2013年北京市中考数学一、二模拟考圆试题汇编
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资料简介
‎ 圆 ‎ ‎ ‎1.(2013昌平一摸19)如图,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,延长AB到E,使BE=AB,连接CE.‎ ‎(1)求证:直线CE是⊙O的切线;‎ ‎(2)连接OE交BC于点F,若OF=2 , 求EF的长.‎ ‎2.(2013朝阳一摸20)如图,⊙O是△ABC是的外接圆,BC为⊙O直径,作∠CAD=∠B,且点D在BC的延长线上.‎ ‎(1)求证:直线AD是⊙O的切线;‎ ‎(2)若sin∠CAD =,⊙O的半径为8,求CD长.‎ ‎3.(2013东城一摸21)如图,C是以AB为直径的⊙O上一点,过O作OE⊥AC于点E,过点A作⊙O的切线 交OE的延长线于点F,连结CF并延长交BA的延长线于点P.‎ ‎(1)求证:PC是⊙O的切线.‎ ‎(2)若AB=4,∶=1∶2,求CF的长. ‎  ‎4.(2013房山一摸20)如图,BC为半⊙O的直径,点A,E是半圆周上的三等分点, ,垂足为D,联结BE交AD于F,过A作∥BE交CB的延长线于G.‎ ‎(1)判断直线AG与⊙O的位置关系,并说明理由.‎ 第20题图 ‎(2)若直径BC=2,求线段AF的长.‎ ‎5.(2013海淀一摸20)已知:如图,在△中,.以为直径的⊙交于点,过点作⊥于点.‎ ‎(1)求证:与⊙相切;‎ ‎(2)延长交的延长线于点.若,=求线段的长. ‎ ‎6.(2013怀柔一摸20)如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.‎ ‎(1)求证:PC是⊙O的切线;‎ ‎(2)点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MN·MC的值.‎ ‎7.(2013门头沟一摸20)已知:如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,‎ M为AB上一点,过点M作DM⊥AB,交弦AC 于点E,交⊙O于点F,且DC=DE.‎ ‎(1)求证:DC是⊙O的切线;‎ ‎(2)如果DM=15,CE=10,,‎ 求⊙O半径的长.‎ ‎8.(2013密云一摸20)如图,分别与相切于点,点在上,且,,垂足为.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若的半径,,求的长. ‎ ‎ ‎ ‎9.(2013平谷一摸20)如图,是的直径,点在上,‎ 的平分线交于点,过点作的垂线交的延长线于点,连接交于点.‎ ‎(1)求证:是的切线;‎ ‎(2)若,求的长. ‎ ‎10.(2013石景山一摸20)如图,BD为⊙O的直径,AB=AC,AD交BC于点E,AE=1,ED=2.‎ ‎(1)求证:∠ABC=∠ADB;‎ ‎(2)求AB的长;‎ ‎(3)延长DB到F,使得BF=BO,连接FA,试判断直线FA与⊙O的位置关系,并说明理由. ‎ ‎11.(2013顺义一摸20)如图,已知,以为直径的交于点,点为的中点,连结交于点,且.‎ ‎(1)判断直线与⊙O的位置关系,并证明你的结论;‎ ‎(2)若的半为2,,求的长. ‎ ‎12.(2013通州一摸21)已知:如图,AB是⊙O的直径,AC是弦.过点A作∠BAC的角平分线,交⊙O于点D,过点D作AC的垂线,交AC的延长线于点E.‎ E A B C D O ‎ (1)求证:直线ED是⊙O的切线;‎ ‎(2)连接EO,交AD于点F,若‎5AC=3AB,求的值.‎ ‎13.(2013西城一摸20)如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径作⊙O交BC于 点D,过点D作FE⊥AB于点E,交AC的延长线于点F.