专题二 规律探索与猜想
一、选择题
1．(2017长沙中考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为( C )
A．24里 B．12里
C．6里 D．3里
2．(2017重庆中考B卷)下列图像都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗，第②个图形中一共有11颗，第③个图形中一共有21颗，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中的颗数为( B )
A．116 B．144 C．145 D．150
3．(2017自贡中考)填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律可求出m的值为( C )
A．180 B．182
C．184 D．186
4．(2017武汉中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( D )
A．4 B．5 C．6 D．7
5．(2017西宁中考)如图，在正方形ABCD中，AB＝3 cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1 cm的速度运动，同时动点N自D点出发沿折线DC—CB以每秒2 cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y(cm2)，运动时间为x(s)，则下列图像中能大致反映y与x之间的函数关系的是( A )
,A) ,B)
,C) ,D)
6．(2017湖州中考)在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中(如图①)，从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形(如图②)，则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是( B )
A．13 B．14 C．15 D．16
7．(2017连云港中考)如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；……按此规律运动到点A2 017处，则点A2 017与点A0间的距离是( A )
A．4 B．2 C．2 D．0
8．(2017宁波中考)一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是( A )
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
9．(2017宁波中考)如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
则第⑦个图案有__19__个黑色棋子．
10．(2017滨州中考)观察下列各式：
＝－；
＝－；
＝－；
……
请利用你所得结论，化简代数式：＋＋＋…＋(n≥3且为整数)，其结果为____．
11．(2017安顺中考)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn－1Bn顶点Bn的横坐标为__2n＋1－2__．
12．(2017衢州中考)如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限．△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__(5，)__；翻滚2 017次后AB中点M经过的路径长为__π__,.)
三、解答题
13．(2017郴州中考)如图①，△ABC是边长为4 cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6 cm，点D从点O出发，沿OM的方向以1 cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE.
图①
(1)求证：△CDE是等边三角形；
(2)如图②，当6＜t＜10时，△BDE周长是否在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由．
图②
(3)如图③，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
图③
解：(1)∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，
∴∠DCE＝60°，DC＝EC，
∴△CDE是等边三角形；
(2)存在，当6＜t＜10时，
由旋转的性质得，BE＝AD，
∴C△DBE＝BE＋DB＋DE＝AB＋DE＝4＋DE，
由(1)知，△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD，
∴C△DBE＝CD＋4，
由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，
此时，CD＝2 cm，
∴△BDE的最小周长＝CD＋4＝2＋4；
(3)存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，
∴当点D与点B重合时，不符合题意；
②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠CDA＝∠CEB，
∠CDE＝∠CDA＋∠BDE＝60°，
则∠BDE＋∠CEB＝60°，
又∠EDB＋∠DEC＋∠CEB＋∠DBE＝180°，
∴∠DBE＝180°－60°－60°＝60°，
即∠ABE＝60°，∠BDE＝60°，
∴∠DEB可能为直角，
由(1)可知，△CDE是等边三角形，
∠DBE＝60°，∴∠CEB＝30°，
则∠BED＝90°.
∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠ACD＝∠ADC＝30°.
∴DA＝CA＝4，
∴OD＝OA－DA＝6－4＝2，
∴t＝2÷1＝2 s；
③当6＜t＜10 s时，由∠DBE＝120°＞90°，
∴此时不存在；
④当t＞10 s时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，
又由(1)知∠CDE＝60°，
∴∠BDE＝∠CDE＋∠BDC＝60°＋∠BDC，
而∠BDC＞0°，
∴∠BDE＞60°，
∴只能∠BDE＝90°，
从而∠BCD＝30°，
∴BD＝BC＝4，
∴OD＝14 cm，
∴t＝14÷1＝14 s.
综上所述，当t＝2或14 s时，以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形．
14．(2017临沂中考)数学课上，张老师出示了问题：如图①，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°，则线段BD，CD，AC三者之间有何等量关系？
经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图②，延长CB到E，使BE＝CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC＝CE，所以AC＝BC＋CD.
小亮展示了另一种正确的思路：如图③，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC＝CF，所以AC＝BC＋CD.
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
(1)小颖提出：如图④，如果把“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°”改为“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝45°”，其他条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．
(2)小华提出：如图⑤，如果把“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°”改为“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝α”，其他条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．
解：(1)BC＋CD＝AC.理由：如答图①，
延长CD至E，使DE＝BC，连接AE.
∵∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴AB＝AD，∠BAD＝180°－∠ABD－∠ADB＝90°，
∵∠ACB＝∠ACD＝45°，
∴∠ACB＋∠ACD＝90°，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°，
∵∠ADC＋∠ADE＝180°，
∴∠ABC＝∠ADE，
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠ACB＝∠AED＝45°，AC＝AE，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝AC，
∵CE＝CD＋DE＝CD＋BC，
∴BC＋CD＝AC；
(2)BC＋CD＝2AC·cosα.
理由：答如图②，
延长CD至E，使DE＝BC，连接AE，
∵∠ABD＝∠ADB＝α，
∴AB＝AD，∠BAD＝180°－∠ABD－∠ADB＝180°－2α，
∵∠ACB＝∠ACD＝α，
∴∠ACB＋∠ACD＝2α，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°，
∵∠ADC＋∠ADE＝180°，
∴∠ABC＝∠ADE，
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠ACB＝∠AED＝α，AC＝AE，
∴∠AEC＝α，
过点A作AF⊥CE于F，
∴CE＝2CF，在Rt△ACF中，∠ACD＝α，CF＝AC·cos∠ACD＝AC·cosα，
∴CE＝2CF＝2AC·cosα，
∵CE＝CD＋DE＝CD＋BC，
∴BC＋CD＝2AC·cosα.
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