圆
1.(2013昌平一摸19)如图,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,延长AB到E,使BE=AB,连接CE.
(1)求证:直线CE是⊙O的切线;
(2)连接OE交BC于点F,若OF=2 , 求EF的长.
2.(2013朝阳一摸20)如图,⊙O是△ABC是的外接圆,BC为⊙O直径,作∠CAD=∠B,且点D在BC的延长线上.
(1)求证:直线AD是⊙O的切线;
(2)若sin∠CAD =,⊙O的半径为8,求CD长.
3.(2013东城一摸21)如图,C是以AB为直径的⊙O上一点,过O作OE⊥AC于点E,过点A作⊙O的切线 交OE的延长线于点F,连结CF并延长交BA的延长线于点P.
(1)求证:PC是⊙O的切线.
(2)若AB=4,∶=1∶2,求CF的长.
4.(2013房山一摸20)如图,BC为半⊙O的直径,点A,E是半圆周上的三等分点, ,垂足为D,联结BE交AD于F,过A作∥BE交CB的延长线于G.
(1)判断直线AG与⊙O的位置关系,并说明理由.
第20题图
(2)若直径BC=2,求线段AF的长.
5.(2013海淀一摸20)已知:如图,在△中,.以为直径的⊙交于点,过点作⊥于点.
(1)求证:与⊙相切;
(2)延长交的延长线于点.若,=求线段的长.
6.(2013怀柔一摸20)如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MN·MC的值.
7.(2013门头沟一摸20)已知:如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,
M为AB上一点,过点M作DM⊥AB,交弦AC
于点E,交⊙O于点F,且DC=DE.
(1)求证:DC是⊙O的切线;
(2)如果DM=15,CE=10,,
求⊙O半径的长.
8.(2013密云一摸20)如图,分别与相切于点,点在上,且,,垂足为.
(1)求证:;
(2)若的半径,,求的长.
9.(2013平谷一摸20)如图,是的直径,点在上,
的平分线交于点,过点作的垂线交的延长线于点,连接交于点.
(1)求证:是的切线;
(2)若,求的长.
10.(2013石景山一摸20)如图,BD为⊙O的直径,AB=AC,AD交BC于点E,AE=1,ED=2.
(1)求证:∠ABC=∠ADB;
(2)求AB的长;
(3)延长DB到F,使得BF=BO,连接FA,试判断直线FA与⊙O的位置关系,并说明理由.
11.(2013顺义一摸20)如图,已知,以为直径的交于点,点为的中点,连结交于点,且.
(1)判断直线与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若的半为2,,求的长.
12.(2013通州一摸21)已知:如图,AB是⊙O的直径,AC是弦.过点A作∠BAC的角平分线,交⊙O于点D,过点D作AC的垂线,交AC的延长线于点E.
E
A B
C
D
O
(1)求证:直线ED是⊙O的切线;
(2)连接EO,交AD于点F,若5AC=3AB,求的值.
13.(2013西城一摸20)如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径作⊙O交BC于
点D,过点D作FE⊥AB于点E,交AC的延长线于点F.
(1) 求证:EF与⊙O相切;
(2) 若AE=6,sin∠CFD=,求EB的长.
14.(2013延庆一摸23)如图,AB是⊙O的直径,AC和BD是它的两条切线,CO平分∠ACD.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若AC=2,BD=3,求AB的长.
15.(2013燕山一摸20)如图,△ABC中,AC =B C .以B C为直径作⊙O交AB于点D,交AC 于点G.作直线DF⊥AC交AC于点,交的延长线于点.
⑴求证:直线EF是⊙O 的切线;
⑵若BC=6,AB=4,求DE的长.
16.(2013朝阳二摸20)如图,在△ABC中,AC=BC,D是BC上的一点,且满足∠BAD=∠C,以AD为直径的⊙O与AB、AC分别相交于点E、F.
(1)求证:直线BC是⊙O的切线;
(2)连接EF,若tan∠AEF=,AD=4,求BD的长.
17.(2013丰台二摸20)已知:如图,直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过点C作CD⊥PA,垂足为点D.
A
B
P
O
C
D
E
(1)求证:CD与⊙O相切;
(2)若tan∠ACD=,⊙O的直径为10,求AB的长.
18.(2013海淀二摸20)如图,△ABC中,E是AC上一点,且AE=AB,,以AB为直径的⊙交AC于点D,交EB于点F.