‎ ‎ (1) 求证:EF与⊙O相切;‎ ‎ (2) 若AE=6,sin∠CFD=,求EB的长.‎ ‎14.(2013延庆一摸23)如图,AB是⊙O的直径,AC和BD是它的两条切线,CO平分∠ACD.‎ ‎(1)求证:CD是⊙O的切线;‎ ‎(2)若AC=2,BD=3,求AB的长.‎ ‎ ‎ ‎15.(2013燕山一摸20)如图,△ABC中,AC =B C .以B C为直径作⊙O交AB于点D,交AC 于点G.作直线DF⊥AC交AC于点,交的延长线于点.‎ ‎⑴求证:直线EF是⊙O 的切线;‎ ‎⑵若BC=6,AB=4,求DE的长.‎ ‎16.(2013朝阳二摸20)如图,在△ABC中,AC=BC,D是BC上的一点,且满足∠BAD=∠C,以AD为直径的⊙O与AB、AC分别相交于点E、F. ‎ ‎(1)求证:直线BC是⊙O的切线;‎ ‎(2)连接EF,若tan∠AEF=,AD=4,求BD的长.‎ ‎17.(2013丰台二摸20)已知:如图,直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过点C作CD⊥PA,垂足为点D.‎ A B P O C D E ‎(1)求证:CD与⊙O相切;‎ ‎(2)若tan∠ACD=,⊙O的直径为10,求AB的长.‎ ‎18.(2013海淀二摸20)如图,△ABC中,E是AC上一点,且AE=AB,,以AB为直径的⊙交AC于点D,交EB于点F.‎ ‎(1)求证:BC与⊙O相切;‎ ‎(2)若,求AC的长.‎ ‎19.(2013西城二摸21)如图,以△ABC的一边AB为直径作⊙O,⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点,过点D作⊙O的切线交AC边于点E.‎ ‎ (1) 求证:DE⊥AC;‎ ‎(2) 连结OC交DE于点F,若,求的值.‎ ‎20.(2013东城二摸21)如图,点A,B,C分别是⊙O上的点,∠B=60°,AC=3,CD是⊙O的直径,P是CD延长线上的一点,且AP=AC.‎ ‎ (1)求证:AP是⊙O的切线;‎ ‎ (2)求PD的长.‎ 第六章 圆参考答案 ‎1.(2013昌平一模19)(1)证明:连接OC ‎∵四边形ABCD是的内接正方形,‎ ‎∴AB=BC,CO平分∠DCB,∠DCB=∠ABC=90°. ‎ ‎∴∠1=45°,∠EBC=90°.‎ ‎∵AB=BE,‎ ‎∴BC=BE.‎ ‎∴∠2=45°.‎ ‎∴∠OCE=∠1+∠2 = 90°.‎ ‎∵点C在上,‎ ‎∴直线CE是的切线. …………………………… 2分 ‎(2)解:过点O作OM⊥AB于M,‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴. ……………………………………3分 ‎ ∵FB⊥AE, ‎ ‎ ∴FB∥OM .‎ ‎∴△EFB∽△EOM . ………………………………………………4分 ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴EF = 4. …………………………………………………………5分 ‎2.(2013朝阳一模20)(1)证明:连接OA.‎ ‎∵BC为⊙O的直径,‎ ‎∴∠BAC=90°. ……………………………………………………………………………1分 ‎∴∠B+∠ACB=90°. ‎ ‎∵OA=OC,‎ ‎∴∠OAC=∠OCA.‎ ‎∵∠CAD=∠B,‎ ‎∴∠CAD+∠OAC=90°.‎ 即∠OAD=90°.‎ ‎∴OA⊥AD.‎ ‎∴AD是⊙O的切线. ……………………………………………………………………2分 ‎(2) 解:过点C作CE⊥AD于点E.‎ ‎∵∠CAD=∠B,‎ ‎∴sinB =sin∠CAD =.