P(x，y)关于原点对称点的坐标为(－x，－y)，在具体问题中一般根据坐标特点构建方程组来求解，常用到的关系式：点P(a，b)，P1(m，n)关于原点对称，则有
2．坐标系内的旋转作图问题．与一般的旋转作图类似，其不同点在于若是作关于原点的中心对称图形，可以根据点的坐标规律，直接在坐标系内找到对应点的坐标，描点后连线．
,中考重难点突破)
图形平移的相关计算
【例1】如图，已知△ABC的面积为3，且AB＝AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA.
(1)求四边形CEFB的面积；
(2)试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；
(3)若∠BEC＝15°，求AC的长．
【解析】(1)根据平移的性质和平行四边形的性质可得S△EFA＝S△BAF＝S△ABC＝3，进而求即可；(2)容易证▱EFBA为菱形，再据菱形的对角线的性质可得AF与BE的位置关系；(3)过点B作高，用面积法求解即可．
【答案】解：(1)由平移的性质得：AF∥BC且AF＝BC，△EFA≌△ABC，∴四边形AFBC为平行四边形．∴S△EFA＝S△BAF＝S△ABC＝3.∴四边形CEFB的面积为9；
(2)BE⊥AF.理由如下：由(1)知四边形AFBC为平行四边形，∴BF∥AC且BF＝CA.又∵AE＝CA，∴BF∥AE且BF＝AE.∴四边形EFBA为平行四边形．又∵AB＝AC，∴AB＝AE.∴▱EFBA为菱形，∴BE⊥AF；
(3)过点B作BD⊥AC于点D，∠BAC＝∠ABE＋∠AEB＝15°×2＝30°.在Rt△ABD中，sin30°＝＝，故AB＝2BD＝AC.S△ABC＝AC·BD＝AC·AB＝AC2＝3，∴AC＝2.
1．(泉州中考)如图，△ABC沿着由点B到E的方向，平移到△DEF，已知BC＝5，EC＝3，那么平移的距离为( A )
A．2 B．3 C．5 D．7
图形旋转的相关计算
【例2】如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D，E分别是AB，AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜180°)，得到△AB′C′(如图②)．
(1)探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；
(2)当DB′∥AE时，试求旋转角α的度数．
【解析】(1)由于AB＝AC，∠BAC＝90°，D，E分别是AB，AC边的中点，则AD＝AE＝AB，再根据旋转的性质得到∠B′AD＝∠C′AE＝α，AB′＝AB，AC′＝AC，则AB′＝AC′，根据三角形全等的判定方法可得到△B′AD≌△C′AE(SAS)，则有DB′＝EC′；(2)由于DB′∥AE，根据平行线的性质得到∠B′DA＝∠DAE＝90°，又因为AD＝AB＝AB′，根据含30°的直角三角形三边的关系得到∠AB′D＝30°，利用互余即可得到旋转角∠B′AD的度数．
【答案】解：(1)DB′＝EC′.证明如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D，E分别是AB，AC边的中点，∴AD＝AE＝AB.∵△ABC绕点A顺时针旋转α角(0°
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