(1)求证:BC与⊙O相切;
(2)若,求AC的长.
19.(2013西城二摸21)如图,以△ABC的一边AB为直径作⊙O,⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点,过点D作⊙O的切线交AC边于点E.
(1) 求证:DE⊥AC;
(2) 连结OC交DE于点F,若,求的值.
20.(2013东城二摸21)如图,点A,B,C分别是⊙O上的点,∠B=60°,AC=3,CD是⊙O的直径,P是CD延长线上的一点,且AP=AC.
(1)求证:AP是⊙O的切线;
(2)求PD的长.
第六章 圆参考答案
1.(2013昌平一模19)(1)证明:连接OC
∵四边形ABCD是的内接正方形,
∴AB=BC,CO平分∠DCB,∠DCB=∠ABC=90°.
∴∠1=45°,∠EBC=90°.
∵AB=BE,
∴BC=BE.
∴∠2=45°.
∴∠OCE=∠1+∠2 = 90°.
∵点C在上,
∴直线CE是的切线. …………………………… 2分
(2)解:过点O作OM⊥AB于M,
∴.
∴. ……………………………………3分
∵FB⊥AE,
∴FB∥OM .
∴△EFB∽△EOM . ………………………………………………4分
∴.
∴.
∴EF = 4. …………………………………………………………5分
2.(2013朝阳一模20)(1)证明:连接OA.
∵BC为⊙O的直径,
∴∠BAC=90°. ……………………………………………………………………………1分
∴∠B+∠ACB=90°.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA.
∵∠CAD=∠B,
∴∠CAD+∠OAC=90°.
即∠OAD=90°.
∴OA⊥AD.
∴AD是⊙O的切线. ……………………………………………………………………2分
(2) 解:过点C作CE⊥AD于点E.
∵∠CAD=∠B,
∴sinB =sin∠CAD =.………………………………………………………………3分
∵⊙O的半径为8,
∴BC=16.
∴AC= .
∴在Rt△ACE中,CE=2.…………………………………………4分
∵CE⊥AD,
∴∠CED=∠OAD=90°.
∴CE∥OA.
∴△CED ∽△OAD.
∴.
设CD=x,则OD=x+8.
即.
解得x=.
所以CD=.………………………………………………………………………………5分
3.(2013东城一模21)(本小题满分5分)
解:(1)证明:连结OC .
∵ OE⊥AC,
∴ AE=CE .
∴ FA=FC.
∴ ∠FAC=∠FCA.
∵ OA=OC,
∴ ∠OAC=∠OCA.
∴ ∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA.
即∠FAO=∠FCO .
∵ FA与⊙O相切,且AB是⊙O的直径,
∴ FA⊥AB.
∴ ∠FCO=∠FAO=90°.
∴ PC是⊙O的切线. ………………………………………………… 2分
(2)∵∠PCO=90°,
即∠ACO +∠ACP =90°.
又∵∠BCO+∠ACO =90°,
∴ ∠ACP=∠BCO.
∵ BO=CO,
∴ ∠BCO=∠B.
∴ ∠ACP=∠B.
∵ ∠P公共角,
∴ △PCA∽△PBC .
∴ .
∵ ∶=1∶2,
∴ .
∵ ∠AEO=∠ACB=90°,
∴ OF∥BC.
∴ .
∴ .
∴ .
∵ AB=4,
∴ AO=2 .
∴ AF=1 .
∴ CF=1 . ………………5分
4.(2013房山一模20)解:(1)直线AG与⊙O相切. ------------------------------1分
证明:连接OA,∵点A,E是半圆周上的三等分点,
A
B
C
E
D
F
G
O
∴弧BA、AE、EC相等,∴点A是弧BE的中点,
∴OA⊥BE.
又∵AG∥BE,∴OA⊥AG.
∴直线AG与⊙O相切. ------------ -----------------------------2分
(2)∵点A,E是半圆周上的三等分点,
∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°.
又OA=OB,∴△ABO为正三角形. ---------------------------------3分
又AD⊥OB,OB=1,
∴BD=OD=, AD=. ------------------------------------------4分
又∠EBC==30°,
在Rt△FBD中, FD=BDtan∠EBC= BD tan30°=,
∴AF=ADDF=-= --------------------------------------------5分
5.(2013海淀一模20)(1)证明:连接. ………………………1分
∵=,
∴.