………………………………………………………………3分 ‎∵⊙O的半径为8,‎ ‎∴BC=16. ‎ ‎∴AC= .‎ ‎∴在Rt△ACE中,CE=2.…………………………………………4分 ‎∵CE⊥AD,‎ ‎ ∴∠CED=∠OAD=90°. ‎ ‎∴CE∥OA.‎ ‎∴△CED ∽△OAD.‎ ‎∴.‎ 设CD=x,则OD=x+8.‎ 即.‎ 解得x=.‎ 所以CD=.………………………………………………………………………………5分 ‎3.(2013东城一模21)(本小题满分5分)‎ 解:(1)证明:连结OC .‎ ∵ OE⊥AC,‎  ∴ AE=CE .‎  ∴ FA=FC.‎  ∴ ∠FAC=∠FCA.‎ ‎∵ OA=OC,‎ ∴ ∠OAC=∠OCA.‎  ∴ ∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA.‎  即∠FAO=∠FCO .‎  ∵ FA与⊙O相切,且AB是⊙O的直径,‎  ∴ FA⊥AB.‎  ∴ ∠FCO=∠FAO=90°.‎  ∴ PC是⊙O的切线. ………………………………………………… 2分 ‎(2)∵∠PCO=90°,‎  即∠ACO +∠ACP =90°.‎  又∵∠BCO+∠ACO =90°,‎ ‎∴ ∠ACP=∠BCO.‎ ‎∵ BO=CO,‎ ‎∴ ∠BCO=∠B.‎ ‎∴ ∠ACP=∠B.‎ ‎∵ ∠P公共角,‎ ‎∴ △PCA∽△PBC . ‎  ∴ .‎  ∵ ∶=1∶2,‎  ∴ .‎  ∵ ∠AEO=∠ACB=90°,‎ ‎∴ OF∥BC.‎ ‎∴ .‎ ‎∴ .‎ ‎∴ .‎ ‎∵ AB=4,‎ ‎∴ AO=2 .‎ ‎∴ AF=1 .‎ ‎∴ CF=1 . ………………5分 ‎4.(2013房山一模20)解:(1)直线AG与⊙O相切. ------------------------------1分 证明:连接OA,∵点A,E是半圆周上的三等分点,‎ A B C E D F G O ‎∴弧BA、AE、EC相等,∴点A是弧BE的中点,‎ ‎∴OA⊥BE.‎ 又∵AG∥BE,∴OA⊥AG.‎ ‎∴直线AG与⊙O相切. ------------ -----------------------------2分 ‎(2)∵点A,E是半圆周上的三等分点,‎ ‎∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°.‎ 又OA=OB,∴△ABO为正三角形. ---------------------------------3分 又AD⊥OB,OB=1,‎ ‎∴BD=OD=, AD=. ------------------------------------------4分 又∠EBC==30°,‎ 在Rt△FBD中, FD=BDtan∠EBC= BD tan30°=,‎ ‎∴AF=ADDF=-= --------------------------------------------5分 ‎5.(2013海淀一模20)(1)证明:连接. ………………………1分 ‎∵=,‎ ‎∴.‎ 又∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴∥.‎ ‎∵⊥于,‎ ‎∴⊥.‎ ‎∵点在⊙上,‎ ‎∴与⊙相切. ………………………2分 ‎ (2)解:连接.‎ ‎∵为⊙的直径,‎ ‎∴∠=90°.‎ ‎∵=6,=, ‎ ‎∴=.………………3分 ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴‎ 在△中,∠=90°.‎ ‎∵,‎ ‎∴. ………………………4分 又∵∥,‎ ‎∴△∽△.‎ ‎∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴. ………………………5分 ‎6.