2013-2014年铜中九年级数学试题
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（时间：100分钟 满分：120分） 命题：铜盂中学
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．如果＝x－2，那么x的取值范围是( )
A．x≥2 B．x2
2．若x=3是方程x2－3mx+6m=0的一个根，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第3题
3．如图， AB是⊙O的直径，CD是弦， 连结AC、AD，若∠CAB＝35°，则∠ADC为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
4．下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．掷一枚均匀的正方体骰子所得的结果超过13 B．买一张彩票中奖
C．口袋中装有10个红球，从中摸出一个红球 D．太阳从西边落下
5．已知 则 的值是( )
A． B． C． D．
6．关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A．k＜ B．k＜且k≠0 C．－≤k＜ D．－≤k＜且k≠0
7．向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx.若此炮弹在第8秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？
A.第11秒 B.第10秒 C. 第9秒 D. 第8秒 .
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，现有下列结论：①2－4＞0 ②＞0 ③＞0 ④＞0 ⑤9+3+＜0，则其中结论正确的个数是（ ）.
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=3，BC=6，沿AE翻折梯形ABCD使点B落AD的延长线上，记为点B’，连结B’E交CD于点F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（10题图）
（9题图）
（8题图）
10．如图，已知正方形ABCD的边长为4 ，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF， EF交DC
8
于F, 设BE=，FC=，则当点E从点B运动到点C时,关于的函数图象是( )．
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．要使式子有意义，则a的取值范围为__________________．
12．关于的方程有两个不相等的实根、，且有，则的值是
13．抛物线上部分点的坐标对应值如下表：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说法中正确的是 ．（填写序号）
①函数的最大值为6；②抛物线与轴的一个交点为（3,0）；③在对称轴右侧，随增大而减小； ④抛物线的对称轴是直线；⑤抛物线开口向上.
14．如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置．若BC=1，AC=，则顶点A运动到点A″的位置时，点A两次运动所经过的路程 _________ ．（计算结果不取近似值）
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 _________ （结果保留π）．
16．如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点,，在内依次作等边三角形，使一边在轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，……则第个等边三角形的边长等于 .
（17题图）
（16题图）
（14题图）
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题5分，共15分）
8
17．计算：．
18．化简求值：，其中，．
19．某商场以每台2500元进口一批彩电，如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
20.如图：在△ABC中，点M是BC上任一点， MD∥AC，ME∥AB，
21．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，
8
需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，
求这个圆形截面的半径．
22．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE=DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB=5，EB=3．
（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求线段AC的长．
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五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
8
23．已知抛物线y=x2+ax+a﹣3
（1）求证：不论a取何值，抛物线与x轴总有两个交点．
（2）当a=5时，求抛物线与x轴的两个交点间的距离．
（3）直接写出a= ______ 时，抛物线与x轴的两个交点间的距离最小．
24.已知：在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OE⊥AC于点E，过点C作直线FC，
使∠FCA＝∠AOE，交AB的延长线于点D.
（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）设OC与BE相交于点G，若OG＝2，求⊙O半径的长；
（3）在（2）的条件下，当OE＝3时，求图中阴影部分的面积.
第24题图
25.如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（－1，0）．
8
求： ⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；
⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点， 当CM+DM的值最小时，求m的值．
第25题图
2013-2014年铜中九年级数学试题(参考答案)
8
一、选择题。
1.A 2.C 3.C 4.B 5.D 6.D 7.A 8.B 9.A 10.A
二、填空题
11、a≥－2且a≠0；12、－1 13、②③④ 14. 15. π﹣4．16.
三、解答题
17．原式＝8． 1 8. 化简得：，结果为：
19.设提高的单价价格为x元时,利润为y，由题意得：
y=（2700+100x-2500）（400-50 x）
=-5000（x2-6x-16）
=-5000（x-3）2+125000
当x=3时 y最大利润=125000 ，即定价为2700+3×100 =3000
答:当定价为3000时，有最大利润。最大利润为125000元。
四、解答题。
21.解：（1）如图，
(2).过点O作OC⊥AB于点C,交弧AB于点D,
依题意CD=4，AC=8，设⊙O的半径为x,在Rt△AOC中，
依题意列方程：x－（x－4）=8 解得:x=10
答：⊙O的半径为10cm.
22.解：（1）证明：∵△=a2﹣4（a﹣3）=（a﹣2）2+8＞0，
∴不论a取何值，抛物线与x轴总有两个交点；
（2）当a=5时，求抛物线为y=x2+5x+2，
设抛物线与x轴两交点横坐标为x1，x2，
则x1+x2=﹣5，x1x2=2，
∴|x1﹣x2|====，
∴抛物线与x轴的两个交点间的距离为；
（3）a=2．
23. 证明：（1）过点D作DF⊥AC于F；
∵AB为⊙D的切线，
∴∠B=90°
∴AB⊥BC
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC
∴BD=DF
∴AC与圆D相切；
（2）在△BDE和△DCF中；
∵BD=DF，DE=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴EB=FC．
∵AB=AF，
∴AB+EB=AF+FC， 即AB+EB=AC，
∴AC=5+3=8．
答：经销商将这批蟹放养25天后出售，可获得最大利润.
24、证明：（1）连接OC（如图①），
∵OA＝OC，∴∠1＝∠A.
8
∵OE⊥AC，∴∠A＋∠AOE＝90°.
∴∠1＋∠AOE＝90°.
又∠FCA＝∠AOE，
∴∠1＋∠FCA＝90°. 即∠OCF＝90°.
∴FD是⊙O的切线.
（2）连接BC（如图②），
∵OE⊥AC，∴AE＝EC.
又AO＝OB，
∴OE∥BC且.……5分
∴△OEG∽△CBG.
∴.
∵OG＝2，∴CG＝4. ∴OC＝6.
即⊙O半径是6.
（3）∵OE＝3，由（2）知BC＝2OE＝6.
∵OB＝OC＝6，∴△OBC是等边三角形.
∴∠COB＝60°.
在Rt△OCD中，易求CD=
∴
25、解：（1）∵点A（－1，0）在抛物线y=x2 + bx－2上，
∴× (－1 )2 + b× (－1) –2 = 0，解得b =
∴抛物线的解析式为y=x2－x－2. y=x2－x－2 = ( x2 －3x－ 4 ) =(x－)2－,
∴顶点D的坐标为 (, －).
（2）当x = 0时y = －2, ∴C（0，－2），OC = 2。
当y = 0时， x2－x－2 = 0， ∴x1 = －1, x2 = 4, ∴B (4,0)
∴OA = 1, OB = 4, AB = 5.
∵AB2 = 25, AC2 = OA2 + OC2 = 5, BC2 = OC2 + OB2 = 20,
∴AC2 +BC2 = AB2.
∴△ABC是直角三角形.
（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小。
设直线C′D的解析式为y = kx + n ,
则， 解得n = 2, .
∴ .
∴当y = 0时， ， . ∴.
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