又∵,
∴.
∴.
∴∥.
∵⊥于,
∴⊥.
∵点在⊙上,
∴与⊙相切. ………………………2分
(2)解:连接.
∵为⊙的直径,
∴∠=90°.
∵=6,=,
∴=.………………3分
∵,
∴.
∴
在△中,∠=90°.
∵,
∴. ………………………4分
又∵∥,
∴△∽△.
∴.
∵,
∴.
∴.
∴. ………………………5分
6.(2013怀柔一模20)解:
(1)∵OA=OC,∴∠A=∠ACO
∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB
∴∠A=∠ACO=∠PCB ……………………………1分
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACO+∠OCB=90°
∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP
∵OC是⊙O的半径
∴PC是⊙O的切线 …………………………………………………2分
(2)连接MA,MB
∵点M是的中点
∴
∴∠BCM=∠ABM ……………………3分
∵∠BMC=∠BMN
∴△MBN∽△MCB
∴
∴BM2=MC·MN ……………………4分
∵AB是⊙O的直径,弧AM=弧BM
∴∠AMB=90°,AM=BM
∵AB=4 ∴BM=
∴MC·MN=BM2=8 ……………………………………………………5分
7.(2013门头沟一模20)(1)证明:如图1,连结OC.
∵OA=OC,DC=DE,
∴∠A=∠OCA,∠DCE=∠DEC.
又∵DM⊥AB,
∴∠A+∠AEM=∠OCA+∠DEC=90°.
∴∠OCA+∠DCE=∠OCD=90°.
∴DC是⊙O的切线.………………………2分
(2)解:如图2,过点D作DG⊥AC于点G,连结BC.
∵DC=DE,CE=10,∴EG=CE=5.
∵cos∠DEG=cos∠AEM==,
∴DE=13.∴DG==12.
∵DM=15,∴EM=DMDE=2.…………3分
∵∠AME=∠DGE=90°,∠AEM=∠DEG,
∴△AEM∽△DEG.
∴.∴.
∴,. ∴.
∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°.
∴cosA=.∴.…………4分
∴⊙O的半径长为. ………………………………………………5分
8.(2013密云一模20)(1)连接,则.
∵,
∴.……………………………...分
∵,
∴四边形是矩形.………………..2分
∴.
(2)连接,则.……………3分
∵,,,
∴,.
∴…………………4分
∴.
设,则.
在中,有.
∴.即.…………………….5分
9.(2013平谷一模20)解:(1)证明:连结,则.
∴
∵ 平分
∴ ,
∴ . ………………………………….1分
∴ .
∵ ,即,
∴ ,即.
∴ 与相切.……………………………..2分
(2)连结.
∵是的直径,
∴.
∴ ……………………………………………………….3分
∵ .
∴
∴ ,即,得.
∴ . …………………………………………………4分
可证
∴ ∴ ……5分
10.(2013石景山一模20)(1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,
又∵∠C=∠D,∴∠ABC=∠ADB. …………1分
(2) ∵∠ABC=∠ADB又∵∠BAE=∠DAB,
∴△ABE∽△ADB, …………………………2分
∴,
∴AB2=AD·AE=(AE+ED)·AE=(1+2)×1=3,∴AB=.…………3分
(3) 直线FA与⊙O相切,理由如下:
联结OA,∵BD为⊙O的直径,∴∠BAD=90°,
∴,………………………………………4分
BF=BO=,
∵AB=,∴BF=BO=AB,可证∠OAF=90°,
∴直线FA与⊙O相切.………………………………………5分
11.(2013顺义一模20)⑴ 与⊙O相切
证明:连接,
∵是的直径
∴
∴
∵
∴
又 ∵为的中点
∴ …………………………1分
∴
即
又∵是直径
∴是的切线 …………………………2分
(2)∵的半为2
∴,
∵
由(1)知,,
∴ ,
∴ , ………………………… 3分
∵,
∴∽,
∴
∴, …………………………4分
设
由勾股定理 , (舍负)
∴ …………………………5分
12.(2013通州一模21) (1)证明:连接OD.