(2013怀柔一模20)解:‎ ‎(1)∵OA=OC,∴∠A=∠ACO ‎ ‎ ∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB ‎ ‎ ∴∠A=∠ACO=∠PCB ……………………………1分 ‎ ∵AB是⊙O的直径 ‎ ∴∠ACO+∠OCB=90° ‎ ‎ ∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP ‎ ‎∵OC是⊙O的半径 ‎ ‎∴PC是⊙O的切线 …………………………………………………2分 ‎ (2)连接MA,MB ‎ ‎ ∵点M是的中点 ‎∴ ‎ ‎∴∠BCM=∠ABM ……………………3分 ‎ ∵∠BMC=∠BMN ‎ ∴△MBN∽△MCB ‎ ‎∴ ‎ ‎∴BM2=MC·MN ……………………4分 ‎ ∵AB是⊙O的直径,弧AM=弧BM ‎ ‎ ∴∠AMB=90°,AM=BM ‎∵AB=4 ∴BM= ‎ ‎∴MC·MN=BM2=8 ……………………………………………………5分 ‎7.(2013门头沟一模20)(1)证明:如图1,连结OC.‎ ‎∵OA=OC,DC=DE,‎ ‎∴∠A=∠OCA,∠DCE=∠DEC.‎ 又∵DM⊥AB,‎ ‎∴∠A+∠AEM=∠OCA+∠DEC=90°.‎ ‎∴∠OCA+∠DCE=∠OCD=90°.‎ ‎∴DC是⊙O的切线.………………………2分 ‎(2)解:如图2,过点D作DG⊥AC于点G,连结BC.‎ ‎∵DC=DE,CE=10,∴EG=CE=5.‎ ‎∵cos∠DEG=cos∠AEM==,‎ ‎∴DE=13.∴DG==12.‎ ‎∵DM=15,∴EM=DMDE=2.…………3分 ‎∵∠AME=∠DGE=90°,∠AEM=∠DEG,‎ ‎∴△AEM∽△DEG.‎ ‎∴.∴.‎ ‎∴,. ∴.‎ ‎∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°. ‎ ‎∴cosA=.∴.…………4分 ‎∴⊙O的半径长为. ………………………………………………5分 ‎8.(2013密云一模20)(1)连接,则.‎ ‎ ∵,‎ ‎ ∴.……………………………...分 ‎ ∵,‎ ‎ ∴四边形是矩形.………………..2分 ‎ ∴.‎ ‎ (2)连接,则.……………3分 ‎ ∵,,,‎ ‎ ∴,.‎ ‎ ∴…………………4分 ‎ ∴.‎ ‎ 设,则.‎ ‎ 在中,有.‎ ‎ ∴.即.…………………….5分 ‎9.(2013平谷一模20)解:(1)证明:连结,则.‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∵ 平分 ‎∴ ,‎ ‎∴ . ………………………………….1分 ‎ ‎∴ .‎ ‎ ∵ ,即,‎ ‎∴ ,即.‎ ‎∴ 与相切.……………………………..2分 ‎ ‎(2)连结.‎ ‎∵是的直径,‎ ‎∴. ‎ ‎ ∴ ……………………………………………………….3分 ‎∵ .‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ,即,得.‎ ‎∴ . …………………………………………………4分 ‎ 可证 ‎∴ ∴ ……5分 ‎10.(2013石景山一模20)(1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,‎ 又∵∠C=∠D,∴∠ABC=∠ADB. …………1分 ‎(2) ∵∠ABC=∠ADB又∵∠BAE=∠DAB,‎ ‎∴△ABE∽△ADB, …………………………2分 ‎∴,‎ ‎∴AB2=AD·AE=(AE+ED)·AE=(1+2)×1=3,∴AB=.