∵,
∴,
∵AD平分,
∴,
∴, ……………… 1分;
∴∥OD,
∵,
∴,
∵点D在⊙O上,
∴ED是⊙O的切线; ……………… 2分;
(2)解法一:连接CB,过点O作于点G.…………… 3分;
∵ AB是⊙O的直径,
∴,
∵,
∴OG∥CB ,
∴,
∵5AC=3AB ,
∴, ……………… 4分;
设,
∵,,
∴四边形EGOD是矩形,
∴,AE∥OD ,
∴,,,
∴△AEF∽△DFO ,
∴ ,
∴ ,
∴. ……………… 5分.
解法二:连接CB,过点A作交DO的延长线于点H. ………… 3分;
∵,,
∴四边形AHDE是矩形,
∴,AE∥HD ,AH∥ED ,
∴,
∵ AB是⊙O的直径,
∴,
∴,
∴△AHO∽△BCA,
∴,
∵5AC=3AB ,
∴, ……………… 4分;
设,
∴,,
∵AE∥HD,
∴△AEF∽△DFO ,
∴ ,
∴ ,
∴. ……………… 5分.
解法三:连接CB,分别延长AB、ED交于点G. ………… 3分;
∵,,
∴AE∥OD ,,
∴,
∵ AB是⊙O的直径,
∴,
∴,
∴△GDO∽△BCA,
∴,
∵5AC=3AB ,
∴, ……………… 4分;
设,
∴,,
∵AE∥OD,
∴△AEG∽△ODG ,△AEF∽△DFO ,
∴ , ,
∴ ,
∴. ……………… 5分.
图3
13.(2013西城一模20)(1)证明:连接OD . (如图3)
∵OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC.
∵AB=AC,
∴∠ACB=∠B.
∴∠ODC=∠B.
∴OD∥AB. ……………………………………………… 1分
∴∠ODF=∠AEF.
∵EF⊥AB,
∴∠ODF =∠AEF =90°.
∴OD⊥EF .
∵OD为⊙O的半径,
∴EF与⊙O相切. ………………………………………………2分
(2)解:由(1)知:OD∥AB,OD⊥EF .
在Rt△AEF中,sin∠CFD = = ,AE=6.
∴AF=10. ………………………………………………………………3分
∵OD∥AB,
∴△ODF∽△AEF.
∴.
设⊙O的半径为r,
∴ = .
解得r= . ……………………………………………………………… 4分
∴AB= AC=2r = .
∴EB=AB-AE= -6= . ………… 5 分
14.(2013延庆一模23)(1)证明:过O点作OE⊥CD,垂足为E,
∵AC是切线,
∴OA⊥AC, ……………………………………………2分
∵CO平分∠ACD,OE⊥CD,
∴OA=OE, ………………………………3分
∴CD是⊙O的切线. ………………………………4分
(2)解:过C点作CF⊥BD,垂足为F,……………5分
∵AC、CD、BD都是切线,
∴AC=CE=2,BD=DE=3,
∴CD=CE+DE=5, …………………………6分
∵∠CAB=∠ABD=∠CFB=90°,
∴四边形ABFC是矩形,
∴BF=AC=2,DF=BD﹣BF=1,
在Rt△CDF中,CF2=CD2﹣DF2=52﹣12=24,
∴AB=CF=2. …………………………………………………7分
15.(2013燕山一模20)⑴证法一:如图,连结OD,
∵AC=BC,
∴∠A=∠ABC
∵OD=OB,
∴∠ABC=∠BDO,
∴∠BDO=∠A,
∴OD∥AC, ………………………1分
∵,∴,
∴直线是⊙O的切线. ………………………2分
证法二:如图,连结OD,CD,
∵BC是⊙O直径,∴∠BDC=90°,即CD⊥AB.
∵AC=BC,
∴AD=BD,即D是AB的中点. ………………………1分
∵O是BC的中点,
∴DO∥AC.
∵⊥AC于,
∴,
∴直线是⊙O的切线. ………………………2分
⑵解法一:如图,连结CD,由⑴证法二,∠BDC=90°,D是AB的中点,AB=4,
∴AD=BD=2.
在Rt△ADC中,AC=6,AD=2,
由勾股定理得:CD==2, ………………3分
又∵⊥AC,
∴DF===2,
∴CF==4, …………………4分
又∵DO∥CF,
∴,即,
解得ED=6. ………………………5分
解法二:如图,连结OD,CD,,
同解法一得∠BDC=90°,CD=2, ………………………3分
∵是⊙O直径,∴∠BGC=90°,
在△ABC中,有=,
∴BG===4, ………………………4分
又∵∠BGC=∠CFE=90°,
∴,∴∠E=∠GBC.