…………3分 ‎(3) 直线FA与⊙O相切,理由如下:‎ 联结OA,∵BD为⊙O的直径,∴∠BAD=90°,‎ ‎∴,………………………………………4分 BF=BO=,‎ ‎∵AB=,∴BF=BO=AB,可证∠OAF=90°,‎ ‎∴直线FA与⊙O相切.………………………………………5分 ‎11.(2013顺义一模20)⑴ 与⊙O相切 证明:连接,‎ ‎ ∵是的直径 ‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∵‎ ‎ ∴ ‎ ‎ 又 ∵为的中点 ‎ ∴ …………………………1分 ‎ ∴ ‎ ‎ 即 ‎ 又∵是直径 ‎ ‎∴是的切线 …………………………2分 ‎(2)∵的半为2‎ ‎∴,‎ ‎∵‎ 由(1)知,,‎ ‎∴ ,‎ ‎∴ , ………………………… 3分 ‎∵, ‎ ‎ ∴∽,‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴, …………………………4分 ‎ 设 ‎ ‎ 由勾股定理 , (舍负)‎ ‎ ∴ …………………………5分 ‎12.(2013通州一模21) (1)证明:连接OD.‎ ‎ ∵,‎ ‎ ∴, ‎ ‎ ∵AD平分,‎ ‎ ∴,‎ ‎ ∴, ……………… 1分;‎ ‎ ∴∥OD,‎ ‎ ∵,‎ ‎ ∴,‎ ‎ ∵点D在⊙O上,‎ ‎ ∴ED是⊙O的切线; ……………… 2分;‎ ‎(2)解法一:连接CB,过点O作于点G.…………… 3分;‎ ‎ ∵ AB是⊙O的直径,‎ ‎ ∴,‎ ‎ ∵,‎ ‎ ∴OG∥CB ,‎ ‎ ∴,‎ ‎ ∵‎5AC=3AB ,‎ ‎∴, ……………… 4分;‎ 设,‎ ‎∵,,‎ ‎ ∴四边形EGOD是矩形, ‎ ‎ ∴,AE∥OD ,‎ ‎ ∴,,,‎ ‎ ∴△AEF∽△DFO , ‎ ‎ ∴ ,‎ ‎ ∴ ,‎ ‎ ∴. ……………… 5分.‎ 解法二:连接CB,过点A作交DO的延长线于点H. ………… 3分;‎ ‎∵,,‎ ‎ ∴四边形AHDE是矩形, ‎ ‎ ∴,AE∥HD ,AH∥ED ,‎ ‎∴,‎ ‎∵ AB是⊙O的直径,‎ ‎ ∴,‎ ‎ ∴,‎ ‎ ∴△AHO∽△BCA,‎ ‎ ∴,‎ ‎ ∵‎5AC=3AB ,‎ ‎∴, ……………… 4分;‎ 设,‎ ‎ ∴,,‎ ‎ ∵AE∥HD,‎ ‎∴△AEF∽△DFO , ‎ ‎ ∴ ,‎ ‎ ∴ ,‎ ‎ ∴. ……………… 5分.‎ 解法三:连接CB,分别延长AB、ED交于点G. ………… 3分;‎ ‎∵,,‎ ‎ ∴AE∥OD ,,‎ ‎∴,‎ ‎∵ AB是⊙O的直径,‎ ‎ ∴,‎ ‎ ∴,‎ ‎ ∴△GDO∽△BCA,‎ ‎ ∴,‎ ‎ ∵‎5AC=3AB ,‎ ‎∴, ……………… 4分;‎ 设,‎ ‎ ∴,,‎ ‎ ∵AE∥OD,‎ ‎∴△AEG∽△ODG ,△AEF∽△DFO , ‎ ‎ ∴ , ,‎ ‎ ∴ ,‎ ‎ ∴. ……………… 5分.‎ 图3‎ ‎13.(2013西城一模20)(1)证明:连接OD . (如图3)‎ ‎ ∵OC=OD,‎ ‎∴∠OCD=∠ODC. ‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴∠ACB=∠B.‎ ‎∴∠ODC=∠B.‎ ‎∴OD∥AB. ……………………………………………… 1分 ‎∴∠ODF=∠AEF.‎ ‎ ∵EF⊥AB,‎ ‎ ∴∠ODF =∠AEF =90°.‎ ‎∴OD⊥EF .‎ ‎ ∵OD为⊙O的半径,‎ ‎ ∴EF与⊙O相切. ………………………………………………2分 ‎ (2)解:由(1)知:OD∥AB,OD⊥EF .‎ 在Rt△AEF中,sin∠CFD = = ,AE=6.‎ ‎∴AF=10. ………………………………………………………………3分 ‎∵OD∥AB,‎ ‎∴△ODF∽△AEF.‎ ‎∴.‎ 设⊙O的半径为r,‎ ‎∴ = .‎ 解得r= . ……………………………………………………………… 4分 ‎∴AB= AC=2r = . ‎ ‎ ∴EB=AB-AE= -6= . ………… 5 分 ‎14.(2013延庆一模23)(1)证明:过O点作OE⊥CD,垂足为E,‎ ‎∵AC是切线,‎ ‎∴OA⊥AC, ……………………………………………2分 ‎∵CO平分∠ACD,OE⊥CD,‎ ‎∴OA=OE, ………………………………3分 ‎∴CD是⊙O的切线. ………………………………4分 ‎(2)解:过C点作CF⊥BD,垂足为F,……………5分 ‎∵AC、CD、BD都是切线,‎ ‎∴AC=CE=2,BD=DE=3,‎ ‎∴CD=CE+DE=5, …………………………6分 ‎∵∠CAB=∠ABD=∠CFB=90°,‎ ‎∴四边形ABFC是矩形,‎ ‎∴BF=AC=2,DF=BD﹣BF=1,‎ 在Rt△CDF中,CF2=CD2﹣DF2=52﹣12=24,‎ ‎∴AB=CF=2. …………………………………………………7分 ‎15.(2013燕山一模20)⑴证法一:如图,连结OD,‎ ‎∵AC=BC,‎ ‎∴∠A=∠ABC ‎∵OD=OB,‎ ‎∴∠ABC=∠BDO,‎ ‎∴∠BDO=∠A,‎ ‎∴OD∥AC, ………………………1分 ‎∵,∴,‎ ‎∴直线是⊙O的切线. ………………………2分 证法二:如图,连结OD,CD,‎ ‎∵BC是⊙O直径,∴∠BDC=90°,即CD⊥AB. ‎ ‎∵AC=BC,‎ ‎∴AD=BD,即D是AB的中点. ………………………1分 ‎∵O是BC的中点,‎ ‎∴DO∥AC.‎ ‎∵⊥AC于,‎ ‎∴,‎ ‎∴直线是⊙O的切线. ………………………2分 ‎⑵解法一:如图,连结CD,由⑴证法二,∠BDC=90°,D是AB的中点,AB=4,‎ ‎∴AD=BD=2.‎ 在Rt△ADC中,AC=6,AD=2,‎ 由勾股定理得:CD==2, ………………3分 又∵⊥AC,‎ ‎∴DF===2,‎ ‎∴CF==4, …………………4分 又∵DO∥CF,‎ ‎∴,即,‎ 解得ED=6. ………………………5分 解法二:如图,连结OD,CD,,‎ 同解法一得∠BDC=90°,CD=2, ………………………3分 ‎∵是⊙O直径,∴∠BGC=90°,‎ 在△ABC中,有=,‎ ‎∴BG===4, ………………………4分 又∵∠BGC=∠CFE=90°,‎ ‎∴,∴∠E=∠GBC.‎ 在Rt△BGC中,BC=6,BG=4,‎ ‎∴CG==2,‎ tan∠GBC==,‎ 在Rt△EOD中,OD=BC=3,tan∠E=tan∠GBC=,‎ ‎∴ED==6. ………………………5分 ‎16.(2013朝阳二模20)(1)证明:在△ABC中, ‎ ‎∵AC=BC,‎ ‎∴∠ CAB = ∠B.‎ ‎∵∠ CAB +∠B+∠C=180º,‎ ‎∴2∠B+∠C=180º.‎ ‎∴=90º. ……………………………………………………1分 ‎∵∠BAD=∠C,‎ ‎∴=90º.‎ ‎∴∠ADB=90º.‎ ‎∴AD⊥BC.‎ ‎∵AD为⊙O直径的,‎ ‎∴直线BC是⊙O的切线. …………………………………………………2分 ‎(2)解:如图,连接DF,‎ ‎∵AD是⊙O的直径,‎ ‎∴∠AFD = 90º. ……………………………………………………………………3分 ‎∵∠ADC=90º,‎ ‎∴∠ADF+∠FDC=∠CD+∠FDC=90º.‎ ‎∴∠ADF=∠C. …………………………………………………………………4分 ‎∵∠ADF=∠AEF,tan∠AEF=,‎ ‎∴tan∠C=tan∠ADF=.‎ 在Rt△ACD中,‎ 设AD=4x,则CD=3x.‎ ‎∴‎ ‎∴BC=5x,BD=2x.‎ ‎∵AD=4,‎ ‎∴x=1.‎ ‎∴BD=2. ……………………………………5分 A B P O C D E G ‎17.