在Rt△BGC中,BC=6,BG=4,
∴CG==2,
tan∠GBC==,
在Rt△EOD中,OD=BC=3,tan∠E=tan∠GBC=,
∴ED==6. ………………………5分
16.(2013朝阳二模20)(1)证明:在△ABC中,
∵AC=BC,
∴∠ CAB = ∠B.
∵∠ CAB +∠B+∠C=180º,
∴2∠B+∠C=180º.
∴=90º. ……………………………………………………1分
∵∠BAD=∠C,
∴=90º.
∴∠ADB=90º.
∴AD⊥BC.
∵AD为⊙O直径的,
∴直线BC是⊙O的切线. …………………………………………………2分
(2)解:如图,连接DF,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠AFD = 90º. ……………………………………………………………………3分
∵∠ADC=90º,
∴∠ADF+∠FDC=∠CD+∠FDC=90º.
∴∠ADF=∠C. …………………………………………………………………4分
∵∠ADF=∠AEF,tan∠AEF=,
∴tan∠C=tan∠ADF=.
在Rt△ACD中,
设AD=4x,则CD=3x.
∴
∴BC=5x,BD=2x.
∵AD=4,
∴x=1.
∴BD=2. ……………………………………5分
A
B
P
O
C
D
E
G
17.(2013丰台二模20)(1)证明:连结OC.
∵ 点C在⊙O上,OA=OC,
∴
∵ ,∴ ,有.
∵ AC平分∠PAE,∴
∴ ---------1分
∴
∵ 点C在⊙O上,OC为⊙O的半径,
∴ CD为⊙O的切线. ---------2分
(2)解: 过点O作OG⊥AB于G.
∵,,∴四边形OCDG是矩形.
∴OG=CD, GD=OC. ---------3分
∵ ⊙O的直径为10,∴OA=OC=5.∴DG=5.
∵tan∠ACD,设AD=x, CD=2x ,则OG=2x.∴ AG=DG-AD=5- x .
在中,由勾股定理知
∴ 解得. ----------------4分
∴ . -------------------------5分
18.(2013海淀二模20) (1)证明:连接.
∵为直径,
∴∠.
∵,
∴△为等腰三角形.
∴∠∠.
∵,
∴∠∠ -------------------------1分
∴∠∠∠∠.
∴∠ .
∴与⊙相切. -------------------------2分
(2) 解:过作于点
∠∠,
∴.
在△中,∠,
∵,
∴∠--------------3分
∴.
在△中,∠,
∴------------------4分
∵,⊥,
∴∥
∴△∽△
∴.
∴
∴
∴ -------------------------5分
19.(2013西城二模21)(1)证明:连接OD .
∵DE是⊙O的切线,
∴DE⊥OD,即∠ODE=90° . ……………………………………………1分
∵AB是⊙O的直径,
∴O是AB的中点.
又∵D是BC的中点, .
∴OD∥AC .
∴∠DEC=∠ODE= 90° .
∴DE⊥AC . ……………………………………………………………… 2分
(2)连接AD .
∵OD∥AC,
∴. …………………………………………………………………… 3分
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB= ∠ADC =90° .
又∵D为BC的中点,
∴AB=AC.
∵sin∠ABC= =,
故设AD=3x , 则AB=AC=4x , OD=2x . ………………………………………… 4分
∵DE⊥AC,
∴∠ADC= ∠AED= 90°.
∵∠DAC= ∠EAD,
∴△ADC∽△AED.
∴.
∴.
∴.
∴.
∴. ………………………………………………………………… 5分
20.(2013东城二模21)解:(1)证明:连接OA.
∵∠B=60°,∴∠AOC=2∠B=120°.
又∵OA=OC,∴∠ACP=∠CAO=30°.∴∠AOP=60°.
∵AP=AC,∴∠P=∠ACP=30°.
∴∠OAP=90°,∴OA⊥AP.
∴ AP是⊙O的切线. …………………2分
(2)解:连接AD.
∵CD是⊙O的直径,∴∠CAD=90°.
∴AD=AC•tan30°=.
∵∠ADC=∠B=60°,∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°=30°.∴∠P=∠PAD.
∴PD=AD=. …………………5分