(2013丰台二模20)(1)证明:连结OC. ‎ ‎∵ 点C在⊙O上,OA=OC,‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ,∴ ,有.‎ ‎∵ AC平分∠PAE,∴ ‎ ‎∴ ---------1分 ‎∴ ‎ ‎∵ 点C在⊙O上,OC为⊙O的半径,‎ ‎∴ CD为⊙O的切线. ---------2分 ‎(2)解: 过点O作OG⊥AB于G.‎ ‎∵,,∴四边形OCDG是矩形.‎ ‎∴OG=CD, GD=OC. ---------3分 ‎∵ ⊙O的直径为10,∴OA=OC=5.∴DG=5.‎ ‎∵tan∠ACD,设AD=x, CD=2x ,则OG=2x.∴ AG=DG-AD=5- x . ‎ 在中,由勾股定理知 ‎∴ 解得. ----------------4分 ‎ ‎∴ . -------------------------5分 ‎18.(2013海淀二模20) (1)证明:连接. ‎ ‎∵为直径,‎ ‎∴∠.‎ ‎∵,‎ ‎∴△为等腰三角形.‎ ‎∴∠∠.‎ ‎∵, ‎ ‎∴∠∠ -------------------------1分 ‎∴∠∠∠∠.‎ ‎∴∠ .‎ ‎∴与⊙相切. -------------------------2分 ‎(2) 解:过作于点 ‎∠∠,‎ ‎∴.‎ 在△中,∠,‎ ‎∵,‎ ‎∴∠--------------3分 ‎∴.‎ 在△中,∠,‎ ‎∴------------------4分 ‎∵,⊥,‎ ‎∴∥‎ ‎∴△∽△‎ ‎∴.‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴ -------------------------5分 ‎19.(2013西城二模21)(1)证明:连接OD . ‎ ‎∵DE是⊙O的切线,‎ ‎ ∴DE⊥OD,即∠ODE=90° . ……………………………………………1分 ‎ ∵AB是⊙O的直径,‎ ‎ ∴O是AB的中点.‎ ‎ 又∵D是BC的中点, .‎ ‎ ∴OD∥AC . ‎ ‎∴∠DEC=∠ODE= 90° .‎ ‎∴DE⊥AC . ……………………………………………………………… 2分 ‎ (2)连接AD .‎ ‎∵OD∥AC,‎ ‎∴. …………………………………………………………………… 3分 ‎ ∵AB为⊙O的直径,‎ ‎∴∠ADB= ∠ADC =90° .‎ ‎ 又∵D为BC的中点,‎ ‎∴AB=AC.‎ ‎∵sin∠ABC= =,‎ ‎ 故设AD=3x , 则AB=AC=4x , OD=2x . ………………………………………… 4分 ‎∵DE⊥AC,‎ ‎∴∠ADC= ∠AED= 90°.‎ ‎∵∠DAC= ∠EAD,‎ ‎∴△ADC∽△AED.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴. ………………………………………………………………… 5分 ‎20.(2013东城二模21)解:(1)证明:连接OA.‎ ‎∵∠B=60°,∴∠AOC=2∠B=120°.‎ 又∵OA=OC,∴∠ACP=∠CAO=30°.∴∠AOP=60°.‎ ‎∵AP=AC,∴∠P=∠ACP=30°.‎ ‎∴∠OAP=90°,∴OA⊥AP.‎ ‎∴ AP是⊙O的切线. …………………2分 ‎(2)解:连接AD.‎ ‎∵CD是⊙O的直径,∴∠CAD=90°.‎ ‎∴AD=AC•tan30°=.‎ ‎∵∠ADC=∠B=60°,∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°=30°.∴∠P=∠PAD.‎ ‎∴PD=AD=. …………………5分

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